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考点03 因式分解-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）
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这是一份考点03 因式分解-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版），文件包含考点03因式分解原卷版docx、考点03因式分解解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
考点03 因式分解
知识框架
知识点2-1 因式分解的概念
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1．（2021·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，进行判断即可．
【解析】解：A. ，不是因式分解，此项错误；
B. 中，不是因式分解，此项错误；
C. ，不是因式分解，此项错误；
D. ，是因式分解，此项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2021·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【解析】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是积的形式，故选项错误；
C、x2-1=（x+1）（x-1），正确；D、等式不成立，故选项错误．故选：C．
【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
3．（2021·上海市西南模范中学初一期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．
【答案】21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
【解析】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案为：21．
【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解．
4．（2021·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据题意列出等式，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，然后代入求值即可．
【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故选：A．
【点睛】本题主要考查因式分解与整式乘法的关系，掌握因式分解与整式乘法是互逆的变形过程是解题的关键．
5．（2021·贵州铜仁·初二期末）多项式可因式分解为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式的乘法法则把化简，然后与左侧比较即可求出的值
【解析】解：∵==x2-5x+6，∴m=-5故选D
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键．
6．（2021·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知为实数，若均为多项式的因式，则__________.
【答案】100
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
【解析】解法一（直接展开法）：均为多项式的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为 则
整理得：由此可得：
解法二（利用方程或等式的性质）：均为多项式的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为 则
取x=1和x=-4带入上面的方程中得到：解得：
=100；故答案为：100.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解、以及乘法法则，依据题意正确设立第三个因式是解题关键.
7．（2020·四川省南充高级中学初三期末）若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
【答案】
【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【解析】解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
知识点2-2 因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
补充：立方和公式：；立方差公式：
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
知识点2-3因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式
③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
1．（2021·上海市静安区实验中学初一课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1
【答案】D
【解析】由题意可得，这个多项式的公因式为4xmyn-1，
注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D
2．（2021·山东东明·期末）若，则代数式的值为________．
【答案】－2
【分析】直接将原式提取公因式−xy，进而分解因式求出答案．
【解析】∵xy＝2，x−y＝1，∴代数式−x2y＋xy2＝−xy（x−y）＝−2×1＝−2．故答案为：−2．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
3．（2021·山东历城·期中）如图，边长为，的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）.
A．140 B．70 C．35 D．24
【答案】B
【分析】根据题意得出2(a+b)=14，ab=10，再对进行因式分解，即可得出答案.
【解析】根据题意可得：2(a+b)=14，ab=10 则 故答案选择：B.
【点睛】本题考查的是因式分解，需要熟练掌握因式分解的方法.
4．（2021·湖南邵阳·期末）已知是关于、的二元一次方程组的解，则_____．
【答案】-5
【分析】根据题意直接将x与y的值代入原方程组并解出a-b和a+b的值，进而利用平方差公式计算即可求出答案．
【解析】解：由题意将代入，∴，
∴．故答案为：-5．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义以及运用平方差公式进行计算．
5．（2021·山东博兴·初二期末）在实数范围内，下列多项式：(1)；(2)；(3)；(4)，其中能用平方差公式进行分解因式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反；完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】（1）＝，所以可以；（2）＝，所以可以；
（3）＝，所以可以；（4），所以可以；
综上可得，能用平方差公式进行分解因式的个数有4个．故选：D．
【点睛】考查了公式法分解因式，有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式分解因式．
6．（2020·江苏沭阳·期中）阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
【答案】（1）x1=0或x2=5；（2）x1 =-1，x2=3；（3）见解析
【分析】（1）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（2）利用平方差公式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（3）将代数式变形后得：（y+4-x）（y+4+x），根据三角形的三边关系得：x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，则y2-8y+16-x2＞0
【解析】解：（1），∴，∴x=0或x-5=0，∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，∴（3x+3）（-x+3）=0，∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三边长为4，x，y，∴x+y＞4，x+4＞y，∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式、三角形的三边关系，运用平方差公式是解题的难点，准确判断三边关系来求解．
7．（2021·思南县张家寨初级中学期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k的值是（ ）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
【答案】D
【分析】由题意可得x2＋kx＋25是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可．
【详解】解：因为x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，
所以x2＋kx＋25=，所以．故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．
8．（2021·沙坪坝·重庆南开中学月考）关于的多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．
【解析】解：原式＝
∵，，∴原式≥－1，∴原式的最小值为－1，故选A．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断．
【解析】解：A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．故选：A．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键．
10．（2021·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【详解】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2
=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
11．（2021·诸暨市浣江初级中学初一期中）请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：
(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)= (_____________)(_____________)；
=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)= (_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：①；②．
【答案】（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②
【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；
②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；
【详解】解：（1）()-()=-= ()()；
=()+()= +()=
故答案为：；；；；；；；；；；；；
（2）①==
②===
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
12．（2021·广西兴宾·初一期中）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．
【详解】
解：原式=
= = =．故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
13．（2021·全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
14．（2021·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；
（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
【详解】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，
而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
重难点题型
题型1 因式分解概念及意义
【解题技巧】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。
1．（2021·贵州威宁彝族回族苗族自治县·）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【详解】解：A．，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．，从左边到右边变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．，右边不是积的形式，故本选项不符合题意；
D．，从左边到右边变形是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
2．（2021·陕西莲湖·八年级期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，选项不合题意；
B．左边不是多项式，不是因式分解，选项不合题意；
C．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，选项符合题意；
D．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．
3．（2021·河南八年级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式不是因式分解，故本选项不符合题意；B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、两因式之间用加号连结，是和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ．
4．（2021·吉林铁西·八年级期末）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故A错误；
B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故B错误；
C、等式的右边不是整式的积的形式，故C错误；D、是因式分解，故D正确；故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．
5．（2021·安徽合肥·七年级期末）若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值．
【详解】又
，，均为整数故选C．
【点睛】本题考查多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出的值是解题的关键．
6．（2021·济宁市第十三中学八年级月考）多项式，则，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把展开，比较系数相等即可求出，的值．
