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九年级上册数学第22章 二次函数专题28 二次函数与新定义创新问题
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这是一份九年级上册数学第22章 二次函数专题28 二次函数与新定义创新问题，文件包含专题28二次函数与新定义创新问题原卷版docx、专题28二次函数与新定义创新问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
专题28 二次函数与新定义创新问题
该专题是以二次函数为背景下的创新题型，这种题型往往阅读量较大，同学们在做题时，要仔细审题理解新定义，进而找到解题方法。
1．定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），… Bn（n，yn ）（n为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1（a1，0），A2（a2，0），A3（a3，0），…An+1（an+1，0）（0＜a1＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a1＝___．
【答案】或
【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足和美抛物线对应的顶点，再确定抛物线与轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得的值．
【详解】解：直线，
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形，
该等腰三角形的高等于斜边的一半，
该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于
当时，，
当时，，
当时，；
和美抛物线的顶点只有、
①若为顶点，由，，则
②若为顶点，由，则综上所述，的值为或时，存在和美抛物线．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数抛物线的对称性，等腰直角三角形，抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
2．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．则抛物线与直线所围成的阴影部分（不包括边界）的整点个数有__________个；
【答案】7
【分析】联立方程组，求出构成阴影部分时x的取值范围，进一步确定整数点的个数即可．
【详解】解：联立
解得，，
所以，抛物线与直线所围成的阴影部分（不包括边界）的整点有（0，0），（1，-1），（0，-1），（-1，-1），（-1,-2），（-2，-2），（-3，-3）共7个点，
故答案为：7.
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出整数点坐标．
3．（2022·江苏苏州·统考二模）定义：若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“好点”．例如，点是函数的图像的“好点”．
(1)在函数①，②，③的图像上，存在“好点”的函数是________；（填序号）
(2)设函数与的图像的“好点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求k的值；
(3)若将函数的图像在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图像的其余部分组成了一个新的图像．当该图像上恰有3个“好点”时，求m的值．
【答案】(1)③
(2)2或或
(3)或0
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行判断即可；
（2）令，求出点A的坐标，得出，根据“好点”特点，判断出点B一定在直线OA上，然后分AB=AC，AB=BC，AC=BC，三种情况求出点B的坐标，然后将点B代入求出k的值即可；
（3）令，解得：，，确定原函数图象上有2个“好点”，根据翻折，求出翻折后的函数关系式，，根据翻折后的函数图象与直线y=-x只有一个交点，求出m的值；由于当m=0时，翻折后的函数图象上与原函数图象上的一个“好点”重合，得出m=0也符合题意．
(1)
解：①把代入得：，
∵无解，
∴函数上面不存在“好点”；
②把代入得：，
∵无解，
∴函数上面不存在“好点”；
③把代入得：，
∵有两个不相等的实数解，
∴函数上面存在“好点”；
综上分析可知，存在“好点”的函数是③．
故答案为：③．
(2)
令，解得或（舍去），
∴，
，
由题意得，点B一定在上，即直线AO上，
当AC=CB时，点B的坐标为（0，0），
此时点（0，0）不可能在上；
当AB=BC时，，
∴，
∴，
∵，
∴AB=BO，即点B为OA的中点，
所以此时点B的坐标为（-1，1），
把（-1，1）代入得：，解得；
当AB=AC，点B在点A的上面时，，
∵点B在直线上，
∴B点坐标为：，
把代入得：，解得；
当AB=AC，点B在点A的下面时，，
∵点B在直线上，
∴B点坐标为：，
把代入得：，解得；
综上分析可知，或或．
(3)
令，
∴，解得：，，
∴此时该函数图象上有两个“好点”，
①该函数图象的顶点坐标为（-1，-1，），其关于的对称点为，
∴函数沿直线翻折后的部分对应的函数表达式为：
，
∵新图像上恰有3个“好点”，
∴直线与翻折后的图像只有一个公共点，
∴，即，
∴，
∴；
②当时，该函数图象的顶点坐标为（-1，-1，）关于，即x轴的对称点为，
∴函数沿直线翻折后的部分对应的函数表达式为：，
令，即，
解得：，，
∴其中一个“好点”与原函数图象的一个“好点”重合，
∴此时新的图象上恰有3个“好点”，符合题意；
综上分析可知：或0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，理解“好点”为该函数图象与直线y=-x的交点，是解题的关键．
4．（2022·湖南株洲·株洲市景弘中学校考一模）如图1，若关于x的二次函数（a，b，c为常数且）与x轴交于两个不同的点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
(1)若
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数有两个不同的“好点”．
(2)如图2，连接，直线与x轴交于点P，满足，且的面积为，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①（1，4）；②见解析
(2)
【分析】（1）①把代入后，再化成顶点式即可得到答案；②根据“好点”的定义可设G（m，m）代入函数解析式，再判断可得结论；
