新教材2023_2024学年高中数学第4章对数运算与对数函数第5章函数应用测评北师大版必修第一册

第四、五章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.log225·log52=(　　)

A.3 B.4

C.5 D.6

2.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)

A.a<b<c 

B.a<c<b

C.c<a<b 

D.b<c<a

3.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　　)

A.lg B.lg 

C. D.

4.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1·x2·…·x2 022)=8,则f()+f()+…+f()的值等于(　　)

A.4 B.8 

C.16 D.2loga8

5.已知函数f(x)=的定义域为M,函数g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N=(　　)

A.{x|x>1} 

B.{x|x<1}

C.⌀ 

D.{x|-1<x<1}

6.关于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有两个不相等的正根,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

7.在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)

8.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(　　)

A. B.3 C. D.4

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若a>b>0,0<c<1,则(　　)

A.logca<logcb B.ca>cb

C.ac>bc D.logc(a+b)>0

10.已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述论述,其中正确的是(　　)

A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.f(x)一定有最小值

C.当a=0时,f(x)的值域为R

D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}

11.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)

A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1

B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元

C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+

D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用

12.设函数f(x)=若实数a,b,c满足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c).则下列结论恒成立的是(　　)

A.ab=1 

B.c-a= 

C.b2-<0 

D.a+c<2b

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知2x=7y=196,则=　　　　　. 

14.某校学生在研究折纸实验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n与纸的长边ω(单位:cm)和厚度x(单位:cm)有关系:n≤log2.现有一张长边为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸,该矩形纸最多能对折　　　　　次.(参考数值:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48) 

15.函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　;若f-<,则实数a的取值范围是　　　　　. 

16.某数学小组以函数f(x)=lg为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下:

①函数f(x)的定义域为(-1,1);

②函数f(x)是偶函数;

③对于任意的x∈(-1,1),都有f=2f(x);

④对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=f;

⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0.

其中所有正确研究结果的序号是　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(1)计算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316;

(2)解方程:log5(x+1)-lo(x-3)=1.

18.(12分)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a满足下列条件,分别求实数a的值或范围.

(1)有2个零点;

(2)有3个零点;

(3)有4个零点.

19.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0,且a≠1.

(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;

(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.

20.(12分)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(单位:元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?

21.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;

(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.

22.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax),a>0,且a≠1.

(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;

(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.

参考答案

第四、五章测评

1.A　log225·log52=3,故选A.

2.B　因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故选B.

3.C　设t年后剩余量为ykg,则y=(1-8%)ta=0.92ta.当y=a时,a=0.92ta,

所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=.

4.C　f()+f()+…+f()=loga+loga+…+loga=loga(x1·x2·x3·…·x2022)2=2loga(x1x2…x2022)=2f(x1·x2·…·x2022)=16.

5.D　f(x)=满足1-x>0,故x<1,即M={x|x<1};

g(x)=ln(1+x)满足1+x>0,故x>-1,即N={x|x>-1}.

故M∩N={x|-1<x<1}.

故选D.

6.B　关于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有两个不相等的正根,

令t=3x,所以t>1,

则问题转化为方程t2-(a+1)t+a2-1=0有两个大于1的不等实数根t1,t2,故

解得<a<,

所以实数a的取值范围是.

故选B.

7.D　当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递减,D选项符合;

当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递增,各选项均不符合.

故选D.

8.C　对2x+2x=5,2x+2log2(x-1)=5进行变形,可得2x-1=-x,log2(x-1)=-x.

画出函数y=2x-1,y=-x,y=log2(x-1)的图象,如图所示.

根据指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,易得函数y=2x-1和函数y=log2(x-1)的图象关于直线y=x-1对称,从而x1+x2等于直线y=x-1与y=-x交点的横坐标的2倍,即.

9.AC　因为0<c<1,所以y=logcx在定义域内为减函数,由a>b>0得logca<logcb,故A正确;

因为0<c<1,所以y=cx在定义域内为减函数,由a>b>0,得ca<cb,故B错误;

因为a>b>0,0<c<1,所以c>1,所以ac>bc,故C正确;

取c=,a+b=2,则logc(a+b)=lo2=-1<0,故D错误.

