北师大初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案解析）

北师大初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一 二 三章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，已知某广场菱形花坛的周长是米，，则花坛对角线的长等于(    )
 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2.如图，在中，，，点是斜边的中点，那么的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.若等腰三角形一条边的边长为，另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是
(    )

A.  B.  C. 或 D.

4.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5.同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如表所示：

下面有四个推断：
种子个数是时，发芽种子的个数是所以种子发芽的概率是；
随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在附近摆动，显示出一定的稳定性．可以估计种子发芽的概率约为精确到；
实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；
若用频率估计种子发芽的概率约为，则可以估计种子大约有的种子不能发芽．
其中合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，点是的中点，连接，则线段的长等于
(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.如图，菱形中，，，，，垂足分别为，，连接，则的面积是
(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则等于
(    )


 

A.  B.  C.  D.

10.的三边长都是方程的解，求此三角形的周长
(    )

A.  B. 或或或 C.  D. 或或

11.如图，分别旋转两个标准的转盘若指针指向分割线，则重新转，两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率．绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是(    )


 

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副只有四种花色的张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是
D. 暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，且，则的长度是          ．

 

14.已知等腰三角形的一边长为，另一边长为方程的根，则该等腰三角形的周长为          ．

15.若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为________ ．

16.在一个不透明的袋中装有若干个红球和个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球次，其中有次摸到黑球，估计袋中红球的个数是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

解方程：

．．

18.本小题分
已知关于的方程有实数根．
求的取值范围；
设方程的两根分别是、，且，试求的值．

19.本小题分
如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连．

求证：矩形为正方形；
求证：．

20.本小题分
如图，有一块三角形的铁片．
求作：以为一个内角的菱形，使顶点在边上．

21.本小题分

如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．

通过计算，判断方程是否是“邻根方程”？ 

已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值；

22.本小题分
小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字、、、的个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．

23.本小题分

在一个不透明的布袋里装有个标有、、、的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为，王芳在剩下的个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．

画树状图或列表，写出点所有可能的坐标；

求点在函数的图象上的概率．

24.本小题分
“端午节”所示我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽以下分别用、、、表示这四种不用口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．

请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的居民有多少人？     
将两幅不完整的图补充完整；
若居民区有人，请估计爱吃粽的人数；
若有外型完全相同的、、、粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是粽的概率．

25.本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．
 

求证：四边形是矩形

若，，求矩形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键由四边形为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据得到三角形为等边三角形，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可确定出的长．
【解答】

解：设与的交点为，

四边形为菱形，
，，，米，
，
为等边三角形，
米，米，
在中，根据勾股定理得米，
则米．
故选A．

2.【答案】 

【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得到，再根据，即可得出的度数．
【解答】

解：在中，，点是斜边的中点，

，

．

又，

．
故选C．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分为等腰三角形的腰与为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．分为等腰三角形的腰与为等腰三角形的底两种情况考虑，当为等腰三角形的腰时，将代入原方程可求出的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出，解之即可得出值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况题符合意，此题得解．
【解答】
解：当为等腰三角形的腰时，将代入原方程得，
解得：，
此时原方程为，即，
解得：，，
，
不能为等腰三角形的腰；
当为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
此时，
、、可以围成等腰三角形，
．
故选B．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分为腰长及为底边长两种情况，求出值是解题的关键．
当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出值．再根据三角形三边关系判断是否符合题意即可．
【解答】
解：当为腰长时，将代入，得：，
解得：，
的两个根是，，，符合题意；
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的两个根是，，符合题意．
的值为或．
故选C

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【解答】
解：列表如下：

共有种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占种，
所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率．
故选D．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
【解答】
解：当种子个数是，发芽种子的个数是时．种子发芽的频率大约是，这个频率不能作为概率，故错误；
随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在附近摆动，显示出一定的稳定性．可以估计种子发芽的概率约为精确到；故正确；
实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率，故错误；
若用频率估计种子发芽的概率约为，则可以估计种子大约有的种子不能发芽，故正确；
其中合理的是，
故选D．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【解答】
解：菱形的周长为，
，．
又为的中点，
是的中位线．
．
故选A．

8.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查菱形的性质，等边三角形的判定．掌握菱形的性质，等边三角形的面积公式，证明是等边三角形是解题的关键．
首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可判断出是等边三角形，再根据勾股定理求出等边三角形的边长即可．
【解答】

