专题11 相似三角形的性质压轴题五种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题11 相似三角形的性质压轴题五种模型全攻略

考点一 利用相似三角形的性质求解               考点二 相似三角形实际应用

考点三 利用相似求坐标                         考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形

考点五 相似三角形的综合问题

考点一 利用相似三角形的性质求解

例题：（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）若，且周长比为4：9，则其对应边上的高的比为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2021·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（    ）

A．30° B．60° C．70° D．80°

2．（2022·全国·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为_______．

3．（2021·广西·北师大平果附属学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．

(1)求CE的长；

(2)若△ABC的面积为，求△ADE的面积．

考点二 相似三角形实际应用

例题：（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知零件的外径为，现用个交叉卡钳（两条尺长和相等，）测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度（    ）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

【变式训练】

1．（2022·山东青岛·九年级期末）如图，路灯A与地面的距离米，身高1.6米小明与路灯底部的距离米，则小明影子长_______米．

2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．

考点三 利用相似求坐标

例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．

【变式训练】

1．（2020·江苏·景山中学九年级阶段练习）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________．

2．（2020·江苏泰州·九年级阶段练习）已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为_________．

考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形

例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．

(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为；

(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．

【变式训练】

1．（2022·河南洛阳·九年级期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．

(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；

(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．

2．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．

(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；

(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．

考点五 相似三角形的综合问题

例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．

（1）求证：△AFE∽△ADC．

（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．

【变式训练】

1．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）求证EG2＝GF•AF；

（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．

2．（2021·福建省诏安第一中学九年级期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．

(1)如图1，直按写出的值_______；

(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．

一、选择题

1．（2022·北京·人大附中通州校区九年级阶段练习）如图，在中，DEBC，，，，则BC的长为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形中．为CD上一点．．连接AE，BD交于点，则等于(   )

A．2：5 B．2：25 C．4：5 D．4：25

3．（2021·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当时，则AD的长是（    ）

A． B． C．2 D．

4．（2021·河北·石家庄市第四十四中学九年级阶段练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，则的长为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

5．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（　　）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米

二、填空题

6．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）与中，若，则的周长是___________．

7．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是______．

8．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）如图，在直角坐标系中有两点，如果点在轴上（C与不重合），当点的坐标为___________或___________时，使得由点组成的三角形与相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）．

9．（2022·上海奉贤·九年级阶段练习）如图，矩形中，，将矩形绕点D逆时针旋转，点B落在射线上的点F处，点A落在点E处，与交于点P，且，那么的长为 _____．

10．（2022·辽宁·鞍山市第二中学九年级阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，E是BC边上的一个动点，，交于点F，设，，则当E从点B运动到点C时（点E不与点B、C重合），有如下结论：①；②；③当时，＝；④当时，；其中正确的结论为 _____．

三、解答题

11．（2022·甘肃·金塔县第四中学九年级期中）如图，矩形内接于，于点D，交于点M，，，，求矩形的面积．

12．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，过点D作DE⊥AB，垂足为E

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若=，AF=10，求⊙O的半径.

13．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G．

(1)求证：；

(2)若正方形的边长为6，求的长．

14．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校九年级阶段练习）如图，在中，平分，E为上一点，．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)若，，求的长．

15．（2022·广东·佛山市顺德区华南师范大学附属北滘学校九年级阶段练习）如图甲，在△ABC中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接．设运动时间为，解答下列问题：

(1)设的面积为S，求出S的表达式（用含t的式子表示）；

(2)如图乙，连接，将沿翻折，得到四边形．当四边形为菱形时，求t的值；

(3)当t为何值时，是等腰三角形？