【期中单元知识点归纳】（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 第二十四章 圆试卷（知识归纳+题型突破）

这是一份【期中单元知识点归纳】（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 第二十四章 圆试卷（知识归纳+题型突破），文件包含期中单元知识点归纳人教版2023-2024学年九年级数学上册第二十四章圆知识归纳+题型突破十一大题型176题原卷版docx、期中单元知识点归纳人教版2023-2024学年九年级数学上册第二十四章圆知识归纳+题型突破十一大题型176题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共209页， 欢迎下载使用。

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系.
2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
4.了解三角形的内心与外心.
5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念(例75) .
6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形.
7.*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线(例76) .
8.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等.
9.会计算圆的弧长、扇形的面积.
10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
一、圆的基本性质
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三
.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
3.圆心角、弧、弦的关系
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
( 2 )推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.
二、与圆有关的位置关系
三、正多边形和圆
1.正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.

（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
四、弧长和扇形面积的计算
1..弧长和扇形面积的计算
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝
2.圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：
圆锥S侧==πrl，S=πr（l+r）
注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积
题型一 垂径定理及其应用
【例1】（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，（非直径）为的两条弦，与交于点，请从①为直径；②为中点；③为中点；中选择两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，并完成证明．

【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？

巩固训练：
1．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）

A．①B．②C．③D．④
2．（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点；
（2）作直线交于点．

若，则的长等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
4．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度．则截面圆中弦的长为（ ）

A．B．6C．8D．
5．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，为的一条弦，直径于点E，连接、，若，，则的长为（ ）

A．3B．4C．5D．6
6．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）

A．2米B．3米C．4米D．5米
8．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则 ．

9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，、、都是的弦，，，垂足分别为、，若，则的长为 ．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦上，，，，则这个花坛的半径为 ．

11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，已知是直径，为上一点不与、两点重合），弦过点，．

（1）若，，则的长为 ；
（2）当P点在上运动时（保持 不变），则 ．
12．（2022秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，过内的一点P画弦AB，使P是AB中点．（保留作图痕迹，不写画法）

13．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
14．（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦所在直线的距离．

15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图所示，一装有部分油的圆柱形油罐的横截面．若油面宽，油的最大深度为，

(1)用尺规作图（保留作图痕迹，不用证明），找出圆心O；
(2)求该油罐横截面的半径．
16．（2023·江苏·九年级假期作业）平面直角坐标系中，点、、、在上．
(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)点P的坐标是 ___________，的半径是 ___________．
17．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
题型二 圆心角、弦、弧
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是上的点，为直径，．

(1)求证：点C平分．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出的中点P（保留作图痕迹）．
巩固训练
1．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
2．（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）

A．3B．4C．6D．8
4．（2023·河北·统考中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A．B．C．D．a，b大小无法比较
5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，是的直径，若，则的度数是（ ）．

A．B．C．D．
6．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．

7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为 ．
8．（2022·广东湛江·一模）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．

9．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，是的直径，，，求的度数．

10．（2022秋·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．

11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示，是的两条弦，且，则与的大小有什么关系？为什么？

12．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．

(1)连接，判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求圆O的半径；
题型三 圆周角定理及其应用
【例4】（1）（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，为⊙的直径，点在圆上且在直径的两侧，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【例5】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，弦平分交于点．交于点D．连接，．

(1)求四边形的面积；
(2)求的长．
巩固训练
1．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，内接于，，的半径为2，则的长等于（ ）

A．2B．4C．D．
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ）
A．B．4C．6D．
3．（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图，为的直径，弦于点E，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，于，，连接．图中与相等的角有（ ）

A．个B．个C．个D．个
5．（2023·河南安阳·统考一模）如图，四边形是⊙O的内接四边形，四边形是平行四边形，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，是的直径，、为上的点，且点在上．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·全国·九年级专题练习）已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，在⊙O中，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（ ）

A．若点是的中点，则
B．若，则
C．若，则
D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
10．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，，若弦，则 ．

11．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

12．（2023年辽宁省营口市中考模拟考试（一模）数学试卷）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．

13．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，，，对角线平分，则边的长为 ．

14．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）有三个边长都为的正方形硬纸板，将这三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住．下面是三种不同的摆放类型：
(1)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板的最小直径应为 ；
(2)图①②③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图 (填序号)，最小直径为 ．
15．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，为半径为3的的直径，弦、相交于点E，，求的长．

