高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式 B卷 能力提升

第二章   一元二次函数、方程和不等式 B卷

能力提升

【满分：120分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若，，则与的大小关系是(   )

A.  B.

C.  D.随x值变化而变化

2.已知不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(   )

A.  B.或

C.或 D.

3.下列命题为真命题的是(   )

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

4.若，，且，则，，，中最大的是(   )

A. B. C.2ab D.

5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元/件)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元.若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是(   )

A. B.

C. D.

6.某批救灾物资随41辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则(   )

A.70 B.80 C.90 D.100

7.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是(   )

A.或 B.

C.  D.

8.设m，n为正数，且，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知实数x，y满足，，则(   )

A.  B.

C.  D.

10.已知关于x的不等式，则下列说法中正确的是(   )

A.若，则不等式的解集为R

B.若，则不等式的解集为或

C.若，则不等式的解集为或

D.若，则不等式的解集为或

11.已知正数x，y满足，则(   )

A.xy的最大值是1  B.的最小值是2

C.的最小值是4 D.的最小值是

12.已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是(   )

A.若，则

B.若，则

C.若，则，

D.若，，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设，，，则A，B的大小关系是_______（用“>”连接）.

14.已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是___________.

15.已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________.

16.已知，，则的取值范围是__________.

四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知，，，求证：

(1)；

(2).

18.已知关于x的不等式.

(1)当时，解关于x的不等式；

(2)当时，不等式恒成立，求x的取值范围.

19.（1）已知，且，比较与的大小；

（2）已知，，试比较与的大小.

20.设矩形的周长为，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，如图所示，设，.

（1）求y与x之间的关系式；

（2）求的最大面积及相应x的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为，所以，故选A.

2.答案：A

解析：方法一：的最小值为4，所以要使对任意实数x恒成立，只需，解得，故选A.

方法二：不等式对任意实数x恒成立等价于不等式对任意实数x恒成立，所以关于x的方程的判别式，解得.

3.答案：D

解析：当，时，，但，故A错误；当时，，故B错误；当，时，，但，故C错误；若，则，故D正确.选D.

4.答案：D

解析：方法一：因为，，且，所以，，，，所以，故选D.

方法二：取，，则，，，，显然最大，故选D.

5.答案：B

解析：设该厂每天获得的利润为y元，则(，).根据题意可得，解得.故当，且时，每天获得的利润不低于1300元.故选B.

6.答案：C

解析：第一辆汽车到达灾区所用的时间为，由题意，知最短每隔到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为，要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.又，当且仅当，即时等号成立.

7.答案：C

解析：因为关于x的不等式的解集为，所以关于x的不等式的解集为R.当，即时，，解集为R成立；当，即时，，解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选C.

8.答案：B

解析：，，即，

，当且仅当，且时，即，时，等号成立.故选B.

9.答案：AC

解析：因为，，所以，则，故A正确；

易得，又，所以，则，故B错误；

易知，所以，故C正确；

易知，所以，故D错误.故选AC.

10.答案：BCD

解析：关于x的不等式可转化为，即①.若，则①式转化为，此时不等式的解集为，故A错误；若，则①式转化为，此时不等式的解集为或，故B正确；若，则，此时不等式的解集为或，故C正确；若，则，此时不等式的解集为或，故D正确.

11.答案：ABD

解析：由，，，得，所以（当且仅当时等号成立），故A正确；（当且仅当时等号成立），故B正确；因为，所以（当且仅当时等号成立）（[另解]，又，所以.），故C错误；（当且仅当，时等号成立），故D正确.

12.答案：ABD

解析：因为，所以，，所以，故A正确；若，则，，所以，故B正确；令，，满足，不满足，故C错误；因为，，所以，故D正确.

13.答案：

解析：方法一：因为，所以，又，，所以.

方法二：令，，则，，所以.

14.答案：或

解析：由，得.因为，所以，所以，，当且仅当时，等号成立，故.因为恒成立，所以，解得或.故t的取值范围是或.

15.答案：

解析：由题意可分为以下几种情况：①当时，，解得，不满足题意，舍去.

②当时，若，，若此方程有两个正实数根，则，解得；若，，若此方程有两个负实数根，则，解得.综上，实数a的取值范围是.

16.答案：

解析：方法一：设，

则所以

所以.

因为，，

所以，，

所以，

即.

方法二：令，，

则，，，.

.

因为，，所以，即.

17.答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

解析：(1)因为，，，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以.

(2)因为，，，

所以，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以.

18.答案：(1)当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

(2)x的取值范围是

解析：(1)不等式可化为.

当时，不等式化为，解得.

当时，不等式化为，

解得或.

当时，不等式化为.

①若，即，则解不等式得；

②若，即，则解不等式得；

③若，即，则解不等式得.

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

(2)由题意可知不等式对恒成立.

可设，，

则y是关于a的一次函数，则需满足

解得.因此x的取值范围是.

19.答案：（1）

（2），当且仅当时取等号

解析：（1）因为，

且，

所以当时，，即；

当时，，即.

（2）方法一：

.

因为，，，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号.

方法二：因为，，

所以

当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号.

方法三：因为，，

所以

，

当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号.

20.（1）答案：

解析：因为，矩形的周长为，

所以.

设，则.

，，，

，.

在中，由勾股定理得，

即，解得.

，即.

（2）答案：时，的面积最大，最大面积为

解析：的面积

.

由基本不等式与不等式的性质，得，

当且仅当，即时，的面积最大，最大面积为.