（2）由，点C的坐标为（0，c），则BO=2c，点B坐标为（2c，0），利用一元二次方程根与系数的关系：，可得，求出，标表示出点A坐标为，由顶点坐标，用待定系数法表示出直线MC的解析式为：，点P坐标为，再相似得PC2=PA•PB，勾股定理得PC2=OP2+OC2=，得，利用整体思想先求出b的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a，c的值，从而进一步可得出结论．
（1）
①把代入，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
②设G（m，m） 代入得，
∴，
整理得，，
∴ ，
∴有两个不同的m的值
即：二次函数有两个不同的“好点”．
（2）
（3）∵，点C的坐标为（0，c），
则BO=2c，点B坐标为（2c，0），
由一元二次方程根与系数的关系：可得，
∴，
∴点A坐标为，
∵顶点坐标M ，C（0，c），
直线MC的函数关系式为：y=mx+n，
根据题意得，，
解得：，
∴直线MC的解析式为：，
∴点P坐标为，
由此可得，
∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴，
∴PC2=PA•PB，
PC2=OP2+OC2= ，
∴，
∴，
∴①，
把点B（2c，0）代入二次函数解析式，
得：4ac2+2bc+c=0，
∴4ac+2b+1=0，
∴4ac+b+1=-b②，
将②式代入①式得，，
将代入4ac+2b+1=0，
得，-4+2b+1=0，
解得：，
∴P的坐标为，
又∵，
∴，
解得，（ 舍去），
∴
又∵c=-，
∴
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合性问题，待定系数法求函数关系式，相似三角形的性质判定，勾股定理的运用，解题关键是综合解题的能力．
5．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有 ；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（，0）．
【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可．
【详解】解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；
（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3，
故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，n），则n＝m2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在；
当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）；
当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝；
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（，0）．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
6．（2021·河北保定·统考二模）当抛物线(a、b、c为常数，c≠0)与x轴交于A，B两点时，以AB为边作矩形ABCD，使点C、点D落在直线y=c上，我们把这样的矩形ABCD叫做该抛物线的“相约矩形”．
（1）①抛物线的“相约矩形”的周长为___________．
②当抛物线(c为常数)不存在“相约矩形”，则c的取值范围是_________．
（2）已知抛物线经过点(2，0)，当该抛物线的“相约矩形”是正方形时，求出该抛物线所对应的函数表达式．
（3）对于函数(a为常数)．
①当该函数的图象与x轴只有－个交点时，求出交点的坐标；
②我们把平面直角坐标系中横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，当抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①14；②c≥1或c=0；（2）或；（3）①(0，0)，(，0)或(，0)；②．
【分析】（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，解一元二次方程根即可求出|x1﹣x2|，即“相约矩形”的长，即可求出周长；②抛物线存在“相约矩形”，必须满足两个条件：Ⅰ．抛物线与x轴有两个交点，Ⅱ．抛物线不经过原点；
（2）由抛物线的“相约矩形”是正方形，可知：抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）或（﹣1，0），分别代入即可求出抛物线解析式；
（3）①函数y＝ax2﹣2x+2a（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，分两种情况：a＝0，a≠0；分别求出交点坐标；
②分四种情形，分别画出图形，构建不等式组解决问题即可．
【详解】解：（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，则x1=3、x2=-1
∴x1-x2=3-（-1）=4
y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点(0,-3)
∴周长=4+4+3+3=14
故答案为：14．
②∵抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）不存在“相约矩形”，
∴抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）与x轴没有两个交点，或经过原点
∴，解得：c≥1；
当经过原点时c=0
∴c≥1或c=0．
故答案为： c≥1或c=0．
（2）∵抛物线经过点(2，0)，且抛物线的“相约矩形”是正方形，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(5，0)或(一1，0)．
将(2，0)，(5，0)或(2，0)，(-1，0)分别代入得
或，解得或
∴该抛物线所对应的函数表达式为：3或．
（3）①∵函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点，
∴可以分两种情况：
当a=0时，函数y=一2x与x轴只有一个交点：(0，0)．
当a≠0时，△=(一2)2一4a·2a=0，解得，．
当时，，令y=0，得多，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)；
当时，，令y=0，得，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)．
综上所述，当函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点时，交点的坐标为(0，0)，(，0)或(，0)．
②
由题意可知函数已x轴有两个交点：
∴△=(一2)2一4a·2a＞0
解得：
∵a>0
∴
∵抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”，分四种情况：