【详解】解：
∴-8=-(n+9)，m=9n，解得：，．故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解与整式的乘法的关系，解题的关键是熟练掌握因式分解与整式的乘法互为逆运算．
7．（2021·沙坪坝·重庆南开中学）在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，， ，解得，，．故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
8．（2021·河北滦南·）若多项式x2﹣mx+n可因式分解为（x+3）（x﹣4）．其中m，n均为整数，则m﹣n的值是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
【答案】A
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则化简(x+3)(x﹣4)，再与式x2﹣mx+n比较求出m，n的值，代入m﹣n计算即可．
【详解】解：∵(x+3)(x﹣4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12，∴x2﹣mx+n= x2-x-12，
∴m=1，n=-12，∴m﹣n=1+12=13．故选A．
【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键．
题型2 提公因式法
【解题技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法
挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
1．（2021·四川武侯·）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】因公因式为多项式中各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，得n≥4，故A正确．
【详解】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，∴n≥4．
又∵5＞4，∴A符合题意，B、C、D不合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查提公因式法中公因式的找法，熟练掌握多项式公因式的找法是解题关键．
2．（2021·陕西榆林·八年级期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，这个因式就叫做这个多项式的公因式，进行求解即可．
【详解】观察可知，这个多项式的每一项都含有，∴提取的公因式为，故选D．
【点睛】本题主要考查了公因式，解题 的关键在于能够熟记公因式的定义．
3．（2021·西安益新中学八年级月考）将多项式提公因式后，另一个因式是（ ）
A．﹣a+2b B．a﹣2b C．a+2b D．a+b
【答案】C
【分析】提公因式进行分解即可．
【详解】解：，则另一个因式是：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
4．（2021·济宁市第十三中学八年级月考）将多项式提出公因式后，另一个因式为__________．
【答案】
【分析】根据提公因式法即可求解．
【详解】=故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提公因式法的运用．
5．（2021·广西宁明·七年级期末）因式分解： ___________．
【答案】
【分析】利用提公因式法分解即可．
【详解】解：故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（2021·湖南荷塘·七年级期末）分解因式：_________．
【答案】
【分析】根据提公因式因式分解求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解本题的关键．
7．（2021·沈阳实验中学）分解因式：______
【答案】
【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．
8．（2021·河北玉田·）已知，，则的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【答案】B
【分析】首先将 变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，解题关键是准确找出公因式，将原式分解因式．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】观察各项找出公因式，利用提公因式法进行分解即可．
【解析】==．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定出公因式是解本题的关键．
10．（2020·山东单县·初一期末）已知，则代数式的值为____________．
【答案】-8
【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．
【解析】∵，∵， ∴，
又，∴原式=2×(-4)=-8．故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
题型3 运用公式法
【解题技巧】若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定了分解结果的运算符号。
1）平方差公式的应用
1．（2021·浙江杭州·）下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
【详解】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意；
B、-a2+b2符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，符合题意；
C、-a2-b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意．
D、-a2-4b中，b不能表示成一个有理数的平方，不能在有理数范围内用平方差公式分解因式，故本选项不合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键．
2．（2021·广东福田·八年级期末）在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用平方差公式： ，进而分解因式判断即可．
【详解】A、，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
C、，无法分解因式，故此选项不合题意；D、，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
3．（2021·浙江杭州·七年级期中）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解；
B、-1+y2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、2x2+2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、x3-y3是两个立方项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
4．（2021·河南汝州·八年级期末）下列不能使用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2
【答案】C
【分析】根据平方差公式：，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C，，不能利用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了用平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式．
5．（2021·重庆实验外国语学校九年级）分解因式：__．
【答案】
【分析】因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式，本题可以先提取公因式，然后再利用平方差公式化简，即可得到正确答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解的化简，根据相关知识点解题是关键．
6．（2021·浙江鹿城·温州市教育教学研究院九年级）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解因式．
【详解】解：（n+3）（n-3），故答案为：（n+3）（n-3）．
【点睛】此题考查因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2021·吉林长春外国语学校）分解因式：______．
【答案】（1—m）（1+m）
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1—m）（1+m）故答案为：（1—m）（1+m）
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构是解题的关键，注意因式分解要彻底．
8．（2021·江西九江·七年级期末）若，且，则______．
【答案】5
【分析】将m2-n2按平方差公式展开，再将m-n的值整体代入，即可求出m+n的值．
【详解】解：，∵，∴．故答案为：5．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的逆用．
2）完全平方公式的应用
1．（2021·广西兴宾·）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的特点逐一判断即得答案．
【详解】解：与不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式进行因式分解；
，故②能用完全平方公式进行因式分解；
，故④能用完全平方公式进行因式分解；故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
2．（2021·全国七年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公式法因式分解，逐项分析即可．
【详解】A. ，能因式分解，不符合题意；
B. ，能因式分解，不符合题意；
C. 不能因式分解，符题意；
D. ，能因式分解，不符合题意．故选C
【点睛】本题考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．
3．（2021·广东八年级专题练习）下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式逐项判断即可得．
【详解】A、，其中不满足完全平方公式，此项不符题意；
B、，其中不满足完全平方公式，此项不符题意；
C、，此项符合题意；
D、不满足完全平方公式，此项不符题意；故选：C．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式法分解因式，熟记完全平方公式是解题关键．
4．（2021·湖南涟源·七年级月考）因式分解______．
【答案】
【分析】根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：==
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
5．（2021·湖南广益实验中学九年级月考）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提出公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法，并根据多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
6．（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【详解】原式==，故答案是：．
【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解题的关键．
3）综合应用
1．（2021·鹤壁市淇滨中学八年级期中）下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行判断．
【详解】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
2．（2021·浙江上虞·）下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【分析】根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
3．（2021·雅安天立学校八年级月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
【答案】C
【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可．
【详解】解：A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；
C. x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；
D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．（2021·山东茌平·七年级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．
【详解】解：①-x2-y2=-(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；
②-a2b2+1=1-(ab)2=(1+ab)(1-ab)，因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2=-(x2﹣2xy+y2)=-(x-y)2，因此④能用公式法分解因式；
⑤-mn+m2n2=(-mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是应用的前提．
5．（2021·江苏金坛·七年级期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．（2021·河北安国·八年级期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
【答案】; 22020．
【分析】先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）计算括号内的即可．
【详解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2=，
，故答案为；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝22022-22021-22020=22020（22-2-1）=22020． 故答案为22020．
【点睛】本题考查分组法因式分解，以及因式分解应用计算，掌握分组法因式分解方法，会利用因式分解应用计算是解题关键．
题型4 分组分解法
【解题技巧】当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。
1．（2021·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，设．
比较系数得，．解得．所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】解：
设
比较系数得，，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2021·全国八年级课时练习）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；