16．（2023·河南信阳·统考一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)连接，，当__________时，四边形为菱形；
(3)若，，则__________．
17．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，是上两点，，C为弧上一点．

(1)写出弦对的弧的度数；
(2)若是劣弧的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
18．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，以为直径的半圆O经过斜边的两个端点，交直角边于点E，B、E是半圆弧的三等分点．请你仅用无刻度的直尺：
(1)请在图①中画出一条的平行线；

(2)请在图②中画出一条直线平分面积．

题型四 点与圆的位置关系
【例6】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）

A．3B．4C．5D．6
巩固训练
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知的直径为，若点到圆心的距离为．则点与的位置关是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．无法确定
2．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，在中，是斜边上的中线，以为圆心，为半径画圆，则下列各点中，在内的是（ ）

A．点AB．点BC．点CD．点O
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，，点在对角线上，圆经过点．如果矩形有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于 ．
5．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
6．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）是内一点，是上任意一点，若，则的半径为 ．
7．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．

(1)点 的坐标为 ．
(2)判断点 与 的位置关系．
题型五 直线与圆的位置关系
【例7】（1）（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知，P是上一点，.以r为半径作，若，则与直线OB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
（2）（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例8】（2022秋·九年级单元测试）如图，，，当的半径r为何值时，与直线相离？相切？相交？

巩固训练：
1．（2022秋·重庆·九年级重庆十八中校考周测）若的直径为1，圆心O到直线l的距离是方程根，则与直线l的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交D．相切或相交
2．（2022秋·九年级单元测试）已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （ ）
A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离
3．（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）

A．只有乙答的对B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整D．三人的答案合在一起才完整
4．（2023·江苏·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是 ．
5．（2022秋·九年级单元测试）平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么与轴的位置关系是 ．
6．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
7．（2022秋·九年级单元测试）已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
8．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．

9．（2022春·九年级课时练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
题型六 切线的性质和判定
【例9】（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点E在弦的延长线上，过点E作交于点D，若平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【例10】（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接延长，交点E．

(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【例11】（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）探究问题：
(1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．
(2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径．
(3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径．
巩固训练：
1．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，连接，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．是等边三角形
3．（2023·山东滨州·统考一模）如图，与分别相切于点A，B，，则（ ）
A．B．2C．D．3
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则半径为 ．
5．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，是的切线，A、B为切点，且，若，则 ．

6．（2022秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图，已知与的边，，的延长线分别相切，，请完成下列问题：

（1） °；
（2）若的半径为3，则的周长 ．
7．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为 ．

8．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）等腰和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5.若两个图形同时向右移动，的速度为每秒2个单位，的速度为每秒1个单位，同时的边长、都以每秒0.5个单位沿、方向增大.的边与圆第一次相切时，点运动的距离是 个单位长度.
9．（2023秋·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
11．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的面积．
12．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．

(1)求证：是的切线：
(2)求的半径．
13．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接并延长交于点．连接，在的延长线上取一点，，连接，使．

(1)求证：为的切线；
(2)若，则______．
14．（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

15．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接交于点M，F是上的一点，且，连接．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线．
16．（2023·河南安阳·统考一模）如图是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡．
如图是一种缓和曲线过渡匝道的示意图．若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿的切线 经过切点驶入匝道，从的切线经过切点驶出匝道．已知，的半径为．

(1)若在点处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且高清摄像头可以有效监控以内的物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由；
(2)在图中，若连接，交于点，且，判断与的位置关系，并说明理由．
17．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
18．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点为线段的中点，点为线段上一点（不与，重合），以点为圆心，为半径作圆交线段于点，，，，连接，．

(1)求证：；
(2)当与圆相切时，求的长度．
19．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．

(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
20．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，、是的两条切线，、是切点，、是上两点，如果，，求的度数．
21．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．