，当x轴上有8个“好点时”如图1，，解得．
，
当x轴上有4个“好点”时如图2，，无解．
,
当x轴上有2个“好点”时，即 ，
解得：，
∵
∴无解
当x轴上有1个“好点”时，，
解得：
∵
∴无解
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、对新定义的理解和应用；解题关键在于正确理解新定义，分类讨论避免漏解．
7．（2022秋·浙江·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
(2)如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．
(3)如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)（1，﹣4a）
(2)① a＝﹣；② 6
(3)﹣≤a＜﹣或＜a≤
【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；
（2）①将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值；
②在①的条件下先求抛物线与x轴的交点，再分析当x＝0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；
（3）分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a(x+1)(x-3)=a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）；
（2）解：①∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3），
∴3＝a-2a-3a，
解得：a＝-．
②当y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝0时，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0）．
当x＝0时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝ ，
∴（0，1）、（0，2）两个整数点在“G区域”；
当x＝1时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝3，
∴（1，1）、（1，2）两个整数点在“G区域”；
当x＝2时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝，
∴（2，1）、（2，2）两个整数点在“G区域”．
综上所述：此时“G区域”有6个整数点；
（3）解：当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．
当a＜0时，如图1所示，
此时有，
解得： ；
当a＞0时，如图2所示，
此时有，
解得： ；
综上所述，如果“G区域”中仅有4个整数点时，则a的取值范围为或．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组， 解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“G区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
【答案】(1)，
(2)或
(3)（n为正整数），m的值可以为3．
【分析】由抛物线对称轴为直线x=m及AB=3求解．
分类讨抛物线开口向上，向下两种情况．设抛物线顶点式求解．
设直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，由可得DE长度为定值，令两整数点在线段DE上，列不等式求解．
【详解】（1）∵点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，
∴，
（2）①m＞0时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入得，
解得
把代入得，
解得或（舍），
∴；
②当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），
∴，
将代入得，
解得，
∴，
综上，或；
（3）如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，
则DE为△ABC的中位线，
∴，点D坐标为，点E坐标为，
由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，，
则，，
解得（n为正整数）．
∴m的值可以为3．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质．
9．（2020·湖北黄冈·九年级统考自主招生）如图，抛物线，经过点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标；
（3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？
【答案】（1）抛物线的顶点M坐标为；（2）N（4，5）；（3）在时，该抛物线上有65个“互素正整点”
【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入中即可得到答案；
（2）设，求得直线NC的解析式为y=（t-2）x-3，设设直线CN与x轴交于点D，求出点D的坐标，根据即可列式计算得出点N的坐标；
（3）抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为，得到，找到符合条件的值即可得到答案.
【详解】（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，-3），
解得：，
∴=,
抛物线的顶点M坐标为；
（2）∵N是抛物线上第一象限的点，
∴设（t＞0），又点C（0，-3），
设直线NC的解析式为，N在直线NC上，
解得k=t-2
∴直线NC的解析式为y=（t-2）x-3，
设直线CN与x轴交于点D，
当y=0时，x=，
∴D（，0），BD=3﹣，
∵S△NBC=S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC﹣yN|= [3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6，
整理，得：t2﹣3t﹣4=0，
解得：t1=4，t2=﹣1（舍去），
当t=4时，t2-2t-3=5，
∴N（4，5）；
(3)抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为：
，t为正整数，且，
由性质①②，t与的最大公约数，
，
即只需满足即可，又因为3是素数，当且仅当t不是3的倍数时，t与3互素，
在4到100共97个数中，总共有32个数是3的倍数，
故共有65个数不是3的倍数，满足，
即在时，该抛物线上有65个“互素正整点”.
