江苏省泰州市姜堰区张甸初级中学2022—2023学年上学期九年级第一次学情检测数学试卷

这是一份江苏省泰州市姜堰区张甸初级中学2022—2023学年上学期九年级第一次学情检测数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区张甸中学九年级第一学期第一次学情检测数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．一元二次方程x（x+3）＝0的根为（　　）
A．0 B．3 C．0或3 D．0或﹣3
2．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．用配方法解方程x2+4x＝﹣2下列配方正确的是（　　）
A．（x+4）2＝14 B．（x+2）2＝6 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2
4．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　）

A．AB、AC边上的高所在直线的交点
B．AB、AC边的垂直平分线的交点
C．AB、AC边上的中线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
5．如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝32°，D是的中点，那么∠DAC的度数是（　　）

A．25° B．29° C．30° D．32°
6．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E．连接BE，则BE的最小值是（　　）

A． B． C．﹣2 D．2﹣
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是 　 　．
8．已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是　 　cm2．
9．若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣12m+2018＝　 　．
10．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0的一根为3，则另一根为　 　．
11．如图，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，点D在⊙O的优弧BDC上，且∠AOC＝40°，则∠ADB＝　 　°．

12．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径＝　 　．
13．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1690辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 　 　．
14．若方程x2﹣7x+12＝0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为　 　 　．
15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠EAC＝15°，则∠B＝　 　．

16．如图，⊙M的半径为2，圆心M（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为　 　．

三、解答题（本大题10小题，共102分）
17．解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0．
18．先化简，再求值：，其中a是方程x2+4x﹣21＝0的根．
19．如图，已知AB、MD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E．
（1）若CD＝16cm，OD＝10cm，求BE的长；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．

20．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为x1、x2，且x1+x2+x1x2＝2，求k的值．
21．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留痕迹）；
（2）求最小覆盖圆的面积．

22．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，求m的值．
23．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg．若该专卖店销售这种核桃，要想尽快销售完并平均每天获利2240元，则每千克应降价多少元？
24．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．
（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；
（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．

25．探究问题：如图1，PM、PN、EF分别切⊙O于点A、B、C，猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．
变式迁移：如果图1的条件不变，且PO＝10厘米，△PEF的周长为16厘米，那么⊙O的半径为 　 　厘米．
拓展提高：如图2，点E是∠MPN的边PM上的点，EF⊥PN于点F，⊙O与边EF及射线PM、射线PN都相切．①画出符合条件的⊙O；②若EF＝3，PF＝4，求⊙O的半径．

26．如图1，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的动点，AD⊥BC，垂足为D，弧AB＝弧AE，射线BE分别交射线AD、AC于点F、G．
（1）当点A、E在直径BC两侧时，
①判断△AFG的形状，并说明理由；
②连接CE，求证：BD＝CD+CE；
（2）若⊙O的直径BC＝5，CE＝，求CD的长．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．一元二次方程x（x+3）＝0的根为（　　）
A．0 B．3 C．0或3 D．0或﹣3
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：方程x（x+3）＝0，
可得x＝0或x+3＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，5＜6，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
3．用配方法解方程x2+4x＝﹣2下列配方正确的是（　　）
A．（x+4）2＝14 B．（x+2）2＝6 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2
【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得．
解：∵x2+4x＝﹣2，
∴x2+4x+4＝﹣2+4，即（x+2）2＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　）

A．AB、AC边上的高所在直线的交点
B．AB、AC边的垂直平分线的交点
C．AB、AC边上的中线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【分析】三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点．由此判断即可．
解：∵三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，解题的关键是理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
5．如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝32°，D是的中点，那么∠DAC的度数是（　　）

A．25° B．29° C．30° D．32°
【分析】连接BC，根据圆周角定理及等边对等角求解即可．
解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，∠BAC＝32°，
∴∠ACB＝90°，∠B＝90°﹣32°＝58°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝122°（圆内接四边形对角互补），
∵D是的中点，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）÷2＝29°，
故选：B．

【点评】本题利用了圆内接四边形的性质，直径对的圆周角是直角求解．
6．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E．连接BE，则BE的最小值是（　　）