解：连接，如图所示，

在菱形中，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
同理可得，，
则为等边三角形，

．
故选B．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的应用以及翻折变换．
设交于，由，得到是等腰直角三角形从而得到方程
即可解答．
【解答】
设交于．

，，
是等腰直角三角形．
设，
则，．
，
解得，
即．
故选B．

10.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根据三角形的三边关系求出三角形的周长，此题难度不大，但容易出错，注意三角形三边关系是解决问题的关键．用因式分解法可以求出方程的两个根分别是和，分两种情况进行讨论：当三角形为等腰三角形时，当为等边三角形时，利用等腰三角形三边关系和等边三角形三边关系求出三角形的周长．
【解答】
解：，
，
，，
当三角形为等腰三角形时，当为腰，为底时，，能构成等腰三角形，周长为，
当为腰，为底时，不能构成三角形，
当三角形为等边三角形时，三角形的三边分别都为，或者都为时，
周长分别为，，
综上所述三角形的周长是或或．
故选D．

11.【答案】 

【解析】解：根据题意列表如下：

共有种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有种情况，
转得的两个数之积为偶数的概率为；
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

12.【答案】 

【解析】解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故C选项符合题意；
D、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故D选项不符合题意；
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了直接三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出是解题关键．根据：：，可得，，进而得出，进而求得的长．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
：：，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，
因为，
所以等腰三角形的腰长不能是，
所以等腰三角形的腰为，底边长为，
所以三角形的周长．
故答案为：．
先解方程得到，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为，底边长为，然后计算三角形的周长．
本题考查了解公式法解一元二次方程，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．

15.【答案】或 

【解析】解：当为腰长时，将代入，得：，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，，
，
符合题意；
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，
，
符合题意．
的值为或．
故答案为：或．
当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分为腰长及为底边长两种情况讨论是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：设袋中红球的个数是个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是个，
故答案为．
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．

17.【答案】解：，   

．

【解析】见答案

18.【答案】解：原方程有实数根，
，
；
，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又，
，
，
，
解之，得：经检验，都符合原分式方程的根，
，
． 

【解析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出的取值范围，此题难度不大．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；
根据根与系数的关系得出方程解答即可．

19.【答案】证明：如图，作于，于，

则，
又四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
≌，
，
． 

【解析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等．
作出辅助线，先证得，然后证得，得到≌，则有，即可得证；
先根据正方形的性质以及勾股定理求出的长，再同的方法证出≌得到，即可由得证．

20.【答案】解：如图所示，菱形即为所求．
 

【解析】先作的平分线，交于点，作线段的垂直平分线分别交、于点、，四边形即为所求作．
本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及角平分线、作一个角等于已知角的尺规作图．

21.【答案】解：  ， 

，，，

，

 ，

 ，

  是“邻根方程”；

解方程得：，

或，

方程是常数是“邻根方程”，

或，

或．

【解析】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，属于新定义型题目，读懂新定义的规则是关键．
先利用公式法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；
先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“邻根方程”的定义得到或，即可．

22.【答案】解：这个游戏对双方不公平．
理由如下：列表得

所有等可能的情况有种，其中两次数字差的绝对值小于的情况有，，，，，，，，，共种，
故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，
，
这个游戏对两人不公平． 

【解析】列表得出所有等可能的情况数，求出两次数字差的绝对值小于的情况，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就对双方公平，否则就不公平．

23.【答案】解：画树状图得：

共有种等可能的结果、、、、、、
、、、、、；

在所有种等可能结果中，在函数的图象上的有、、这种结果，
点在函数的图象上的概率为． 

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
找到点在函数的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．

24.【答案】解：人．
答：本次参加抽样调查的居民由人；
，，；
补全统计图如图所示：

人．
答：该居民区有人，估计爱吃粽的人有人；
如图：

第二次吃到粽．
答：他第二个恰好吃到的是粽的概率为 

【解析】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
利用频数百分比总数，求得总人数；
根据条形统计图先求得类型的人数，然后根据百分比频数总数，求得百分比，从而可补全统计图；
用居民区的总人数即可；
首先画出树状图，然后求得所有的情况以及他第二个恰好吃到的是粽的情况，然后利用概率公式计算即可．

25.【答案】证明：，，

四边形是平行四边形，

又四边形是菱形，

，即，

四边形是矩形；

解：在菱形中，，

，

又，

是等边三角形，

，
，

，

矩形的面积是．

【解析】本题主要考查矩形的判定与性质、菱形的性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形；
首先推知是等边三角形，所以，则，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可．