【点睛】此题是一道二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，解一元二次方程等知识，正确把握和运用相关知识，运用数形结合思想是解题的关键.
10．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉市粮道街中学校考期末）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值；
(3)设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）先求得顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得、的值；
（2）设．则，，然后得到与的函数关系式，最后依据配方法可求得的最值；
（3）连接，过点作，垂足为．接下来证明，由全等三角形的性质得到，，设点的坐标为．则用含的式子可表示出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，从而得到点的坐标．
【详解】（1），
抛物线的顶点坐标为，．
抛物线：与顶点相同，
，．
解得：，．
抛物线的解析式为；
（2）如图1所示：
设点的坐标为．
，，
．
当时，有最大值，最大值为．
（3）如图2所示；连接，过点作，垂足为．
，，抛物线的对称轴为，
，．
，
．
，
．
．
在和中，
，
，．
设点的坐标为．则，．
点的坐标为．
．
整理得：．
解得，或．
当时，的坐标为，
当时，的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或时，恰好落在抛物线上．
【点睛】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含的式子表示点的坐标是解题的关键．
11．（2022秋·九年级课时练习）【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．
【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．
【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓屐应用】
（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．
①若，且四边形为正方形，求m的值；
②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．
【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为；②a的值为－或或或
【分析】（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，据此求解即可；
（2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；
（3）①根据题意可得：二次函数L1：，二次函数L2：，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据四边形为正方形，得出方程求解即可；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据题意：四边形的邻边之比为1：2，得出或，求解即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴函数的“友好对称二次函数”为；
，原函数的对称轴为：，
∴，
∴，，
∴函数的“友好对称二次函数”为，,
故答案为：；；
（2）∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；
∵，
∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；
由定义，的“友好对称二次函数”为，③正确；
若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④错误；
故答案为：①②③；
（3）二次函数L1：的对称轴为直线，其“友好对称二次函数”L2：．
①∵，
∴二次函数L1：，二次函数L2：，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
，
∵四边形为正方形，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值为；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵四边形的邻边之比为1：2，
∴或，
即或，
解得：，，，，
∴a的值为－或或或．
【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．
12．（2021·山东威海·统考二模）【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
（1）若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是 ；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为 ，c与q的数量关系为 ．
【综合应用】
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长；
【答案】（1）3，；（2），；（3）
【分析】（1）根据题目中的新定义可知“友好抛物线”关于坐标原点对称，根据关于坐标原点对称的抛物线的特征即可得出答案；
（2）根据互为友好抛物线”的图像关于坐标原点对称即可得出答案；
（3）由（2）的规律易得的解析式，由、的解析式先求出E、F点的坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形AFDE为菱形时，EF⊥AD，直线AD经过原点O，则可求得AD解析式，设点A（x1,2x1），点B（x2,2x2），进而根据根与系数的关系以及两点间距离公式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知“友好抛物线”的图像关于坐标原点对称，
∴和的顶点坐标关于原点对称，
又∵的顶点为（-3,1），
∴的顶点为（3,-1），
∴h=3，k=-1；
（2）∵和图像关于坐标原点对称，
抛物线的对称轴为：，
关于原点对称可得抛物线的对称轴为：，
又∵，
∴，
∵a=-m，
∴，
∵抛物线经过定点（0，c），
（0，c）关于原点的对称点为（0，-c），
抛物线经过定点（0，q），
∴-c=q，即；
（3）由（2）结论可得： ，
∴点，点，
设直线EF的解析式为，
将点E代入可得直线EF的解析式为.