(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
22．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径作，交于，过作，交于．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，如果的半径为，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
23．（2023·全国·九年级专题练习）某种在同一平面进行转动的机械装置如图1，图2是它的示意图，其工作原理是：滑块Q在平直滑道上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作于点H，并测得分米，米，分米．
解决问题：
(1)点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
(2)如图3，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为这个判断对吗？说明理由；
(3)当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
题型七 三角形的外心和外接圆
【例12】（2022秋·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考期中）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．
(1)判断：___________
(2)若，求的长
(3)若是锐角三角形，直接写出的取值范围．
巩固训练：
1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，直线，为垂足，且点在上．若在上找一点，使得，则下列作法中，正确的是（ ）
A．作线段的中垂线，交于点B．作的外接圆，交于点
C．过点作一直线垂直于，交于点D．作的平分线，交于点
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的外接圆，则点O是的（ ）
A．三条高线的交点B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点D．三角形三内角角平分线的交点
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
4．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．是的外心，不是的外心B．是的外心，不是的外心
C．是的外心，不是的外心D．是的外心，不是的外心
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，已知点O是的外心，，连结，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）中，、、，则外接圆圆心坐标为 ．
7．（2023·江苏·九年级假期作业）平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为 ．
8．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）已知直角三角形的两条直角边分别为、，则它的外接圆半径
9．（2023·湖北襄阳·校考二模）已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是 ．
10．（2023·湖北咸宁·统考一模）已知中，，点O是的外心，点是的外心，点是的外心，点是的外心，…，则的度数为 ．
11．（2023春·九年级单元测试）已知，作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
12．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）如图，为圆的内接三角形，，连接并延长交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
13．（2023·浙江·九年级假期作业）下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
14．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，点A，，的坐标分别为、、．
(1)填空：的外接圆的圆心坐标为______．该外接圆的半径长为______；
(2)在图中格点上标出点（不与点重合），使得，并写出它的坐标．
题型八 三角形的内心和内切圆
【例13】（1）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，已知是的内切圆，且，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）

A．1B．C．1.5D．2
（3）（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．

巩固训练：
1．（2023·全国·九年级专题练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ）
A．2B．C．D．
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下：
甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；
乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；
丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为；
丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为；
则下列判断正确的是（ ）
①；②；③在，，，中，最小
A．①②B．②③C．①③D．①②③
4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
6．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接，．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在的内部交于点P；作射线．给出下列结论：
①射线一定过点O；
②点O是三条中线的交点；
③点O是三条边的垂直平分线的交点；
④点O是三条边的垂直平分线的交点．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）在中，，，，那么这个三角形内切圆的半径为 ．
8．（2022秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
9．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．

(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
10．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积．
11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．

(1)求证：是的切线；
(2)求的直径；
(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 ．
题型九 正多边形和圆
【例14】（1）（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距（ ）

A．B．C．D．3
（2）（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．

巩固训练：
1．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是（ ）

A．B．C． D．
5．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）如图，五边形是的内接正五边形，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．则下列结论中正确的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第次相遇地点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
8．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．6
9．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．

A．B．2C．D．
10．（2022秋·浙江丽水·九年级校考期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．

11．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数为 ．

12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．

题型十 扇形面积和弧长计算
【例15】（1）（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，是以为直径的半圆周的三等分点，是直径上的任意一点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
巩固训练：
1．（2023春·山东威海统考期末）如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，将半径为的扇形沿方向平移，得到扇形． 若，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）

A．B．
C．D．
4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·四川·统考中考真题）如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为( )

A．B．C．D．
7．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ．
8．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）
9．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到；再将绕点旋转180°，得到；……依次类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为 ；在第2020s时，点P的坐标为 ．

10．（2023·吉林松原·统考一模）如图所示，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）

11．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，半圆的直径，弦，的长为，则的长为 ．

12．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
17．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）在长方形中，弧是以为圆心的一段圆弧，．

求：
(1)用含有的代数式表示阴影部分的面积；
(2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
题型十一 圆锥及其侧面展开图
【例14】(1)（2022秋·山西大同·九年级大同市第三中学校校考阶段练习）若圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为（ ）
A．B．C．D．
(2)（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
(3)（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）

巩固训练：
1．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）圆锥的底面半径为15，母线长为50，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·河北石家庄·九年级校考期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（ ）．
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
4．（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
5．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为 ．
6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．

7．（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）已知圆锥的底面半径为5，母线长为10，则此圆锥侧面展开图的面积是 ．
66．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为 ．
8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积是 ．

9．（2023·湖南衡阳·校联考一模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的面积为
10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）

11．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
12．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为．
（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．
13．（2022秋·江苏·七年级专题练习）一个圆柱削去2.4立方米后，正好削成一个与它等底等高的圆锥，圆柱原来的体积是 立方米．
14．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为 ．
15．（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
16．（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高为9cm，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)dr⇔点在⊙O外．
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
3.切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4.切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
6.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
7.三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．

方法1：利用矩形判定和性质证明．

方法2：利用圆的性质证明．

甲的作法

过点B作与垂直的直线，
交于点P，则P即为所求
乙的作法

以O为圆心，长为半径画弧，
交于点P，则P即为所求