（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；
（3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．
【答案】 3 ②，③，④
【分析】（1）先将式子中的项进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可；
（2）先将式子中的项进行分组，再提取公因式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）对每个式子进行因式分解，判定即可．
【详解】解：（1）
故答案为：、3、、、
（2）
故答案为：、、、、、、
（3）①，不能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，不符合题意；
②，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
③，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
④，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
故答案为：②，③，④
【点睛】此题考查了因式分解的方法，涉及了分组分解法、公式法、提取公因式法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
3．（2021·四川渠县·八年级期末）因式分解：．
【答案】（x-y+5）（x-y-5）
【分析】根据分组分解法的法则原则将x2-2xy+y2为一组，-25为一组，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=（x2-2xy+y2）-25=（x-y）2-52=（x-y+5）（x-y-5）．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．
4．（2021·利辛县第四中学）分解因式：（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先提取公因式xy,然后再运用公式法分解即可；
（2）采用分组法、再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）=）=；
（2）==．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握分组法、提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
5．（2021·江西抚州·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三边满足，试判断的形状．
【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①；
②；
（2），，
，，
，，是的三边，，，
，，即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．
6．（2021·石家庄市第二十一中学八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：；（2）分解因式：．
【答案】（1）（x-n）（x+n+1）；（2）（a+1）（a+3）
【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用拆项法分解因式得出答案．
【详解】解：（1）原式=（x+n）（x-n）+（x-n）=（x-n）（x+n+1）；
（2）原式=a2+4a+4-1=a2-1+4a+4=（a+1）（a-1）+4（a+1）=（a+1）（a-1+4）=（a+1）（a+3）
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂材料并理解所给做法是解题的关键．
7．（2021·山东薛城·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）；
（2）．
问题二：探究
对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究，的数量关系．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可；（2）按完全平方公式分组然然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究:先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数、都成立，可得即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
问题二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，对任意有理数、都成立，∴，∴，的数量关系．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分
组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
8．（2021·安徽马鞍山·七年级期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．
①分解因式：；②若都是正整数且满足，求的值；
（2）若为实数且满足，，求的最小值．
【答案】（1）①；②8；（2）
【分析】（1）①根据题意分组分解即可；②根据①的结论可得，进而根据都是正整数，列二元一次方程组解决问题；（2）先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值．
【详解】解：（1）①
②由题即
∵为正整数且∴即 ∴
（2）由题
∴
∵∴，当且仅当时取等号
经验证当时满足综上，的最小值为．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，二元一次方程组，非负数的性质，整体代入是解题的关键．
题型5 十字相乘法
1．（2021·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
2．（2021·重庆北碚·西南大学附中八年级开学考试）因式分解：
（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．
【答案】（1）（x-1）（x+6）；（2）x（x-2y）（x+2y）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；（2）先提公因式x，再利用平方差公式即可分解；
【详解】解：（1）原式=（x-1）（x+6）；
（2）原式=x（x2-4y2）=x（x-2y）（x+2y）．
【点睛】此题考查了十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解时要分解到每一个因式再也不能分解为止．
3．（2021·湖南岳阳·七年级期末）阅读理解题
由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
分解因式：．
多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
（1）尝试：分解因式：（______）（______）；
（2）应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．
【答案】（1）2，4；（2）（x-2）（x-3），（x+1）（x-6）
【分析】（1）根据“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”可得；
（2）利用“x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”进行因式分解即可．
【详解】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4；
（2）x2-5x+6=x2+[（-2）+（-3）]x+[（-2）×（-3）]=（x-2）（x-3），
x2-5x-6=x2+[1+（-6）]x+[1×（-6）]=（x+1）（x-6）．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是理解“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”．
4．（2021·湖南雨花外国语学校）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键．
6．（2020·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
【解析】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
7．（2020·陕西凤翔·初一期中）计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用十字相乘的方法来分解即可．
【解析】解：=（x-6）（x+1）故选D
【点睛】本题考查了运用十字相乘的方法来分解因式，熟练掌握该方法是解决本题的关键．
8．（2020·长春市第四十七中学月考）分解因式________________．
【答案】
【分析】把-4写成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】∵-4=-4×1，又-4+1=-3∴．故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
9．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________
【答案】
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【解析】
故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
【解析】=．
【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，且，都是正整数，试求，的值．
【答案】x=3，y=2．
【分析】运用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，再根据，的值均是正整数进行讨论即可得出答案．
【解析】∵，且，都是正整数 ∴是正整数，是整数，
又∵，7是正整数，∴，均是正整数，
又∵7=7×1，∴或，解得，
解得（不符合题意，舍去）所以x=3，y=2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法分解因式并确定出关于x、y的方程组是解题的关键．
题型6 利用因式分解判断三角形
1．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解．
例如：．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：；
（2）三边满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）为等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）根据题意分组分解，再用提公因式法因式分解；（2）将等式的左边分组分解，再用提公因式法因式分解，再根据三角形三边关系即可求得进而判断三角形的形状．
【详解】解：（1）．
（2）为等腰三角形．理由如下：
∵，∴，∴．
∵，，为三边，∴，∴，即，∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查了分组分解法，提公因式法因式分解，三角形三边关系，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．
2．（2021·陕西莲湖·八年级期末）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：（1）分解因式：．
（2）已知，，为的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）等腰三角形，见解析
【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；
（2）对等式进行因式分解，求得，即可判定．
【详解】解：（1）原式．
（2）是等腰三角形．
理由：，，，．
∵，∴，即，∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
3．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
4.（2020•徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【答案】△ABC是等边三角形．
证明如下：∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和完全平方公式、因式分解，能根据完全平方公式得出（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0是解此题的关键．
5．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
【答案】（1）；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【分析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；
（2）先从中提取公因式，从中提取公因式，再提取它们的公因式，最后根据，判断出△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）；
（2）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴的形状是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.
6．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形，理由见解析．
【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．
(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．
【解析】解：(1)原式，故答案为．
(2)∵∴，∴，
∴或，∴或，∴△ABC为等腰三角形．故答案为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
7．（2020·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
8.（2020•东营期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则该△ABC是什么三角形？
【分析】把a2+b2+c2＝ab+ac+bc的两边乘2，然后分类利用完全平方公式各自因式分解，进一步利用非负数的性质得出a、b、c三边之间的关系解决问题．
【答案】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0
∴a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
【点睛】此题考查利用完全平方公式因式分解和非负数的性质解决问题，要根据所给的条件灵活运用．
题型7 利用因式分解求值
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【分析】先对原式运用平方差公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可.