∵四边形AFDE为菱形时，，
所以直线AD的解析式为，
由题意可设点A（x1,2x1），点B（x2,2x2），
时，x1+x2=6，x1x2=3，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及两点间距离公式是解题的关键．
13．（2022春·九年级单元测试）抛物线：与直线：交于、两点，且．
(1)求和的值（用含的代数式表示）；
(2)当时，抛物线与轴的另一个交点为．
求的面积；
当时，则的取值范围是______．
(3)抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高．
(4)在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数______；若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：______．
【答案】(1)，
(2)①10；②
(3)，当时，此时点达到最高
(4)；
【分析】将点分别代入抛物线和直线解析可得出结论；
由可得出，令，可得出的值，进而可得出点的坐标，联立抛物线和直线的解析式，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论；
根据二次函数的性质可得出当时，抛物线的增减性，进而可得出的取值范围；
将抛物线的解析式化为顶点式，可得出的值，进而可得出与的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论；
求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“美点”的个数；根据题意若这些美点平均分布在直线的两侧，则直线在点和之间，由此求出的值，进而得出结论．
【详解】（1）解：将点代入直线：，
，
；
将点代入抛物线：，
，
；
综上，，；
（2）当时，，
抛物线的解析式为：．
令，则或，
，
令，解得或，
．
．
当时，函数随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：．
故答案为：．
（3）抛物线：，
抛物线的顶点为，
，
，
当时，的最大值为，此时点达到最高．
综上，，当时，此时点达到最高．
（4）当时，
抛物线：，
直线：，
由得，，，
抛物线与直线的交点是和，
当时，
在和上的边界上，当横坐标是整数时，纵坐标也是整数，
“美点”共有：个；
当过点时，直线下方有个，直线上方有个，
此时，解得；
当过点时，直线下方有个，上方有个，
此时，解得；
若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：．
故答案为：；．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，新定义“美点”，二次函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：
(1)如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
(3)如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
【答案】(1)△POD为一中美三角，理由见解析
(2)P（﹣2，2）
(3)m＝时，S△PBQ有最大值为，此时Q（，）．
【分析】（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，证明可得OD＝OP，从而△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，-2m-2），AP2=（m+2）2+（-2m-2）2=5m2+12m+8，BP2=m2+（-2m-2-2）2=5m2+16m+16，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，5m2+12m+8=5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16=8，②若AP、AB为腰，5m2+12m+8=8且5m2+12m+8+8=5m2+16m+16，③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16=8且5m2+16m+16+8=5m2+12m+8，分别解方程即可得答案；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD=
BC=，P（t，3t+3），可列（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2得P（﹣，），从而可得直线BP为y=-x+1，由Q（m，-m2+2m+3），M（m，-
m+1），有QM=-m2+m+2，故S△PBQ=﹣（m﹣）2+，即可得m= 时，S△PBQ有最大值为，Q（，）．
【详解】（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：
过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，﹣2m﹣2），
∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：
0
①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM•（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数及二次函数图象上点坐标特征、四点共圆、三角形面积等知识，综合性强，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积．
15．（2021春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考期末）在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标相等的点（a，a）叫做“至善点”，显然，这样的“至善点”有无数个，两个“至善点”（x1，x1），（x2，x2）之间的距离d＝，叫做“至美距离”．
（1）求函数y＝x2﹣2x＋2的图象的“至善点”，并求出“至美距离”；
（2）求函数y＝x2＋mx﹣m上两个“至善点”之间的“至美距离”的最小值；
（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“至善点”A（x1，x1）、B（x2，x2），且满足﹣2≤x1≤2，且 A、B两点之间的“至美距离”为2，求代数式b2﹣2b＋5的取值范围．
【答案】（1）（1，1），（2，2）；；（2）2；（3）b2﹣2b＋5≥．
【分析】（1）令x＝x2﹣2x＋2求解即可；
（2）由题意可得x＝x2＋mx﹣m即x2＋（m-1）x﹣m=0，然后由根与系数的关系x1＋x2＝2（1﹣m），x1•x2＝﹣2m；然后再列出“至美距离”的解析式并求最值即可；
（3）由题意可得x＝ax2＋bx＋1即ax2＋（b-1）x＋1=0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1•x2＝，再由d＝2，则|x1﹣x2|＝2且满足﹣2≤x1≤确定x2的取值范围，=2求得a，进而完成解答．
