备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题14-解三角形图形类问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题14

解三角形图形类问题

【方法技巧与总结】

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

【题型归纳目录】

题型一：妙用两次正弦定理

题型二：两角使用余弦定理

题型三：张角定理与等面积法

题型四：角平分线问题

题型五：中线问题

题型六：高问题

题型七：重心性质及其应用

题型八：外心及外接圆问题

题型九：两边夹问题

题型十：内心及内切圆问题

【典例例题】

题型一：妙用两次正弦定理

例1．在中，内角的对边分别为，，点在边上，满足，且．

(1)求证：；

(2)求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）分别在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化简整理即可得到结果；

（2）根据，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，进而得到，代入中即可求得结果.

(1)

，，；

在中，由正弦定理得：；

在中，由正弦定理得：；

又，

，

即，.

(2)

在中，由余弦定理得：；

在中，由余弦定理得：；

，，

即，整理可得：；

在中，由余弦定理得：，

则，，，即；

.

例2．如图，四边形ABCD中，．

(1)若，求△ABC的面积；

(2)若，，，求∠ACB的值．

【答案】(1)

(2)∠ACB=

【解析】

【分析】

（1）依据题意求得角，利用正弦定理去求△ABC的面积；

（2）利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB的值．

(1)

在△ABC中，，

因为，所以．

．

(2)

设，则，，．

在△ACD中，由，得．

在△ABC中，由，得．

联立上式，并由得，

整理得，所以，

因为，所以，

所以，解得，即∠ACB的值为．

例3．在平面四边形ABCD中，，，.

(1)若△ABC的面积为，求AC；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求；

（2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解.

(1)

在△中，，，

∴，可得，

在△中，由余弦定理得，

.

(2)

设，则，

在中，，易知：，

在△中，由正弦定理得，即，

，可得，即.

题型二：两角使用余弦定理

例4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.

(1)证明：，；

(2)若，，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到，，由正弦定理得到，，两式相除得到，进而得到，，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.

（2）根据，得到，结合基本不等式求得，进而求得，即可求解.

(1)

解：在和中，可得，，

所以，，

由正弦定理，得，，

两式相除得，可得，，

又由，根据余弦定理得

所以

代入可得

.

(2)

解：由，及，可得

根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，

又由，，可得，

所以的最小值是3.

例5．如图，内一点满足.

(1)若，求的值；

(2)若，求的长.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先利用勾股定理求出 ，再利用余弦定理求出 ，利用同角三角函数基本关系式求出，最后利用两角差的正弦公式计算即可

（2）设 ，在与采用余弦定理与正弦定理，然后利用与的关系列出关于 的方程，解出 即可

(1)

，此时.

在中，，

又，故

所以

(2)

设，在中，.

在中，，代入得：.

又，故.

即，解得：，所以.

例6．如图，在凸四边形中，已知．

(1)若，，求的值；

(2)若，四边形的面积为4，求的值．

【答案】(1)；

(2)﹒

【解析】

【分析】

(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求；

(2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得cosA与cosC的关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒

(1)

在△中，∵，

∴．

在△中，由正弦定理得，，

∴．

∵，∴，

∴．

(2)

在△、△中，由余弦定理得，

，

，

从而①，

由得，

②，

得，，

∴．

题型三：张角定理与等面积法

例7．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.

(1)求角的大小；

(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案

（2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可

(1)

在△ABC中，由正弦定理及得：，..

由余弦定理得，

又，所以

(2)

是的角平分线，，

由可得

因为，，即有，，

故

例8．在中，设角，，所对的边分别为，，，且

(1)求；

(2)若为上的点，平分角，且，，求.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理进行角化边整理得，再结合余弦定理；（2）利用等面积，整理得，再由角平分线的性质代入计算．

(1)

因为，

所以由正弦定理可得：，整理得.

由余弦定理得：

又因为所以

(2)

由（1）知.

又因为平分角，所以.

由得.

即.

又因为，，所以.

再由角平分线的性质可知：

题型四：角平分线问题

例9．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)求角；

(2)角的内角平分线交于点，若，，求.

【答案】(1)；

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由正弦定理及切化弦得，结合角的范围，即可求解；

（2）先由结合面积公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.

(1)

由正弦定理及切化弦可得，

又，则，即，又，则；

(2)

，又，，

可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，

可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，

由正弦定理得，可得，又，可得.

题型五：中线问题

例10．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若边上的中线，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解；

（2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解.

(1)

解；因为，

所以，

所以，

即 ，

因为 ，

所以 ，

所以；

(2)

在中，由余弦定理得，

即①，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，

两式相加得②，

由①②得，

所以.

题型六：高问题

例11．从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，       ．

(1)求角A；

(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【解析】

【分析】

（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.

（2）根据三角形的面积公式可得的关系，在中运用余弦定理可求出的值，然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.

(1)

选①

因为，所以，

由余弦定理得，，所以，即

由正弦定理得

在中，有，故

由A为锐角，得

选②

因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得

即       

化简得

在中，有，由A为锐角得，

所以，得

(2)

由题意得，，所以，

又b＝c，所以

由余弦定理，解得

所以，，

所以是钝角三角形

所以，所以

在直角中，

题型七：重心性质及其应用

例12．在中，内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆的面积为，．

(1)求；

(2)是角的平分线，若，的重心为，求的长．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的外接圆的面积为，可得外接圆的半径的长，可得，根据正弦定理可得，利用余弦定理，可得的值，并结合的取值范围即可得的值；

（2）根据内角的平分线定理可得，设，∴，再利用余弦定理可以求出，的值，设为的中点，连接，根据为的重心结合平面向量的基本定理计算出的长，从而求出的长．

(1)

的外接圆的面积为，可得外接圆的半径为1，可得，

由，可得，

根据正弦定理可得，即，

∴．∵，∴．

(2)

∵，∴．

根据，易得，设，∴，

根据余弦定理可得，

解得，∴，．

设为的中点，连接，，，

可得，

∴，∴．

题型八：外心及外接圆问题

例13．的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.

①为的内心；②为的外心；③为的重心.

(1)求；

(2)若，__________，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)选①：；选②：；选③：.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；

（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积；选③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性质，即重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形面积相等，用三角形面积公式求解的面积即可.

(1)

因为，

由正弦定理得，

，

，

三角形中，，所以，

，则，所以，；

(2)

选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，

在中由余弦定理得，

，

设内切圆半径为，则，，

所以；

选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，

由（1），所以，

在中由余弦定理得，

，，

．

选③O为的重心，如图，分别是各边上的中点，

在中由余弦定理得，

，

由三角形重心的性质可得，，

故.

题型九：两边夹问题

例14．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值是　　

A．2 B． C． D．1

【解答】解：，

，

，

，

又正弦函数、余弦函数的值均小于等于1，

，，

、、，，

,，

，

由正弦定理可得，，

故选：．

题型十：内心及内切圆问题

例15．如图，在中，是上一点，平分.

(1)求证：；

(2)若，，，求的内切圆面积.

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）易知，，则，，在和中，分别利用正弦定理即可得证；

（2）在中，利用余弦定理求得，再利用平方关系求得，再利用二倍角的正弦公式求得，再根据，求得，再根据（1）可求得，设的内切圆的半径为，根据求得内切圆的半径，从而可求得答案.

(1)

解：因为平分，所以，

在中，因为，

所以，

在中，因为，

所以，

又因，，

所以，，

所以，即；

(2)

解：在中，

，

则，

所以，

因为，

所以，

即，所以，

因为，所以，则，

设的内切圆的半径为，

则，

即，解得，

所以的内切圆面积为.