高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数 A卷 基础夯实

第四章   指数函数与对数函数 A卷

基础夯实

【满分：120分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数的定义域是(   )

A. B. C. D.R

2.函数在区间上(   )

A.单调递减且有最小值 B.单调递减且有最大值

C.单调递增且无最小值 D.单调递增且无最大值

3.已知，，则(   )

A. B. C.6 D.5

4.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则(   ).

A.-18 B.-12 C.-8 D.-6

5.若函数的零点为1，则实数a的值为(   ).

A.-2 B. C. D.2

6.体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于14~18岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中t为运动后心率(单位：次/分)与正常时心率的比值，a为每个个体的体质健康系数.若介于25~28之间，则达到了中等强度运动;若低于25，则运动不足;若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，体质健康系数，他经过慢跑后心率(单位：次/分)满足，x为慢跑里程(单位：米).已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为(   )(e为自然对数的底数，)

A.3 B.4 C.5 D.6

7.设，，，则(   )

A.  B.

C.  D.

8.在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   ).

A. B. C. D.不能确定

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列运算结果中，一定正确的是(   )

A. B. C. D.

10.已知函数(，且)的值域为，函数，，则下列判断正确的是(   )

A.

B.函数在上为增函数

C.函数在上的最大值为2

D.若，则函数在上的最小值为-3

11.已知，下列不等式成立的是(   )

A.  B.

C.  D.

12.若a是函数的一个零点，b是函数的一个零点，已知函数，则(   )

A.  B.

C.方程有两个实数解 D.方程没有实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数且的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则___________.

14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，t min后物体的温度可由公式求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40℃，那么t的值约等于_______________.(保留三位有效数字，参考数据：，)

15.若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______.

16.若函数的零点在区间内，则_________.

四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数（，且）的图象经过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，求函数的值域.

18.已知函数.

（1）当时，求函数的零点；

（2）对任意，函数恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

19.我国是世界上人口最多的国家，1982年在党的第十二次全国代表大会上，计划生育政策被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.

(1)据统计，1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国人口总数大约为多少亿(精确到亿)？

(2)当前，我国人口发展已经出现转折性变化.于2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计，2015年中国人口实际数量大约为14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿？

(参考数据：，，，)

20.已知函数.

（1）写出函数的定义域及判断其奇偶性；

（2）若，求实数m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由解得：.故选：B.

2.答案：A

解析：令为上的增函数，且，则在上为减函数，即在上为减函数，有最小值，取不到最大值.

3.答案：A

解析：因为，，所以，因此.故选A.

4.答案：D

解析：由题意知，所以当时，，又因为函数是奇函数，所以.故选D.

5.答案：B

解析：因为函数的零点为1，所以，解得.故选B.

6.答案：B

解析：由题意设跑了圈，则，，则，则，故选B.

7.答案：C

解析：由对数的运算性质，得，，所以，故.因为，所以，于是.故选C.

8.答案：B

解析：设，，，，在R上连续且单调递增，在区间内，函数存在一个零点，又，，同理可知，在区间内，函数存在一个零点，由此可得方程的根落在区间内，故选B.

9.答案：AD

解析：，故A正确；，故B不正确；，故C不正确；，故D正确.故选AD.

10.答案：ACD

解析：因为，函数(，且)的值域为，所以，所以函数在上为减函数，故当时，该函数取得最大值，因而最大值为2.当时，函数在上的最小值为.

11.答案：AC

解析：因为，，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为，，所以，故D错误，故选AC.

12.答案：BC

解析：依题意，a是方程的解，b是方程的解，根据图象可知，a，b分别是直线与函数、函数图象交点的横坐标的值，和图象关于对称，则，所以.方程，即，解得或.所以方程有两个实数解.

13.答案：16

解析：当，即时，得出，点A的坐标是.幂函数的图象过点，，解得，幂函数为，则.

14.答案：4.58

解析：由题意可得，化简可得，，，.

15.答案：

解析：函数在区间上是增函数，函数在区间上为正值，且是增函数，，且，解得，故答案为：.

16.答案：2

解析：因为，所以在上单调递增，又，，所以函数在上有唯一零点，所以.

17.答案：（1）

（2）

解析：（1）将点，代入函数的解析式中，
得，解得，
，，，.

（2），令，则，
，，则在上是递增函数，
，函数的值域为.

18.答案：（1）函数的零点为-1，

（2）实数a的取值范围是

解析：（1）当，时，令，解得或，
所以函数的零点为-1，.

（2）依题意，恒有两个不同的实根，
所以对任意恒成立，且，
即，且，解得且.
所以实数a的取值范围是.

19.答案：(1)15亿

(2)14年

解析：(1)由1995年底到2020年底，经过25年，

由题意可得2020年底我国人口总数大约为

(亿).

(2)设需经过x年我国人口可达16亿.

由题意可得，

两边取常用对数，可得，

则有.

则需经过14年我国人口可达16亿.

20.答案：（1）函数的定义域为，函数为偶函数

（2）

解析：（1）要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
，
函数为偶函数.

（2）函数，
由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数.
又函数为偶函数，，
不等式等价于.
.