【详解】解：（1）由题意可得x＝x2﹣2x＋2，
∴x2﹣3x＋2＝0，
∴x＝2或x＝1，
∴函数的“至善点”是（1，1），（2，2），
∴d＝；
（2）∵数y＝x2＋mx﹣m上两个“至善点”，
∴x＝x2＋mx﹣m，
∴x2＋（m﹣1）x﹣m＝0，
∴x1＋x2＝2（1﹣m），x1•x2＝﹣2m，
∴d＝＝|x1﹣|＝
＝2
∴d的最小值为2；
（3）∵y＝ax2＋bx＋1有两个不同的“至善点”，
∴x＝ax2＋bx＋1，
∴ax2＋（b﹣1）x＋1＝0，
∴x1＋x2＝，x1•x2＝ ，
∵“至美距离”为2，
∴|x1﹣x2|＝2，
∵﹣2≤x1≤2，
当﹣2≤x1≤0时，﹣4≤x2≤2，
当0≤x1≤2时，﹣2≤x2≤4，
∵对称轴为x＝，
∴﹣3≤≤3，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴2＝＝，
∴（1﹣b）2＝4a＋4a2，，
∵0≤（1﹣b）2≤36a2，
∴4a＋4a2≤36a2，
∴a≥ ，
∵b2﹣2b＋5＝（1﹣b）2＋4＝4a＋4a2＋4＝4＋3，
∴b2﹣2b＋5≥．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，理解新定义并将定义与所学知识联系起来成为解答本题是关键．
16．（2022·北京西城·九年级期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：
过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．
例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．
（1）已知：，，点，
① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________；
② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．
（2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．
【答案】（1）①， ；②m≥-1且m≠0；（2）或
【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断
②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，，结合图像得，，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可．
【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以， 是覆盖的特征点
②设点为的覆盖的特征点．依题意得：，
当时，结合函数图像可知，在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，故符合题意．
当时，如图，点为的覆盖的特征点．
又∵点在一次函数的图像上，
又∵点在一次函数的图像上，
当直线过点时，即：
解得：．
∴结合函数图像可知．
综上所述：．
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，
当时，代入抛物线得
，
解得：，
结合图像得，即存在覆盖特征点，
当时，此时y=4是一直线，不存在符合条件点，
当时，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点，
综合得的范围是或．
【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．
17．（2022·江苏盐城·三模）我们规定：关于x的反比例函数称为一次函数的“次生函数”，关于x的二次函数称为一次函数的“再生函数”．
(1)按此规定：一次函数的“次生函数”为：___________，“再生函数”为：___________；
(2)若关于x的一次函数的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
(3)若一次函数与其“次生函数”交于点、两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点，求的正切值；
②若点E在直线上，且在x轴的下方，当时，求点E的坐标．
【答案】(1) ，；
(2)
(3)①②
【分析】（1）根据“次生函数”， “再生函数”的定义，进行计算求解即可；
（2）先求出一次函数的“再生函数”，再根据顶点在轴上，说明“再生函数”
与轴只有一个交点，利用，求出，将解析式转化为顶点式，即可得到顶点坐标．
（3）①根据一次函数与其“次生函数”交于点、两点，求出的值，然后求出一次函数的“再生函数”，求出点的坐标，利用勾股定理逆定理得到，利用，即可得解；②过点作于，交的延长线于，过点作轴，过点作轴，过点作于，证明，得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．
【详解】（1）一次函数中，，
∴一次函数的“次生函数”为：，
“再生函数”为：，
故答案为： ，；
（2）解：一次函数的“再生函数”为：，
∵顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为；
（3）①一次函数与其“次生函数”交于点、，
∴ ，解得： ，
∴其“再生函数”为：，
当时，，
解得︰，
∴，
如图1，
当时，，
∴，
∵，
，，，
∴，
∴，
∴ ；
②如图2，过点作于，交的延长线于，过点作轴，过点作轴，过点作于，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
∴，解得： ，
∴的解析式： ，
∵点在直线上，
∴点的横坐标为1，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查函数的综合应用．理解并掌握“次生函数”，“再生函数”的定义，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．同时考查了一次函数的性质，二次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，属于中考压轴题．
18．（2021·湖北武汉·九年级期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 ；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)①a；②或
【分析】（1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求 a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”为；
故答案为：，，．
（2）①当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
②抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当时，
∵L开口向上，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当时，，当时，，
解得：；
（ii）当时，
∵L开口向下，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当时，，当时，，