【解析】原式=
∵，∴原式=
【点睛】本题主要考查了应用平方差公式进行因式分解和整体代入法，能够正确的进行因式分解是解题的关键.
2．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
【答案】35
【分析】根据题意可得，再利用因式分解代入计算即可．
【解析】解：∵ 是方程组的解，∴ ，
∴ ，故填：35．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及因式分解，利用整体法求代数式的值．
3．（2020·沭阳县修远中学初一期末）已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A． B．或 C．1 D．1或11
【答案】D
【分析】此题先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．
【解析】解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a－c＝1或a－c＝11，故选D．
【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．
4．（2021·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
5．（2020·贵阳市白云区南湖实验中学初二期末）已知，，则代数式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【解析】∵，，∴a-c=-1，
∴=== =-3，故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
6.（2021•淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由题意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz变形为（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入计算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的运用；熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．（2020·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a-b的值是__________．
【答案】-3
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a,b的值．
【解析】分解因式x²＋ax＋b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为(x＋2)(x＋4)＝x²＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看错了a， 分解结果为
(x＋1)(x＋9)＝x ² ＋10x＋9，∴b＝9，故答案为：－3.
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
8．（2020·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式 (从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
【答案】（1）推导见解析；（2），．
【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:;（2）根据配方法和立方差公式可得.
【解析】解:
解：
【点睛】考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.
9.（2021•鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
【分析】（1）将已知的两个式子相减可得b﹣c＝2，则所求式子可化为5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）将所求式子利用完全平方公式化为a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再将（1）的式子代入即可．
【答案】解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，∴b﹣c＝3﹣1＝2，∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再运用因式分解进行求解是解题的关键．
题型8 因式分解的应用
解题技巧：因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1．（2020·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
【答案】3
【分析】根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题．
【解析】解：如图所示：
共有3种不同的正方形．故答案为3．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
2.（2021•乳山市期中）【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【分析】（1）将x﹣y看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得；
（2）将a+b看做整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看做整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数．
∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力．
3．（2020·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【分析】（1）先利用分组法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分组法分解因式，求得ab的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可．
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2 ＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，故△ABC的周长为16或17．
【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键．
4．（2020·河南郑州外国语中学初二期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可．（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【解析】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C
（2）原式==故答案为：
（3）设．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
5．（2020·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（3）先把代入，得到关于和 的式子，再仿照（1）（2）题．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.
6．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
【答案】（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），根据P是任意两个连续偶数的平方差得出p的值，利用因式分解变形即可得出答案；（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n为整数），用含n的式子表示出y-x，再根据x，y的范围及“四季数”的定义可得答案．
【解析】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，∴2n+1必为正整数，∴4(2n+1)一定是4的倍数，∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，∴9(y-x)=4n，y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，∴，，，，；
当n=18时，y-x=8，∴．∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
【点睛】本题考查了因式分解在新定义习题中的证明及其计算，读懂定义，是解题的关键．
7．（2021·南阳市第三中学月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出，进行判断即可.
（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．
【解析】 (1)已知等式整理得： 解得：a=2，b=0；故答案为2；0；
(2)∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．都正确.
故答案为①②③④
(3)∵ ∴ ∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．
【点睛】考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
8．（2020·邵东创新实验学校初一期中）先阅读下列解答过程，然后再解题．
例：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x 2+ax+b），
则2x 3﹣x2+m＝2x 3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．
比较系数得，解得，∴m＝．
解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取x＝﹣，2×（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，故m＝．
（1）已知多项式2x3﹣2x2+ m有一个因式是x+2，求m的值．
（2）已知x 4+ m x3+ n x﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】（1）m＝24；（2）m＝﹣5，n＝20．
【分析】（1）设2x3﹣2x2+m＝A•（x+2）（A为整式），由于是恒等式，则取x=-2，代入即可解答；
（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A•（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），由于是恒等式，则取x=1和x=2，代入即可解答．
【解析】解：（1）∵多项式2x3﹣2x2+m有一个因式是x+2，
∴设2x3﹣2x2+m＝A•（x+2）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝﹣2，
2×（﹣2）3﹣2×（﹣2）2+m＝0，故m＝24；
（2）∵x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），
∴设x4+mx3+nx﹣16＝A•（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝2和x＝1，
代入得：24+m×23+2n﹣16＝0，14+m×13+n﹣16＝0，解得：m＝﹣5，n＝20．
【点睛】本题考查了因式分解的意义以及分解因式等知识点，弄懂题意、理解所给解答方法是求解本题的关键.
9．（2020·江苏灌云·月考）（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；由于(x+3) 2≥0，所以(x+3) 2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；(3)用配方法因式分解：x4+4；(4)求4x2+4x+3的最小值．
【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4)
【分析】(1)由 从而可得答案；
(2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而得答案；
(3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．
【解析】解：(1) 故答案为：
(2)
(3)
(4)
的最小值是
【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．
10．（2020·河北邢台·初三二模）如果都是非零整数，且，那么就称是“4倍数”．
（1）30到35之间的“4倍数”是_________，小明说：是“4倍数”，嘉淇说：也是“4倍数”，他们谁说的对？____________．
（2）设是不为零的整数．①是___________的倍数；②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为____________，它_____________（填“是”或“不是”）32的倍数．
（3）设三个连续偶数的中间一个数是（是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
【答案】（1）32；小明；（2）①2；②或；是.（3）三个连续偶数为，，，说明见解析.
【分析】（1）32是4的倍数；利用平方差公式和完全平方公式求出，的值即可判断；（2）①与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数；②找出两个连续的“4倍数”求积即可，再根据结果判断是否是32倍数即可；（3）求三个连续偶数为，，得平方和即可．
【解析】解：（1）30到35之间的“4倍数”是32；=,可见是“4倍数”，所以小明说的对．
（2）①与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数；
②==，即或；
中与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数，则是32的倍数．
（3）三个连续偶数为，，．
∵为整数，∴是“4倍数”.