A． B． C．﹣2 D．2﹣
【分析】如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中压轴题．
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是 　点P在⊙O上　．
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．
解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP＝＝5．
∵⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故答案为：点P在⊙O上．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
8．已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是　18π　cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．
解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积为π×3×6＝18πcm2．
故答案为18π．
【点评】考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．
9．若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣12m+2018＝　2022　．
【分析】先把m代入一元二次方程中，得到m2﹣3m的值，再整体代入得结论．
解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，即m2﹣3m＝1．
∴4m2﹣12m＝4．
∴4m2﹣12m+2018＝4+2018＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程解的意义是解决本题的关键．
10．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0的一根为3，则另一根为　﹣1　．
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到3+t＝2，然后解一次方程即可．
解：设方程的另一根为t，
根据题意得3+t＝2，解得t＝﹣1，
即方程的另一根为﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：设x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
11．如图，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，点D在⊙O的优弧BDC上，且∠AOC＝40°，则∠ADB＝　20　°．

【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理求解．
解：∵BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝2∠ADB＝40°，
∴∠ADB＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
12．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径＝　5　．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
解：∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴△ABC外接圆的半径＝10＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1690辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 　30%　．
【分析】设该厂四、五月份的月平均增长率为x，利用该厂五月份的产量＝该厂三月份的产量×（1+该厂四、五月份的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设该厂四、五月份的月平均增长率为x，
根据题意得：1000（1+x）2＝1690，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去），
∴该厂四、五月份的月平均增长率为30%．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．若方程x2﹣7x+12＝0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为　 　1　．
【分析】解一元二次方程求出的两个根就是直角三角形的两条直角边的长，两出图形，由勾股定理求出直角三角形的斜边的长，再由切线长定理即可求出其内切圆的半径的长．
解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AC、AB、BC边的切点分别为D、E、F，
设方程x2﹣7x+12＝0的两个根分别是AC、BC边的长，连接OD、OF，则AC⊥OD，BC⊥OF，
∴∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD＝OF，
∴四边形ODCF是正方形；
∵AD＝AE，BF＝BE，
∴CD+CF＝AC﹣AD+BC﹣BF＝AC﹣AE+BC﹣BE＝AC+BC﹣（AE+BE）＝AC+BC﹣AB；
解方程x2﹣7x+12＝0得x1＝3，x2＝4，
∴AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝3+4﹣5＝2，
∵CD＝CF＝OD，
∴2OD＝2，
∴OD＝1，
∴这个直角三角形的内切圆半径为1，
故答案为：1．

【点评】此题重点考查切线长定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识与方法，解题的关键是画出图形，正确地作出辅助线，通过解一元二次方程求出直角三角形的两条直角边的长．
15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠EAC＝15°，则∠B＝　70°　．

【分析】依据题意，设∠B＝x°，根据菱形的性质得到∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D），根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D，由三角形的外角的性质即可得到结论．
解：设∠B＝x°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠DCB＝（180°﹣∠B）＝90°﹣x°，∠D＝∠B＝x°．
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝x°，
∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝x°﹣（90°﹣x°）＝15°．
∴x＝70．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16．如图，⊙M的半径为2，圆心M（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为　6　．

【分析】点P在以O为圆心OA为半径的圆上，P是两个圆的交点，当⊙O与⊙M外切时，AB最小，根据条件求出AO即可求解；
解：点P在以O为圆心OA为半径的圆上，
∴P是两个圆的交点，
当⊙O与⊙M外切时，AB最小，
∵⊙M的半径为2，圆心M（3，4），
∴PM＝2，OM＝5，
∴OA＝OP＝OM﹣PM＝3，
∴AB＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系；能够将问题转化为两圆外切时AB最小是解题的关键．
三、解答题（本大题10小题，共102分）
17．解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0．
【分析】（1）直接利用公式法求出x的值即可；
（2）先把原方程进行因式分解，再求出x的值即可．
解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5．
∴x＝＝＝．
即x1＝，x2＝；

