备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题7-不等式恒成立问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题7

不等式恒成立问题

【方法技巧与总结】

1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.

4.法则1若函数和满足下列条件：

(1)及；

(2)在点的去心邻域内，与可导且；

(3)，

那么=。

法则2若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)，和在与上可导，且；

(3)，

那么=。

法则3若函数和满足下列条件：

(1)及；

(2)在点的去心邻域内，与可导且；

(3)，

那么=。

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立。

（2）洛必达法则可处理，，，，，，型。

（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

，如满足条件，可继续使用洛必达法则。

【题型归纳目录】

题型一：直接法

题型二：端点恒成立

题型三：端点不成立

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

题型五：洛必达法则

题型六：同构法

题型七：必要性探路

题型八：max，min函数问题

题型九：构造函数技巧

题型十：双变量最值问题

【典例例题】

题型一：直接法

例1．已知函数，a≥0．

（1）讨论的单调性；

（2）若f(x)≤0，求的取值范围．

题型二：端点恒成立

例2．已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，恒有，求实数a的最小值.

题型三：端点不成立

例3．已知函数，.

（1）若在处的切线也是的切线，求的值；

（2）若，恒成立，求的最小整数值.

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

例4．已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当x≥0时，，求的取值范围．

题型五：洛必达法则

例5：已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.

(1)求实数的值；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

题型六：同构法

例6.对任意，不等式恒成立，求实数的最小值

题型七：必要性探路

例7.是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.

例8.求k的最大整数值.

例9.求使得在上恒成立的最小整数

题型八：max，min函数问题

例10．已知函数，，其中．

（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；

（2）若，证明：当时，；

（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．

题型九：构造函数技巧

例11．已知函数．

（1）若在上单调，求的取值范围．

（2）若的图象恒在轴上方，求的取值范围．