【点睛】本题用公式法进行因式分解以及整式的化简在找规律中的应用，灵活应用法则是解答此题的关键．
考点03 因式分解
知识框架
知识点2-1 因式分解的概念
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1．（2021·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，进行判断即可．
【解析】解：A. ，不是因式分解，此项错误；
B. 中，不是因式分解，此项错误；
C. ，不是因式分解，此项错误；
D. ，是因式分解，此项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2021·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【解析】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是积的形式，故选项错误；
C、x2-1=（x+1）（x-1），正确；D、等式不成立，故选项错误．故选：C．
【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
3．（2021·上海市西南模范中学初一期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．
【答案】21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
【解析】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案为：21．
【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解．
4．（2021·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据题意列出等式，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，然后代入求值即可．
【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故选：A．
【点睛】本题主要考查因式分解与整式乘法的关系，掌握因式分解与整式乘法是互逆的变形过程是解题的关键．
5．（2021·贵州铜仁·初二期末）多项式可因式分解为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式的乘法法则把化简，然后与左侧比较即可求出的值
【解析】解：∵==x2-5x+6，∴m=-5故选D
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键．
6．（2021·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知为实数，若均为多项式的因式，则__________.
【答案】100
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
【解析】解法一（直接展开法）：均为多项式的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为 则
整理得：由此可得：
解法二（利用方程或等式的性质）：均为多项式的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为 则
取x=1和x=-4带入上面的方程中得到：解得：
=100；故答案为：100.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解、以及乘法法则，依据题意正确设立第三个因式是解题关键.
7．（2020·四川省南充高级中学初三期末）若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
【答案】
【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【解析】解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
知识点2-2 因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
补充：立方和公式：；立方差公式：
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
知识点2-3因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式
③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
1．（2021·上海市静安区实验中学初一课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1
【答案】D
【解析】由题意可得，这个多项式的公因式为4xmyn-1，
注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D
2．（2021·山东东明·期末）若，则代数式的值为________．
【答案】－2
【分析】直接将原式提取公因式−xy，进而分解因式求出答案．
【解析】∵xy＝2，x−y＝1，∴代数式−x2y＋xy2＝−xy（x−y）＝−2×1＝−2．故答案为：−2．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
3．（2021·山东历城·期中）如图，边长为，的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）.
A．140 B．70 C．35 D．24
【答案】B
【分析】根据题意得出2(a+b)=14，ab=10，再对进行因式分解，即可得出答案.
【解析】根据题意可得：2(a+b)=14，ab=10 则 故答案选择：B.
【点睛】本题考查的是因式分解，需要熟练掌握因式分解的方法.
4．（2021·湖南邵阳·期末）已知是关于、的二元一次方程组的解，则_____．
【答案】-5
【分析】根据题意直接将x与y的值代入原方程组并解出a-b和a+b的值，进而利用平方差公式计算即可求出答案．
【解析】解：由题意将代入，∴，
∴．故答案为：-5．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义以及运用平方差公式进行计算．
5．（2021·山东博兴·初二期末）在实数范围内，下列多项式：(1)；(2)；(3)；(4)，其中能用平方差公式进行分解因式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反；完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】（1）＝，所以可以；（2）＝，所以可以；
（3）＝，所以可以；（4），所以可以；
综上可得，能用平方差公式进行分解因式的个数有4个．故选：D．
【点睛】考查了公式法分解因式，有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式分解因式．
6．（2020·江苏沭阳·期中）阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
【答案】（1）x1=0或x2=5；（2）x1 =-1，x2=3；（3）见解析
【分析】（1）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（2）利用平方差公式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（3）将代数式变形后得：（y+4-x）（y+4+x），根据三角形的三边关系得：x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，则y2-8y+16-x2＞0
【解析】解：（1），∴，∴x=0或x-5=0，∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，∴（3x+3）（-x+3）=0，∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三边长为4，x，y，∴x+y＞4，x+4＞y，∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式、三角形的三边关系，运用平方差公式是解题的难点，准确判断三边关系来求解．
7．（2021·思南县张家寨初级中学期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k的值是（ ）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
【答案】D
【分析】由题意可得x2＋kx＋25是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可．
【详解】解：因为x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，
所以x2＋kx＋25=，所以．故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．
8．（2021·沙坪坝·重庆南开中学月考）关于的多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．
【解析】解：原式＝
∵，，∴原式≥－1，∴原式的最小值为－1，故选A．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断．
【解析】解：A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．故选：A．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键．
10．（2021·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【详解】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2
=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
11．（2021·诸暨市浣江初级中学初一期中）请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：
(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)= (_____________)(_____________)；
=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)= (_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：①；②．
【答案】（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②
【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；
②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；
【详解】解：（1）()-()=-= ()()；
=()+()= +()=
故答案为：；；；；；；；；；；；；
（2）①==
②===
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
12．（2021·广西兴宾·初一期中）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．
【详解】
解：原式=
= = =．故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
13．（2021·全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
14．（2021·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；
（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
【详解】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，
而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
重难点题型
题型1 因式分解概念及意义
【解题技巧】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。
1．（2021·贵州威宁彝族回族苗族自治县·）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【详解】解：A．，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．，从左边到右边变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．，右边不是积的形式，故本选项不符合题意；
D．，从左边到右边变形是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
2．（2021·陕西莲湖·八年级期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，选项不合题意；
B．左边不是多项式，不是因式分解，选项不合题意；
C．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，选项符合题意；
D．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．
3．（2021·河南八年级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式不是因式分解，故本选项不符合题意；B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、两因式之间用加号连结，是和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ．
4．（2021·吉林铁西·八年级期末）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故A错误；
B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故B错误；
C、等式的右边不是整式的积的形式，故C错误；D、是因式分解，故D正确；故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．
5．（2021·安徽合肥·七年级期末）若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值．
【详解】又
，，均为整数故选C．
【点睛】本题考查多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出的值是解题的关键．
6．（2021·济宁市第十三中学八年级月考）多项式，则，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把展开，比较系数相等即可求出，的值．
【详解】解：
∴-8=-(n+9)，m=9n，解得：，．故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解与整式的乘法的关系，解题的关键是熟练掌握因式分解与整式的乘法互为逆运算．