10.AC　对A,当a=0时,解x2-1>0有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;

对B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)值域为R,故B错误,C正确;

对D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1对称轴x=-≤2.解得a≥-4.但当a=-4时f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.

11.ABC　甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;

当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故B正确;

易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故C正确;

当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.

12.ABC　由题意,实数a,b,c满足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),结合图象,可得-log2a=log2b=loc-,即a==c-,且<a<1,

可得ab=1和c-a=恒成立,即A,B正确;

又由b2-<0,所以b2-<0,所以C正确;

又由a+c-2b=2a+∈-,当<a<1时,a+c-2b的符号不能确定,所以D错误.

13.　2x=7y=196,∴x=log2196,y=log7196,

∴=log1962+log1967=lo14=.

14.6　∵n≤log2log2600=≈6.18,

∴矩形纸最多能对折6次.

15.(-1,1)　0,∪(1,+∞)　函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1).

当0<a<1时,函数f(x)为减函数,

若f-<,则1+loga-+2<,

即loga,即,求得0<a<.

当a>1时,函数f(x)为增函数,

若f-<,则1+loga-+2<,

即loga,即,

求得a>,又a>1,所以a>1.

综上,实数a的取值范围为0,∪(1,+∞).

16.①③④　在①中,因为f(x)=lg,所以>0,得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的;

在②中,f(x)=lg=-lg=-f(-x),

所以函数f(x)为奇函数,所以②是错误的;

在③中,对于任意x∈(-1,1),有f=lg=lg=lg,

又2f(x)=2lg=lg,所以③是正确的;

在④中,对于任意的a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg+lg=lg=lg,又f=lg=lg,所以④是正确的;

在⑤中,对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0,即说明f(x)是增函数,但f(x)=lg=lg-1+是减函数,所以⑤是错误的.

综上可知,正确研究结果的序号为①③④.

17.解(1)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316=log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34)=log338+1+2=8+1+2=11.

(2)原方程化为log5(x+1)+log5(x-3)=log55,

∴(x+1)(x-3)=5,

解得x=-2或x=4.

经检验,x=-2不符合题意,故原方程的解为x=4.

18.解如图为y=|x2-2x-3|的图象,函数y=a与y=|x2-2x-3|的图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数.

由图知,(1)当x=1时,y=4,

∴当a=0或a>4时,函数有2个零点;

(2)当a=4时,函数有3个零点;

(3)当0<a<4时,函数有4个零点.

19.解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,

则有解得-1<x<2.

故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).

(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),

即loga(x+1)>loga(4-2x).

当a>1时,可得x+1>4-2x,

解得x>1.

由(1)知-1<x<2,

所以1<x<2;

当0<a<1时,可得x+1<4-2x,

解得x<1,

由(1)知-1<x<2,

所以-1<x<1.

综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);

当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).

20.解(1)当x≤6时,y=50x-115,

令50x-115>0,

解得x>2.3,

∵x为整数,

∴3≤x≤6,x∈Z.

当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.

令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6<x≤20,x∈Z.

∴f(x)=

(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),显然当x=6时,ymax=185;

对于y=-3x2+68x-115=-3x-2+(6<x≤20,x∈Z),

当x=11时,ymax=270.

∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.

21.解(1)要使函数有意义,则解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1).

(2)f(x)是奇函数.理由如下:

∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),

∴f(x)是奇函数.

(3)若f=2,

∴loga-loga1-=loga4=2,

解得a=2,

∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).

若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),

∴x+1>1-x>0,

解得0<x<1,

故所求x的集合为(0,1).

22.解(1)∵a>0,且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,

当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.

∴3-2a>0.

∴a<.

又a>0,且a≠1,

∴a的取值范围是(0,1)∪.

(2)假设满足条件的实数a存在.

由(1)知t(x)=3-ax为减函数.

∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,

∴y=logat为增函数,

∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),

∴故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1.