高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数 B卷 能力提升

第四章   指数函数与对数函数 B卷

能力提升

【满分：120分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知指数函数（且），，则(   )

A.3 B.2 C. D.

2.已知函数，若，则实数a的值为(   )

A.-1 B.1 C.4 D.4或1

3.已知，，，则(   )

A. B. C. D.

4.若函数是在R上的奇函数，当时，，则的值域为(   )

A.  B.

C.  D.

5.随着智能手机的普及，抖音、快手、火山视频等短视频APP迅速窜红.针对这种现状，某文化传媒有限公司决定逐年加大短视频制作的资金投入，若该公司2019年投入短视频制作的资金为5000万元人民币，在此基础上，若以后每年的资金投入均比上一年增长8%，则该公司投入短视频制作的资金开始超过6900万元人民币的年份是(   ).(参考数据：，，)

A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年

6.已知函数，且，则实数m的取值范围是(   ).

A. B. C. D.

7.已知a，b，c，d都是常数，，.若的零点为c，d，则下列不等式正确的是(   ).

A.  B.

C.  D.

8.已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为(   ).

A.8 B.7 C.6 D.5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列各组函数中，与不是同一函数的是(   ).

A.， B.，

C.， D.，

10.已知函数若关于x的方程有8个不同的实数解，则实数a的取值可能是(   ).

A. B. C. D.

11.已知函数，则下列选项正确的是(   )

A.是奇函数  B.是偶函数

C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增

12.关于函数，下列描述正确的有(   ).

A.函数在区间上单调递增

B.函数的图象关于直线对称

C.若，但，则

D.函数有且仅有两个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知指数函数，，且，则实数________.

14.某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.

15.已知函数与的图像上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是_____________.

16.已知函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列三个结论：

①；

②函数在内有且仅有3个零点；

③不等式的解集为.

其中正确结论的序号是________.

四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数的两个零点分别为1和2.

（1）求实数m、n的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

18.一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.

（1）求每年开采矿山的百分比.

（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？

（3）今后最多还能开采多少年？

19.设函数，且，函数.

(1)求的解析式；

(2)若方程在上有两个不同的解，求实数b的取值范围.

20.已知函数与，其中是偶函数.

(1)求实数k的值；

(2)求函数的定义域；

(3)若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：，则，则.

2.答案：D

解析：当时，，，当时，，，综上所述，和1.

3.答案：A

解析：，，，所以.

4.答案：A

解析：当时，，因为是R上的奇函数，所以；当时，由于图象关于原点对称，故，所以.

5.答案：B

解析：当年份为n时，短视频制作的资金为(万元)，，，由，两边同时取对数并整理得，

解得，从而得，

所以资金投入开始超过6900万元的年份是2024年.故选B.

6.答案：D

解析：的定义域为，，所以是偶函数，当时，是增函数，当时，是减函数，且，所以由，得，即或，解得或，所以实数m的取值范围是.故选D.

7.答案：D

解析：，

由解析式知，图象的对称轴为直线，

c，d为函数的零点，且，，

可在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，故选D.

8.答案：A

解析：因为满足，所以，所以的图象关于直线对称，令，则的图象关于直线对称，作出函数与在上的图象，如图所示.

由图知与的图象在区间上共有8个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为，故选A.

9.答案：ACD

解析：对于A，的定义域为R，的定义域为，则与不是同一函数；对于B，与的定义域都是R且对应关系一样，则与是同一函数；对于C，的定义域为，的定义域为，则与不是同一函数；对于D，与的对应关系不一样，则与不是同一函数.

故选ACD.

10.答案：ABC

解析：由题意可得当时，在R上单调递增，显然方程有8个不同的实数解不成立.当时，令，则由，得，，，又方程有8个不同的实根，

结合图象可得解得.故选ABC.

11.答案：BC

解析：由得，故函数的定义域为，关于原点对称；又，故函数为偶函数，而，在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减.

12.答案：ABD

解析：函数的图象如图所示.

由图可得函数在区间上单调递增，A正确；

函数的图象关于直线对称，B正确；

若，但，若，关于直线对称，则，C错误；

函数有且仅有两个零点，D正确.

故选ABD.

13.答案：0

解析：由，则，解得或（舍去），所以.

14.答案：5

解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.

15.答案：

解析：函数与的图像上存在关于y轴对称的点，即有解，也就是函数与函数的图像有交点.在同一坐标系内画出函数与函数的图像如图所示.

函数的图像是把函数的图像向左平移，且平移到过点后开始，两函数的图像没有交点.

把点代入得，解得，

所以实数a的取值范围是.

16.答案：①③

解析：是定义在R上的奇函数，

，即，故①正确；

由得，

为奇函数，

，

，

即，，，

又当时，，

在内的大致图象，如图所示，

，

即在内有5个零点，故②错误；

由的图象可知，时，，即，故③正确.

17.答案：（1）

（2）

解析：（1）由函数的两个零点分别为1和2，可得

解得

（2）由（1）可得，

由不等式在上恒成立，可得不等式在上恒成立，可将化为，

所以在上的最小值为，所以.

18.答案：（1）

（2）到今年为止，已开采了6年

（3）今后最多还能开采18年

解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，则，解得.

（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.

（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.

19.答案：(1)

(2)

解析：(1)，且，，即.

，.

（2）方法一：方程为，令，，则，且方程在上有两个不同的解.

设，，则两函数图像在内有两个交点.

画出，的大致图像，如图所示.

由图知当时，方程有两个不同的解.

方法二：方程为，令，，则，

方程在上有两个不同的解.

设，，

解得.

20.答案：(1)

(2)当时，的定义域为；当时，的定义域为

(3)

解析：(1)由函数是偶函数可知，

，

，，

即对一切恒成立，.

(2)当时，函数的解析式有意义.

当时，，得；

当时，，得.

综上，当时，的定义域为；

当时，的定义域为.

(3)函数与的图像有且只有一个公共点，

即方程有且只有一个实根.

，

方程有且只有一个实根.

令，则方程有且只有一个正根.

①当时，，不合题意.

②当时，由得或.

若，则，不合题意；

若，则，满足要求.

若，则此时方程应有一个正根与一个负根，

，.又由得或，.

综上，实数a的取值范围是.