2024年数学高考大一轮复习第八章 §8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

考试要求　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

知识梳理

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过______________________________的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们______________________________过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________．

2．空间中直线与直线的位置关系

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

4.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________________．

5．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)范围：____________.

常用结论

1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)

(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(　　)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)

(4)两两相交的三条直线共面．(　　)

教材改编题

1.如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是(　　)

A．BM与ED平行

B．CN与BM成30°角

C．CN与BE是异面直线

D．DM与BN是异面直线

2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．

题型一　平面基本性质的应用

例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求证：(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；

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(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

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思维升华 共面、共线、共点问题的证明

(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．

(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．

(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

跟踪训练1 (1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(　　)

A．点A   B．点B

C．点C但不过点M   D．点C和点M

(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．

①证明：四边形BCHG是平行四边形；

②C，D，F，E四点是否共面？为什么？

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题型二　空间位置关系的判断

命题点1　空间位置关系的判断

例2 (1)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)

A．异面或平行   B．异面或相交

C．异面   D．相交、平行或异面

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(2)下列推断中，正确的有________．

①M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合．

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命题点2　异面直线所成的角

例3 (1)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

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(2)(2023·长治模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为BB1上一点，平面AEC1将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B1C1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

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思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．

(2)求异面直线所成角的方法

跟踪训练2 (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论正确的是(　　)

①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．

A．①③   B．①④

C．②③   D．③④

(2)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　)

A.  B.  C.  D.

(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

题型三　空间几何体的切割(截面)问题

例4 (1)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的有________．

①这两部分的表面积一定不相等；②截面不会是三角形；③截面不会是五边形；④截面可以是正六边形．

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(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

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思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．

(2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．

跟踪训练3 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)不可能是(　　)

A．矩形   B．菱形

C．正方形   D．梯形

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．