7．（2021·沙坪坝·重庆南开中学）在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，， ，解得，，．故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
8．（2021·河北滦南·）若多项式x2﹣mx+n可因式分解为（x+3）（x﹣4）．其中m，n均为整数，则m﹣n的值是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
【答案】A
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则化简(x+3)(x﹣4)，再与式x2﹣mx+n比较求出m，n的值，代入m﹣n计算即可．
【详解】解：∵(x+3)(x﹣4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12，∴x2﹣mx+n= x2-x-12，
∴m=1，n=-12，∴m﹣n=1+12=13．故选A．
【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键．
题型2 提公因式法
【解题技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法
挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
1．（2021·四川武侯·）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】因公因式为多项式中各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，得n≥4，故A正确．
【详解】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，∴n≥4．
又∵5＞4，∴A符合题意，B、C、D不合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查提公因式法中公因式的找法，熟练掌握多项式公因式的找法是解题关键．
2．（2021·陕西榆林·八年级期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，这个因式就叫做这个多项式的公因式，进行求解即可．
【详解】观察可知，这个多项式的每一项都含有，∴提取的公因式为，故选D．
【点睛】本题主要考查了公因式，解题 的关键在于能够熟记公因式的定义．
3．（2021·西安益新中学八年级月考）将多项式提公因式后，另一个因式是（ ）
A．﹣a+2b B．a﹣2b C．a+2b D．a+b
【答案】C
【分析】提公因式进行分解即可．
【详解】解：，则另一个因式是：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
4．（2021·济宁市第十三中学八年级月考）将多项式提出公因式后，另一个因式为__________．
【答案】
【分析】根据提公因式法即可求解．
【详解】=故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提公因式法的运用．
5．（2021·广西宁明·七年级期末）因式分解： ___________．
【答案】
【分析】利用提公因式法分解即可．
【详解】解：故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（2021·湖南荷塘·七年级期末）分解因式：_________．
【答案】
【分析】根据提公因式因式分解求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解本题的关键．
7．（2021·沈阳实验中学）分解因式：______
【答案】
【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．
8．（2021·河北玉田·）已知，，则的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【答案】B
【分析】首先将 变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，解题关键是准确找出公因式，将原式分解因式．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】观察各项找出公因式，利用提公因式法进行分解即可．
【解析】==．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定出公因式是解本题的关键．
10．（2020·山东单县·初一期末）已知，则代数式的值为____________．
【答案】-8
【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．
【解析】∵，∵， ∴，
又，∴原式=2×(-4)=-8．故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
题型3 运用公式法
【解题技巧】若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定了分解结果的运算符号。
1）平方差公式的应用
1．（2021·浙江杭州·）下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
【详解】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意；
B、-a2+b2符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，符合题意；
C、-a2-b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意．
D、-a2-4b中，b不能表示成一个有理数的平方，不能在有理数范围内用平方差公式分解因式，故本选项不合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键．
2．（2021·广东福田·八年级期末）在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用平方差公式： ，进而分解因式判断即可．
【详解】A、，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
C、，无法分解因式，故此选项不合题意；D、，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
3．（2021·浙江杭州·七年级期中）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解；
B、-1+y2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、2x2+2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、x3-y3是两个立方项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
4．（2021·河南汝州·八年级期末）下列不能使用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2
【答案】C
【分析】根据平方差公式：，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C，，不能利用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了用平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式．
5．（2021·重庆实验外国语学校九年级）分解因式：__．
【答案】
【分析】因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式，本题可以先提取公因式，然后再利用平方差公式化简，即可得到正确答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解的化简，根据相关知识点解题是关键．
6．（2021·浙江鹿城·温州市教育教学研究院九年级）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解因式．
【详解】解：（n+3）（n-3），故答案为：（n+3）（n-3）．
【点睛】此题考查因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2021·吉林长春外国语学校）分解因式：______．
【答案】（1—m）（1+m）
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1—m）（1+m）故答案为：（1—m）（1+m）
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构是解题的关键，注意因式分解要彻底．
8．（2021·江西九江·七年级期末）若，且，则______．
【答案】5
【分析】将m2-n2按平方差公式展开，再将m-n的值整体代入，即可求出m+n的值．
【详解】解：，∵，∴．故答案为：5．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的逆用．
2）完全平方公式的应用
1．（2021·广西兴宾·）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的特点逐一判断即得答案．
【详解】解：与不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式进行因式分解；
，故②能用完全平方公式进行因式分解；
，故④能用完全平方公式进行因式分解；故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
2．（2021·全国七年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公式法因式分解，逐项分析即可．
【详解】A. ，能因式分解，不符合题意；
B. ，能因式分解，不符合题意；
C. 不能因式分解，符题意；
D. ，能因式分解，不符合题意．故选C
【点睛】本题考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．
3．（2021·广东八年级专题练习）下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式逐项判断即可得．
【详解】A、，其中不满足完全平方公式，此项不符题意；
B、，其中不满足完全平方公式，此项不符题意；
C、，此项符合题意；
D、不满足完全平方公式，此项不符题意；故选：C．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式法分解因式，熟记完全平方公式是解题关键．
4．（2021·湖南涟源·七年级月考）因式分解______．
【答案】
【分析】根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：==
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
5．（2021·湖南广益实验中学九年级月考）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提出公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法，并根据多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
6．（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【详解】原式==，故答案是：．
【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解题的关键．
3）综合应用
1．（2021·鹤壁市淇滨中学八年级期中）下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行判断．
【详解】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
2．（2021·浙江上虞·）下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【分析】根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
3．（2021·雅安天立学校八年级月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
【答案】C
【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可．
【详解】解：A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；
C. x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；
D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．（2021·山东茌平·七年级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．
【详解】解：①-x2-y2=-(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；
②-a2b2+1=1-(ab)2=(1+ab)(1-ab)，因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2=-(x2﹣2xy+y2)=-(x-y)2，因此④能用公式法分解因式；
⑤-mn+m2n2=(-mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是应用的前提．
5．（2021·江苏金坛·七年级期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．（2021·河北安国·八年级期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
【答案】; 22020．
【分析】先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）计算括号内的即可．
【详解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2=，
，故答案为；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝22022-22021-22020=22020（22-2-1）=22020． 故答案为22020．
【点睛】本题考查分组法因式分解，以及因式分解应用计算，掌握分组法因式分解方法，会利用因式分解应用计算是解题关键．
题型4 分组分解法
【解题技巧】当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。
1．（2021·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，设．
比较系数得，．解得．所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】解：
设
比较系数得，，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2021·全国八年级课时练习）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；
（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；