（2）∵因式分解得 （x﹣3）（x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得 x1＝3，x2＝2．
【点评】本题考查的是用因式分解法和公式法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的式分解法和公式法是解答此题的关键．
18．先化简，再求值：，其中a是方程x2+4x﹣21＝0的根．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后整理得到最简结果，由a为方程的解得到a2+4a的值，代入计算即可求出值．
解：原式＝•（a+3）（a﹣3）+2a＝（a﹣1）（a+3）+2a＝a2+3a﹣a﹣3+2a＝a2+4a﹣3，
由a是方程x2+4x﹣21＝0的根，得到a2+4a﹣21＝0，即a2+4a＝21，
则原式＝21﹣3＝18．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，已知AB、MD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E．
（1）若CD＝16cm，OD＝10cm，求BE的长；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．

【分析】（1）由垂径定理求出DE的长度，运用勾股定理列出关于BE的等式，求出BE即可解决问题．
（2）根据圆周角定理，由已知求得∠D＝∠BOD，进而根据两锐角互余的性质即可求得∠D＝30°．
解：∵弦CD⊥AB，CD＝16cm，
∴DE＝CE＝8cm，
由勾股定理得：OD2＝DE2+OE2，
设BE＝xcm，则OE＝（10﹣x）cm，
∴82+（10﹣x）2＝100，
∴x＝4，
∴BE＝4（cm）；
（2）∵∠M＝∠D，∠M＝∠BOD，
∴∠D＝∠BOD，
∵∠D+∠BOD＝90°，
∴∠D＝30°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆周角定理等几何知识点及其应用问题；熟练掌握和灵活运用这些定理是解题的关键．
20．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为x1、x2，且x1+x2+x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣2k+2，再将它们代入x1+x2+x1x2＝2，即可求出k的值．
解：（1）∵b2﹣4ac＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣2k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由根与系数关系得x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣2k+2，
∵x1+x2+x1x2＝2，
∴k﹣3+（﹣2k+2）＝2，
解得k＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
21．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留痕迹）；
（2）求最小覆盖圆的面积．

【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可；
（2）利用勾股定理求出半径的长度，再根据圆的面积公式求解即可．
解：（1）如图，点O即为所求．

（2）半径OA＝＝，
∴最小覆盖圆的面积为π•（）2＝5π．
【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握三角形外接圆的定义和性质．
22．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，求m的值．
【分析】根据题意先理解“凤凰方程”．
（1）根据凤凰方程的意义，把x＝﹣1代入方程判断即可；
（2）根据凤凰方程的意义，把x＝﹣1代入方程求出m即可．
解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当x＝﹣1时，得a﹣b+c＝0，
∴当一元二次方程的解为﹣1时，该方程为“凤凰方程”．
（1）一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是凤凰方程．
理由：当x＝﹣1时，一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0满足3+4﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是凤凰方程．
（2）∵2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，
∴2+m+5＝0．
∴m＝﹣7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解题意，掌握凤凰方程的意义是解决本题的关键．
23．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg．若该专卖店销售这种核桃，要想尽快销售完并平均每天获利2240元，则每千克应降价多少元？
【分析】设每千克降价x元，则每天可售出（100+10x）千克，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：设每千克降价x元，则每天可售出（100+10x）千克，
根据题意得：（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
∵要尽快销售完，
∴x＝6．
答：每千克应降价6元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．
（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；
（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据已知条件即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义可得＝＝，所以∠CAB＝30°，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CE＝CF，
∴BE＝BF，
∴∠E＝∠BFE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵∠DAF+∠AFD＝90°，
∴∠BAF+∠E＝90°，
∴BE是半圆O所在圆的切线；
（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，
∴＝，
∵BC＝AD，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∴⊙O的半径为6．
【点评】本题考查了切线判定与性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
25．探究问题：如图1，PM、PN、EF分别切⊙O于点A、B、C，猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．
变式迁移：如果图1的条件不变，且PO＝10厘米，△PEF的周长为16厘米，那么⊙O的半径为 　6　厘米．
拓展提高：如图2，点E是∠MPN的边PM上的点，EF⊥PN于点F，⊙O与边EF及射线PM、射线PN都相切．①画出符合条件的⊙O；②若EF＝3，PF＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA＝EC，FC＝FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于PA+PB；
（2）连接OA，OP，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，根据勾股定理得到OA，于是得到结论；
（3）①根据题意作出图形即可；
②设⊙O与射线PM、射线PN相切于A，B，与EF相切于C，于是得到AE＝CE，连接OA，OB，OC，推出四边形OCFB是正方形，得到CF＝BF＝OC，设⊙O的半径为r，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1．
解：（1）△PEF的周长＝2PA，
理由：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB＝PA，
∵EA与EC为⊙的切线，
∴EA＝EC，
同理得到FC＝FB，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB＝2PA
（2）如图1所示，连接OA，OP，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO＝90°，
∵△PEF的周长为16厘米，
∴PA＝8厘米，
∴OA＝＝＝6（厘米），
∴⊙O 的半径为6厘米，
故答案为：6；
（3）①如图2所示，⊙O即为所求；
②设⊙O与射线PM、射线PN相切于A，B，与EF相切于C，
则AE＝CE，
连接OA，OB，OC，
∵EF⊥PN，
∴∠CFB＝∠OBF＝∠OCF＝90°，
∵OC＝OB，
∴四边形OCFB是正方形，
∴CF＝BF＝OC，
设⊙O的半径为r，
∴CF＝BF＝r，
∵EF＝3，PF＝4，
∴PE＝5，
∵PA＝PB，
∴5+AE＝PF+PB，
即5+3﹣r＝4+r，
∴r＝2．
如图3所示，⊙O即为所求；
PE＝＝5，
（3+4+5）r＝3×4，
解得r＝1．
∴⊙O的半径为2或1．



