北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用精练

第一章4.2　一元二次不等式及其解法　4.3　一元二次不等式的应用

A级 必备知识基础练

1.不等式x-x2>0的解集是(　　)

A.(0,1)

B.(-∞,-1)∪(0,+∞)

C.(-1,0)

D.(-∞,0)∪(1,+∞)

2.[2023陕西宝鸡质检]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N+,x≤5},则A∩B等于(　　)

A.{1,2,3} B.{1,2}

C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}

3.(多选题)若命题“∀x∈R,x2+2>m”是真命题,则实数m的取值可能为(　　)

A.-1 B.2 C.0 D.3

4.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(　　)

A.12元 

B.16元

C.12元到16元之间 

D.10元到14元之间

5.(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y>-2x的解集为(1,3),则(　　)

A.a<0

B.方程ax2+bx+c=0的两根为1,3

C.b=-4a-2

D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=-

6.设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　　　　. 

7.一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　　　　. 

8.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为x-k+ L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶,则每小时的油耗为11.5 L,此时k=　　　　.若使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为　　　　　. 

9.已知函数y=x2-2x+a,y<0的解集为{x|-1<x<t}.

(1)求实数a,t的值;

(2)实数c为何值时,一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集为R.

B级 关键能力提升练

10.(多选题)已知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0,则命题p是真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)

A.a∈[-1,1] B.a∈(-4,4)

C.a∈[-4,4] D.a∈{0}

11.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-1,1) B.-

C.- D.(0,2)

12.一元二次不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,下列结论正确的是(　　)

A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2

C.|a|≥1 D.b≤1

13.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为　　　　　. 

14.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.

(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

C级 学科素养创新练

15.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),则下列结论中正确的是(　　)

A.x1+x2=2 B.x1x2<-3

C.x2-x1>4 D.-1<x1<x2<3

16.考虑到高速公路行车安全需要,一般要求汽车在高速公路上的车速v(单位:千米/时)控制在[60,120]范围内.已知汽车以v千米/时的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为v-k+升,其中k为常数,不同型号汽车k值不同,且满足60≤k≤120.求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.

参考答案

4.2　一元二次不等式及其解法

4.3　一元二次不等式的应用

1.A　一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|0<x<1}.

2.B　∵(2x+1)(x-3)<0,∴-<x<3.

又x∈N+且x≤5,∴x=1或x=2.故选B.

3.AC　∵x2+2>m在R上恒成立,∴x2+2-m>0恒成立,∴只需2-m>0,即m<2恒成立.故选AC.

4.C　设销售价定为每件x元,利润为y,

则y=(x-8)[100-10(x-10)],

依题意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320,

即x2-28x+192<0,解得12<x<16,

所以每件销售价应定为12元到16元之间.

5.ACD　由于y>-2x的解集为(1,3),即ax2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3),则a<0,且1,3为方程ax2+(b+2)x+c=0的根.

∴1+3=-,1×3=,∴b=-4a-2,c=3a,故A,C正确,B错误;

对于D项,y+6a=0有两个相等的根,即ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根,∴Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,∵a<0,∴a=-,故D正确.

6.(-1,)　由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.

解得-1<x<满足题意的x的取值范围是(-1,).

7.{x|x<-2,或x>3}　根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.

由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.

8.100　[60,100]　由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,

所以(120-k+)=11.5,解得k=100,故每小时油耗为(x+)-20,

依题意(x+)-20≤9,解得45≤x≤100,

又60≤x≤120,故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100].

9.解(1)∵x2-2x+a<0的解集为{x|-1<x<t},

∴-1+t=2,-1×t=a,解得t=3,a=-3.

(2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-1<0,

∵其解集为R,

或c=3,解得2<c≤3.

故实数c的取值范围为(2,3].

10.AD　由题意知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0,

∴Δ=a2-16<0,∴-4<a<4,∴命题p成立的一个充分不必要条件是(-4,4)的真子集.故AD符合.

11.B　根据新定义,可得(x-a)?(x+a)=(x-a)·(1-x-a),

所以(x-a)?(x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,

即x2-x+(1-a2+a)>0恒成立,

需Δ=1-4(1-a2+a)<0,

解得-<a<

12.D　由题意得又|x1|+|x2|≤2,不妨令x1=-1,x2=0,则a=1,b=0,则|a+2b|=1,A不成立;令x1=x2=-1,则a=2,b=1,则|a+2b|=4,B不成立;令x1=-1,x2=1,则a=0,b=-1,则|a|=0,C不成立;b=x1x2≤()2≤()2≤1,当且仅当x1=x2=1时,等号成立,D正确.

13.-　令y=x2+mx+m,若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,

则有Δ=m2-4m≤0,或解得m∈[-,+∞),实数m的最小值为-

14.解(1)根据题意,得y=90-3(x-50),

化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).

(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.

所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).

(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.

又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.

所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.

15.ABC　∵关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),

∴a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的根.

∴x1+x2=2,x1x2=-3<-3.

∴x2-x1==2>4.

由x2-x1>4及x1+x2=2,可得x2>3.故D错误,ABC正确.

16.解 设汽车行驶100千米的油耗为y升,

则y=(v-k+)=20-(60≤v≤120).令t=,则t∈[],

令f(t)=90000t2-20kt+20=90000(t-)2+20-,t∈[],可得对称轴为直线t=由60≤k≤120,可得[].

当,即75≤k≤120时,

f(t)min=f()=20-;

当,即60≤k<75时,

f(t)min=f()=90000×()2-20k+20=

综上所述,当75≤k≤120时,该型号汽车行驶100千米的油耗的最小值为(20-)升;

当60≤k<75时,该型号汽车行驶100千米的油耗的最小值为()升.