备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题19-外接球、内切球与棱切球问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题19

外接球、内切球与棱切球问题

【考点预测】

知识点一：正方体、长方体外接球

1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3．补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1          图2              图3             图4

知识点二：正四面体外接球

如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．

如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

知识点四：直棱柱外接球

如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1                        图2                         图3

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

知识点五：直棱锥外接球

如图，平面，求外接球半径．

解题步骤：

第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；

第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；

②．

知识点六：正棱锥与侧棱相等模型

1．正棱锥外接球半径： ．

2．侧棱相等模型：

如图，的射影是的外心

三棱锥的三条侧棱相等

三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：

第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；

第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：，解出．

知识点七：侧棱为外接球直径模型

方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．

知识点八：共斜边拼接模型

如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．

知识点九：垂面模型

如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：

（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．

（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．

（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．

（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1                                   图2

知识点十：最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

知识点十一：二面角模型

如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：

（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．

（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．

（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．

（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

知识点十二：坐标法

对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．

知识点十三：圆锥圆柱圆台模型

1．球内接圆锥

如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．

由图、图可知，或，故，所以．

2．球内接圆柱

如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．

3．球内接圆台

，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．

知识点十四：锥体内切球

方法：等体积法，即

知识点十五：棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

【题型归纳目录】

题型一：正方体、长方体模型

题型二： 正四面体模型

题型三：对棱相等模型

题型四：直棱柱模型

题型五：直棱锥模型

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

题型七：侧棱为外接球直径模型

题型八：共斜边拼接模型

题型九：垂面模型

题型十：最值模型

题型十一：二面角模型

题型十二：坐标法模型

题型十三：圆锥圆柱圆台模型

题型十四：锥体内切球

题型十五：棱切球

【典例例题】

题型一：正方体、长方体模型

例1．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同．

因为长方体外接球的半径，

所以该“阳马”外接球的表面积为：．

故选：C．

题型二： 正四面体模型

例2．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示，菱形，

在菱形中，连接，交于点，则的长即为的最小值，即，

因为正四面体，所以，所以，

因为是棱的中点，所以，

所以，

设，则，

所以，则，所以，

则正四面体的棱长为，

所以正四面体的外接球半径为，

所以该正四面体外接球的表面积为，

故选：A

题型三：对棱相等模型

例3．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，

可得长方体的三条对角线分别为，2，，

即，，，

解得：，，．

外接球的半径．

三棱锥外接球的体积．

故选：．

题型四：直棱柱模型

例4．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．

【答案】

【解析】设BC的中点为D，的中点为，，

由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，

由三棱柱的体积为2，得，即，

由题，得，

所以，外接球表面积

．

故答案为：

题型五：直棱锥模型

例5．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图所示，作边上的中点，边上的中点，连接

平面，可得：，

可得：为球的球心，为球的半径

在直角三角形中，可得：

在直角三角形中，可得：

故球的表面积为：

故选：D

例6．已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因平面，平面，则，而，

则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，，

连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，

则四边形是矩形，，因此，球的半径有：，

所以三棱锥外接球的表面积．

故选：C

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

例7．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（       ）

A．16π B． C．8π D．

【答案】B

【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，

则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，

于是得，

因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，

所以球O的体积是．

故选：B

题型七：侧棱为外接球直径模型

例8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：设球心为，过，，三点的小圆的圆心为，则平面，

延长交球于点，则平面，

因为，

所以，

故高，

因为是边长为1的正三角形，

所以，

故．

故选：．

题型八：共斜边拼接模型

例9．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】平行四边形中，

，

，

，

沿折成直二面角，

平面平面

三棱锥的外接球的直径为，

外接球的半径为1，

故表面积是．

故选：．

题型九：垂面模型

例10．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．

【解析】由题意知的中点为 外接圆的圆心，且平面平面

过 作面的垂线，则垂线 一定在面 内．

根据球的性质，球心一定在垂线 上，

球心一定在平面 内，且球心也是 外接圆的圆心．

在 中，由余弦定理得，，

由正弦定理得：，解得，

三棱锥的外接球的表面积．

故答案为：．

题型十：最值模型

例11．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，

故选：．

题型十一：二面角模型

例12．在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________．

【答案】

【解析】取的中点，连，如图：

依题意可知，，

因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF平面ABFE，

所以平面，所以，，，

因为，且，所以平面，所以，

因为为的中点，所以，

所以为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为，

所以其表面积为．

故答案为：

题型十二：坐标法模型

例13．在三棱锥中，已知是边长为的正三角形，平面，、分别是、的中点，若异面直线、所成角的余弦值为，则的长为______，三棱锥的外接球表面积为______．       

【答案】          【解析】连接，则，又因为平面，以点为坐标原点，

、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，

，，

由已知可得，解得，

因此，，则点，

设三棱锥的外接球球心为，

由，即，解得，

所以，三棱锥的外接球半径为，

因此，该三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：；.

题型十三：圆锥圆柱圆台模型

例14．如图，棱长均相等的直三棱柱的上、下底面均内接于圆柱的上、下底面，则圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为______．

【答案】

【解析】设三棱柱的棱长为，

所以外接圆的半径，

所以圆柱外接球的半径．

故外接球的表面积为，

圆柱的侧面积为，

所以圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为．

故答案为：

题型十四：锥体内切球

例15．如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，

在三棱锥中，，，

三棱锥是正四面体，是的重心，平面，

三棱锥的内切球的表面积为，

，解得球的半径，

设，则，，

，

，，，

解得，，

此三棱锥的体积为．

故选：．

题型十五：棱切球

例16．正四面体的棱长为4，若球与正四面体的每一条棱都相切，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，

正四面体的棱长为4，

正方体的棱长为，

球与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，

球是正方体的内切球，其直径为，

球的表面积为，

故选：．