【点评】本题考查了切线长定理，勾股定理，三角形的周长公式，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．如图1，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的动点，AD⊥BC，垂足为D，弧AB＝弧AE，射线BE分别交射线AD、AC于点F、G．
（1）当点A、E在直径BC两侧时，
①判断△AFG的形状，并说明理由；
②连接CE，求证：BD＝CD+CE；
（2）若⊙O的直径BC＝5，CE＝，求CD的长．

【分析】（1）①先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠ABE+∠AGB＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，再由圆周角定理得∠ABE＝∠ACD，则∠CAD＝∠AGB，得出FA＝FG即可；
②在CB上截取DH＝CD，连接AH、AE，先由线段垂直平分线的性质得AH＝AC，再证△ACE≌△AHB（SAS），得CE＝HB，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当点A、E在直径BC两侧时，先由（1）得：BD＝CD+CE＝CD+，再由BD+CD＝BC＝5，得CD++CD＝5，则CD＝；
②当点A、E在直径BC同侧时，在CB上截取DH＝BD，连接AH、AE，证△AHC≌△AEC（AAS），得CH＝CE＝，则DH＝BD＝（BC﹣CH）＝，得CD＝CH+DH＝即可．
【解答】（1）①解：等腰三角形，理由如下；
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵弧AE＝弧AB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形；
②证明：在CB上截取DH＝CD，连接AH、AE，如图1所示：
∵AD⊥BC，
∴AH＝AC，
∴∠AHC＝∠ACH，
∵弧AB＝弧AE，
∴∠AEB＝∠ABE，AE＝AB，
∵∠AHC+∠ACH+∠HAC＝180°，∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，∠ACB＝∠AEB，
∴∠HAC＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠HAB，
∴△ACE≌△AHB（SAS），
∴CE＝HB，
∵BD＝DH+HB，
∴BD＝CD+CE；
（2）解：分两种情况：
①当点A、E在直径BC两侧时，如图1所示：
由（1）得：BD＝CD+CE＝CD+，
∵BD+CD＝BC＝5，
∴CD++CD＝5，
解得：CD＝；
②当点A、E在直径BC同侧时，
在CB上截取DH＝BD，连接AH、AE，如图2所示：
∵弧AB＝弧AE，
∴∠ACE＝∠ACH＝∠AEB，AB＝AE，
∵AD⊥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠HAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠AHC＝∠ADH+∠HAD＝90°+∠HAD，∠AEC＝∠BEC+∠AEB，
∴∠AHC＝∠AEC，
在△AHC和△AEC中，
，
∴△AHC≌△AEC（AAS），
∴CH＝CE＝，
∴DH＝BD＝（BC﹣CH）＝（5﹣）＝，
∴CD＝CH+DH＝；
综上所述，CD的长为或．


【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．