2022-2023学年安徽省宣城市皖东南初中四校八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析)

2022-2023学年安徽省宣城市皖东南初中四校八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

3.下列方程中一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

6.以下各组数为边长能组成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

7.若，则代数式可化简为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图长方体木箱的长宽高分别为，，，则能放进木箱中的直木棒最长为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校年学生数比年增长了，年新学期开学统计，该校学生数又比年增长了，设、这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，以的三条边作三个正三角形，则、、、的关系为(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.已知，则的值为______ ．

12.若与最简二次根式可以合并，则        ．

13.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为______．

14.如图，等腰的底边长为，腰长为，是上一动点，当与腰垂直时，则 ______ ．

15.实数满足方程，则的值等于______．

16.已知非零实数，满足，则 ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.解方程：
；
 

四、解答题（本大题共5小题，共42.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
计算：．

19.本小题分

如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
几秒后，四边形的面积等于？
的面积能否等于？请说明理由．

20.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
设是方程的一个实数根，且满足，求的值．

21.本小题分
我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等．
小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究如图是长方形纸片，点是边的中点先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是请你帮助小亮解决下列问题：
判断的形状，并说明理由；
已知，，求的长．

22.本小题分

阅读材料：
对于任意实数和，都有，，于是得到，
当且仅当时，等号成立．
任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式即：如果，则．
如：等
例：已知，求证：．
证明：，；
，当且仅当时，等号成立．
请阅读上述材料并解答下列问题：如图，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙的最大可用长度为米，中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的两扇小门．
若所用的篱笆长为米．
若花圃的面积刚好为平方米，则此时花圃的段长为多少？
这个花圃的面积最大面积能否达到平方米？通过计算说明理由．
若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
可以任意取值，即可以为负值，
不一定是二次根式，不符合题意；
，
不是二次根式，不符合题意；
，
，
是二次根式符合题意；是三次根式，故D选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式定义逐个判断即可得到答案．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的条件．

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，当时，是一元二次方程，故此选项不合题意；
B.，当时，是一元二次方程，故此选项不合题意；
C.不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D.是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是，进而判断得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程必须同时满足的三个条件是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：根据数轴得，，，
原式

，
故选：．
根据化简，再根据绝对值的性质化简即可．
本题考查了算术平方根的性质与化简，掌握是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：．
根据关于的一元二次方程有实数根得出且，求出的取值范围即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，符合题意．
故选：．
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：若，且代数式有意义；
故由，；
则代数式．
故选C．
二次根式有意义，就隐含条件，由，先判断出、的符号，再进行化简即可．
本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当时，；当时，；当时，．

8.【答案】 

【解析】解：侧面对角线，
，
，
，
空木箱能放的最大长度为，
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

9.【答案】 

【解析】解：设该校年学生数为，则该校年学生数为，年学生数为，
根据题意得：．
故选：．
设该校年学生数为，则该校年学生数为，年学生数为，利用该校年学生数该校年学生数、这两年该校学生数平均增长率，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，设的三条边，，，
，，是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故选：．
如图，设的三条边，，，根据，，是等边三角形，求得，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出，进而求出，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：与最简二次根式可以合并，，
，
解得：．
故答案为：
把化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可．
本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，

，，
在和中，

≌，

如上图，根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积
的面积的面积的面积．
根据已知及全等三角形的判定可得到≌，从而得到的面积的面积的面积．
本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，，
，
，
分两种情况：
当时，如图：

在中，，
在中，，
，
，
解得：，
；
当时，如图：

在中，，
在中，，
，
，
解得：，
；
综上所述：当与腰垂直时，则，
故答案为：．
过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后分两种情况：当时；当时；分别利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：设，则由原方程，得
，
整理得，
解得，，
当时，，此时无解，
即的值等于．
故答案是：．
设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题时，运用了换元法解方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，，
解得，，，
则，
故答案为：．
根据等式的性质把原等式变形，根据绝对值的性质、非负数的性质分别求出、，代入计算得到答案．
本题考查的是二次根式的化简、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

17.【答案】解：这里，，，
，
；
方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】方程利用公式法求出解即可；
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

18.【答案】解：原式

． 

【解析】先分母有理化和去绝对值，然后把化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

19.【答案】解：，．
当运动时间为时，，，．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，点，重合，不符合题意，舍去．
答：后，四边形的面积等于．
的面积不能等于，理由如下：
根据题意得：，
整理得：．
，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于． 

【解析】利用时间路程速度，可分别求出点，到达终点所需时间，当运动时间为时，，，．
根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论；
的面积不能等于，根据的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得所列方程没有实数根，进而可得出的面积不能等于．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

20.【答案】解：根据题意得，解得；

是方程的一个实数根，则，则，
则即，
解得：舍去或．
故的值为． 

【解析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值．
本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，中注意求得的要满足中的范围．

21.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
由翻折得，，
，
，
，
是直角三角形．
如图，设与交于点，

四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，

的长是． 

【解析】由翻折得，，则，所以是直角三角形；
可证明，，得，由，，得，，可求得，，则，可以在和中根据勾股定理求出的长．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、三角形的中位线定理、勾股定理等知识与方法，证明，是解题的关键．

22.【答案】解：设花圃的段长为米，则段的长为米，
根据题意得：，
解得，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
，
答：花圃的段长为米；
不能，理由如下：
根据题意得：，
整理得，
，
方程无解，即这个花圃的面积最大面积不能达到平方米．
设这个花圃的面积为平方米，篱笆长为米，
根据题意：，
整理得，
，当且仅当，即时取得最值，
，
若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是米． 

【解析】设花圃的段长为米，则段的长为米，根据矩形的面积，列出方程，解方程求解即可；
根据题令面积，解方程即可得出结论；
设这个花圃的面积为平方米，篱笆长为米，根据矩形的面积列出函数解析式，并根据阅读材料可求最值．
本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．