新高考数学一轮复习讲练测专题7.3等比数列及其前n项和（练）（含解析）

专题7.3   等比数列及其前n项和

1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【解析】

根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】

∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（    ）

A． B． C．8 D．16

【答案】C

【解析】

设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可.

【详解】

解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，

∵S3＝，，

∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，

解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．

则＝＝8．

故选：C．

3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.

【详解】

设等比数列公比为，则，又，

∴，故，

又，即.

故选：C

4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.

【详解】

设等比数列的公比为q，则，所以，又，

所以，

故选：A.

5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（    ）

A．6里 B．24里 C．48里 D．96里

【答案】D

【解析】

根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，

由，得，

解可得，

则；

即此人第二天走的路程里数为96；

故选：D．

6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

由可得出，取，由，进而判断可得出结论.

【详解】

若，则，即，所以，数列为递增数列，

若，，

所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.

【答案】

【解析】

由，，得到且，得出数列构成以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由，可得，

又由，可得，所以，

所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列，

所以.

故答案为：.

8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．

【答案】       

【解析】

利用求通项公式，再求出.

【详解】

对于，

当n=1时，有，解得：1；

当时，有，所以，所以，所以数列为等比数列，，

所以.

故答案为：1，.

9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．

【答案】       

【解析】

根据，求出数列的通项公式，再代入求出．

【详解】

解：因为

当时，，解得；

当时，，所以，即

于是是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

所以，

故答案为：；；

10.（2018·全国高考真题（文））等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】（1）或 .

（2）.

【解析】

（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由等比数列的性质可得： ，

，结合可得： ，

结合等比数列的性质可得： ，

即： .

本题选择B选项.

2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（    ）

A．46 B．47 C．48 D．49

【答案】C

【解析】

根据“数塔”的规律，可知第行共有个数，利用等比数列求和公式求出第行的数字之和，再求出前行的和，即可判断取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出；

【详解】

解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为

故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以

故选：C

3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（    ）

A．是递增数列 B．是等比数列

C． D．

【答案】ACD

【解析】

将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.

【详解】

因为，所以，

从而，，所以，

所以，又，是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，即，

又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，

所以是递增数列，故A正确；

因为，

所以，

所以，

所以，所以不是等比数列，故B错误.

因为

，

而

，从而，

于是，，故C正确.

因为，所以，故D正确.

故选：ACD.

4. （2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，

Ⅰ求通项公式；

Ⅱ记，求证：．

【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析

【解析】

Ⅰ，

当时，，

得，

又，

，

数列是首项为1，公比为2的等比数列，

；

证明：Ⅱ，

，

时，，

，

同理：，

故：．

5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.

（1）若，求出；

（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）将代入，由递推关系求出通项公式，并检验当时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数，满足题意，结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数，的值，运用分组求和法求出的值.

【详解】

（1）由题可知：当时有：，

当时，，

又满足上式，故.

（2）假设存在实数，满足题意，则当时，

由题可得：，

和题设对比系数可得：，，.

此时，，

故存在，使得是首项为4，公比为2的等比数列.

从而.

所以.

6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．

（1）求证：是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）若是递增数列，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由，变形为，再利用等比数列的定义证明；

（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；

（3）根据是递增数列，由,恒成立求解.

【详解】

（1）因为，

所以，

即，

又因为，

所以，

所以，

所以是等比数列．

（2）由，公比为2，

得，

所以．

（3）因为，

所以，

所以，

因为是递增数列，所以成立，

故，成立，

即，成立，

因为是递减数列，

所以该数列的最大项是，

所以的取值范围是．

7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….

记第行第个数为.

（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；

（Ⅱ）求第行所有数的和.

【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.

【解析】

（I）由数阵写出，，，由此可归纳出.

（II），利用错位相减法求得结果.

【详解】

（Ⅰ）由数阵可知：

，，，

由此可归纳出.

（Ⅱ）

，

所以，

错位相减得.

8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.

（1）求的通项公式；

（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.

【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.

【解析】

（1）由可得可得答案；

（2）由得，两式相除可得数列的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列的前2n项的和.

【详解】

（1）由，，

得，所以.

因为，所以，所以，.

又当时，，适合上式.

所以，.

（2）因为，，所以，

又，所以.

所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.

故数列的前2n项的和，

所以数列的前2n项和为.

9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，

（1）令，求证：数列是等比数列；

（2）令 ，当取得最大值时，求的值.

【答案】（I）见解析（2）最大，即

【解析】

（1）

两式相减，得

∴

即：

∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列

（2）由（1）可知， 即

也满足上式

令，则 ，

∴ 最大，即

10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，，数列满足，.

（1）数列，的通项公式；

（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.

【答案】（1），；（2）最大值为44.

【解析】

（1）由题得数列是等比数列，即求出数列的通项；由题得是一个以为首项，以1为公差的等差数列，即得数列的通项公式；

（2）先求出，再求出即得解.

【详解】

解：（1）由得，

所以数列是等比数列，公比为，

解得.

由，得，

所以是一个以为首项，以1为公差的等差数列，

所以，

解得.

（2）由得，

记，，

所以为单调递减且，，，

所以，

因此，

当时，的的最大值为44；

当时，的的最大值为43；

故的的最大值为44.

1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】

当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．

【详解】

由题，当数列为时，满足，

但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．

故选：B．

2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）

A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1

【答案】B

【解析】

设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（  ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【解析】

设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

4．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．

【答案】.

【解析】

设等比数列的公比为，由已知

，即

解得，

所以．

5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）；（2）

【解析】

 (1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

(2)由于：，故：

.

6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；

（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.

【详解】

（1）当时，，

，

当时，由①，

得②，①②得

，

又是首项为，公比为的等比数列，

；

（2）由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.