（3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．
【答案】 3 ②，③，④
【分析】（1）先将式子中的项进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可；
（2）先将式子中的项进行分组，再提取公因式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）对每个式子进行因式分解，判定即可．
【详解】解：（1）
故答案为：、3、、、
（2）
故答案为：、、、、、、
（3）①，不能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，不符合题意；
②，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
③，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
④，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
故答案为：②，③，④
【点睛】此题考查了因式分解的方法，涉及了分组分解法、公式法、提取公因式法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
3．（2021·四川渠县·八年级期末）因式分解：．
【答案】（x-y+5）（x-y-5）
【分析】根据分组分解法的法则原则将x2-2xy+y2为一组，-25为一组，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=（x2-2xy+y2）-25=（x-y）2-52=（x-y+5）（x-y-5）．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．
4．（2021·利辛县第四中学）分解因式：（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先提取公因式xy,然后再运用公式法分解即可；
（2）采用分组法、再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）=）=；
（2）==．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握分组法、提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
5．（2021·江西抚州·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三边满足，试判断的形状．
【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①；
②；
（2），，
，，
，，是的三边，，，
，，即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．
6．（2021·石家庄市第二十一中学八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：；（2）分解因式：．
【答案】（1）（x-n）（x+n+1）；（2）（a+1）（a+3）
【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用拆项法分解因式得出答案．
【详解】解：（1）原式=（x+n）（x-n）+（x-n）=（x-n）（x+n+1）；
（2）原式=a2+4a+4-1=a2-1+4a+4=（a+1）（a-1）+4（a+1）=（a+1）（a-1+4）=（a+1）（a+3）
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂材料并理解所给做法是解题的关键．
7．（2021·山东薛城·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）；
（2）．
问题二：探究
对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究，的数量关系．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可；（2）按完全平方公式分组然然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究:先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数、都成立，可得即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
问题二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，对任意有理数、都成立，∴，∴，的数量关系．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分
组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
8．（2021·安徽马鞍山·七年级期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．
①分解因式：；②若都是正整数且满足，求的值；
（2）若为实数且满足，，求的最小值．
【答案】（1）①；②8；（2）
【分析】（1）①根据题意分组分解即可；②根据①的结论可得，进而根据都是正整数，列二元一次方程组解决问题；（2）先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值．
【详解】解：（1）①
②由题即
∵为正整数且∴即 ∴
（2）由题
∴
∵∴，当且仅当时取等号
经验证当时满足综上，的最小值为．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，二元一次方程组，非负数的性质，整体代入是解题的关键．
题型5 十字相乘法
1．（2021·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
2．（2021·重庆北碚·西南大学附中八年级开学考试）因式分解：
（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．
【答案】（1）（x-1）（x+6）；（2）x（x-2y）（x+2y）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；（2）先提公因式x，再利用平方差公式即可分解；
【详解】解：（1）原式=（x-1）（x+6）；
（2）原式=x（x2-4y2）=x（x-2y）（x+2y）．
【点睛】此题考查了十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解时要分解到每一个因式再也不能分解为止．
3．（2021·湖南岳阳·七年级期末）阅读理解题
由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
分解因式：．
多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
（1）尝试：分解因式：（______）（______）；
（2）应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．
【答案】（1）2，4；（2）（x-2）（x-3），（x+1）（x-6）
【分析】（1）根据“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”可得；
（2）利用“x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”进行因式分解即可．
【详解】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4；
（2）x2-5x+6=x2+[（-2）+（-3）]x+[（-2）×（-3）]=（x-2）（x-3），
x2-5x-6=x2+[1+（-6）]x+[1×（-6）]=（x+1）（x-6）．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是理解“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”．
4．（2021·湖南雨花外国语学校）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键．
6．（2020·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
【解析】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
7．（2020·陕西凤翔·初一期中）计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用十字相乘的方法来分解即可．
【解析】解：=（x-6）（x+1）故选D
【点睛】本题考查了运用十字相乘的方法来分解因式，熟练掌握该方法是解决本题的关键．
8．（2020·长春市第四十七中学月考）分解因式________________．
【答案】
【分析】把-4写成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】∵-4=-4×1，又-4+1=-3∴．故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
9．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________
【答案】
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【解析】
故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
【解析】=．
【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，且，都是正整数，试求，的值．
【答案】x=3，y=2．
【分析】运用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，再根据，的值均是正整数进行讨论即可得出答案．
【解析】∵，且，都是正整数 ∴是正整数，是整数，
又∵，7是正整数，∴，均是正整数，
又∵7=7×1，∴或，解得，
解得（不符合题意，舍去）所以x=3，y=2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法分解因式并确定出关于x、y的方程组是解题的关键．
题型6 利用因式分解判断三角形
1．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解．
例如：．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：；
（2）三边满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）为等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）根据题意分组分解，再用提公因式法因式分解；（2）将等式的左边分组分解，再用提公因式法因式分解，再根据三角形三边关系即可求得进而判断三角形的形状．
【详解】解：（1）．
（2）为等腰三角形．理由如下：
∵，∴，∴．
∵，，为三边，∴，∴，即，∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查了分组分解法，提公因式法因式分解，三角形三边关系，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．
2．（2021·陕西莲湖·八年级期末）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：（1）分解因式：．
（2）已知，，为的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）等腰三角形，见解析
【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；
（2）对等式进行因式分解，求得，即可判定．
【详解】解：（1）原式．
（2）是等腰三角形．
理由：，，，．
∵，∴，即，∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
3．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
4.（2020•徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【答案】△ABC是等边三角形．
证明如下：∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和完全平方公式、因式分解，能根据完全平方公式得出（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0是解此题的关键．
5．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
【答案】（1）；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【分析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；
（2）先从中提取公因式，从中提取公因式，再提取它们的公因式，最后根据，判断出△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）；
（2）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴的形状是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.
6．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形，理由见解析．
【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．
(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．
【解析】解：(1)原式，故答案为．
(2)∵∴，∴，
∴或，∴或，∴△ABC为等腰三角形．故答案为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
7．（2020·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
8.（2020•东营期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则该△ABC是什么三角形？
【分析】把a2+b2+c2＝ab+ac+bc的两边乘2，然后分类利用完全平方公式各自因式分解，进一步利用非负数的性质得出a、b、c三边之间的关系解决问题．
【答案】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0
∴a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
【点睛】此题考查利用完全平方公式因式分解和非负数的性质解决问题，要根据所给的条件灵活运用．
题型7 利用因式分解求值
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【分析】先对原式运用平方差公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可.
【解析】原式=
∵，∴原式=
【点睛】本题主要考查了应用平方差公式进行因式分解和整体代入法，能够正确的进行因式分解是解题的关键.
2．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
【答案】35
【分析】根据题意可得，再利用因式分解代入计算即可．
【解析】解：∵ 是方程组的解，∴ ，
∴ ，故填：35．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及因式分解，利用整体法求代数式的值．
3．（2020·沭阳县修远中学初一期末）已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A． B．或 C．1 D．1或11
【答案】D
【分析】此题先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．
【解析】解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a－c＝1或a－c＝11，故选D．
【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．
4．（2021·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
5．（2020·贵阳市白云区南湖实验中学初二期末）已知，，则代数式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【解析】∵，，∴a-c=-1，
∴=== =-3，故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
6.（2021•淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由题意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz变形为（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入计算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的运用；熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．（2020·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a-b的值是__________．
【答案】-3
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a,b的值．
【解析】分解因式x²＋ax＋b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为(x＋2)(x＋4)＝x²＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看错了a， 分解结果为
(x＋1)(x＋9)＝x ² ＋10x＋9，∴b＝9，故答案为：－3.
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
8．（2020·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式 (从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
【答案】（1）推导见解析；（2），．
【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:;（2）根据配方法和立方差公式可得.
【解析】解:
解：
【点睛】考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.
9.（2021•鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
【分析】（1）将已知的两个式子相减可得b﹣c＝2，则所求式子可化为5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）将所求式子利用完全平方公式化为a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再将（1）的式子代入即可．
【答案】解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，∴b﹣c＝3﹣1＝2，∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再运用因式分解进行求解是解题的关键．
题型8 因式分解的应用
解题技巧：因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1．（2020·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
【答案】3
【分析】根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题．
【解析】解：如图所示：
共有3种不同的正方形．故答案为3．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
2.（2021•乳山市期中）【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【分析】（1）将x﹣y看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得；
（2）将a+b看做整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看做整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数．
∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力．
3．（2020·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【分析】（1）先利用分组法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分组法分解因式，求得ab的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可．
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2 ＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，故△ABC的周长为16或17．
【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键．
4．（2020·河南郑州外国语中学初二期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可．（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【解析】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C
（2）原式==故答案为：
（3）设．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
5．（2020·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（3）先把代入，得到关于和 的式子，再仿照（1）（2）题．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.
6．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
【答案】（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），根据P是任意两个连续偶数的平方差得出p的值，利用因式分解变形即可得出答案；（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n为整数），用含n的式子表示出y-x，再根据x，y的范围及“四季数”的定义可得答案．
【解析】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，∴2n+1必为正整数，∴4(2n+1)一定是4的倍数，∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，∴9(y-x)=4n，y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，∴，，，，；
当n=18时，y-x=8，∴．∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
【点睛】本题考查了因式分解在新定义习题中的证明及其计算，读懂定义，是解题的关键．
7．（2021·南阳市第三中学月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出，进行判断即可.
（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．
【解析】 (1)已知等式整理得： 解得：a=2，b=0；故答案为2；0；
(2)∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．都正确.
故答案为①②③④
(3)∵ ∴ ∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．
【点睛】考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
8．（2020·邵东创新实验学校初一期中）先阅读下列解答过程，然后再解题．
例：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x 2+ax+b），
则2x 3﹣x2+m＝2x 3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．
比较系数得，解得，∴m＝．
解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取x＝﹣，2×（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，故m＝．
（1）已知多项式2x3﹣2x2+ m有一个因式是x+2，求m的值．
（2）已知x 4+ m x3+ n x﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】（1）m＝24；（2）m＝﹣5，n＝20．
【分析】（1）设2x3﹣2x2+m＝A•（x+2）（A为整式），由于是恒等式，则取x=-2，代入即可解答；
（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A•（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），由于是恒等式，则取x=1和x=2，代入即可解答．
【解析】解：（1）∵多项式2x3﹣2x2+m有一个因式是x+2，
∴设2x3﹣2x2+m＝A•（x+2）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝﹣2，
2×（﹣2）3﹣2×（﹣2）2+m＝0，故m＝24；
（2）∵x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），
∴设x4+mx3+nx﹣16＝A•（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝2和x＝1，
代入得：24+m×23+2n﹣16＝0，14+m×13+n﹣16＝0，解得：m＝﹣5，n＝20．
【点睛】本题考查了因式分解的意义以及分解因式等知识点，弄懂题意、理解所给解答方法是求解本题的关键.
9．（2020·江苏灌云·月考）（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；由于(x+3) 2≥0，所以(x+3) 2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；(3)用配方法因式分解：x4+4；(4)求4x2+4x+3的最小值．
【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4)
【分析】(1)由 从而可得答案；
(2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而得答案；
(3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．
【解析】解：(1) 故答案为：
(2)
(3)
(4)
的最小值是
【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．
10．（2020·河北邢台·初三二模）如果都是非零整数，且，那么就称是“4倍数”．
（1）30到35之间的“4倍数”是_________，小明说：是“4倍数”，嘉淇说：也是“4倍数”，他们谁说的对？____________．
（2）设是不为零的整数．①是___________的倍数；②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为____________，它_____________（填“是”或“不是”）32的倍数．
（3）设三个连续偶数的中间一个数是（是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
【答案】（1）32；小明；（2）①2；②或；是.（3）三个连续偶数为，，，说明见解析.
【分析】（1）32是4的倍数；利用平方差公式和完全平方公式求出，的值即可判断；（2）①与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数；②找出两个连续的“4倍数”求积即可，再根据结果判断是否是32倍数即可；（3）求三个连续偶数为，，得平方和即可．
【解析】解：（1）30到35之间的“4倍数”是32；=,可见是“4倍数”，所以小明说的对．
（2）①与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数；
②==，即或；
中与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数，则是32的倍数．
（3）三个连续偶数为，，．
∵为整数，∴是“4倍数”.
【点睛】本题用公式法进行因式分解以及整式的化简在找规律中的应用，灵活应用法则是解答此题的关键．
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