解得：，
综上所述：或．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
19．（2021·河北·统考中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点．
（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；
（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；
（3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？
【注：（2）中不必写的取值范围】
【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）．
【分析】（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点的坐标可以确定轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；
（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点；
（3）抓住二次函数图象不变，是在左右平移，要求点横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．
【详解】解：（1）当，，
解得：，
在左侧，，
关于对称，
轴与重合，如下图：
由题意在坐标轴上标出相关信息，
当时，，
解得：，
，
∴点会落在的台阶上，坐标为，
（2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：，
由（1）知，抛物线过，将代入，
，
解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过），
抛物线:，
关于，且，
其对称轴与台阶有交点．
（3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大；
当，，
解得：（取舍），
故点的横坐标最大值为：，
当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小；
当，，
解得：（舍去），
故点的横坐标最小值为：，
则点横坐标的最大值比最小值大：，
故答案是：．
【点睛】本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式．
20．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
专题28 二次函数与新定义创新问题
该专题是以二次函数为背景下的创新题型，这种题型往往阅读量较大，同学们在做题时，要仔细审题理解新定义，进而找到解题方法。
1．定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），… Bn（n，yn ）（n为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1（a1，0），A2（a2，0），A3（a3，0），…An+1（an+1，0）（0＜a1＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a1＝___．
【答案】或
【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足和美抛物线对应的顶点，再确定抛物线与轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得的值．
【详解】解：直线，
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形，
该等腰三角形的高等于斜边的一半，
该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于
当时，，
当时，，
当时，；
和美抛物线的顶点只有、
①若为顶点，由，，则
②若为顶点，由，则综上所述，的值为或时，存在和美抛物线．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数抛物线的对称性，等腰直角三角形，抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
2．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．则抛物线与直线所围成的阴影部分（不包括边界）的整点个数有__________个；
【答案】7
【分析】联立方程组，求出构成阴影部分时x的取值范围，进一步确定整数点的个数即可．
【详解】解：联立
解得，，
所以，抛物线与直线所围成的阴影部分（不包括边界）的整点有（0，0），（1，-1），（0，-1），（-1，-1），（-1,-2），（-2，-2），（-3，-3）共7个点，
故答案为：7.
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出整数点坐标．
3．（2022·江苏苏州·统考二模）定义：若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“好点”．例如，点是函数的图像的“好点”．
(1)在函数①，②，③的图像上，存在“好点”的函数是________；（填序号）
(2)设函数与的图像的“好点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求k的值；
(3)若将函数的图像在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图像的其余部分组成了一个新的图像．当该图像上恰有3个“好点”时，求m的值．
【答案】(1)③
(2)2或或
(3)或0
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行判断即可；
（2）令，求出点A的坐标，得出，根据“好点”特点，判断出点B一定在直线OA上，然后分AB=AC，AB=BC，AC=BC，三种情况求出点B的坐标，然后将点B代入求出k的值即可；
（3）令，解得：，，确定原函数图象上有2个“好点”，根据翻折，求出翻折后的函数关系式，，根据翻折后的函数图象与直线y=-x只有一个交点，求出m的值；由于当m=0时，翻折后的函数图象上与原函数图象上的一个“好点”重合，得出m=0也符合题意．
(1)
解：①把代入得：，
∵无解，
∴函数上面不存在“好点”；
②把代入得：，
∵无解，
∴函数上面不存在“好点”；
③把代入得：，
∵有两个不相等的实数解，
∴函数上面存在“好点”；
综上分析可知，存在“好点”的函数是③．
故答案为：③．
(2)
令，解得或（舍去），
∴，
，
由题意得，点B一定在上，即直线AO上，
当AC=CB时，点B的坐标为（0，0），
此时点（0，0）不可能在上；
当AB=BC时，，
∴，
∴，
∵，
∴AB=BO，即点B为OA的中点，
所以此时点B的坐标为（-1，1），
把（-1，1）代入得：，解得；
当AB=AC，点B在点A的上面时，，
∵点B在直线上，
∴B点坐标为：，
把代入得：，解得；
当AB=AC，点B在点A的下面时，，
∵点B在直线上，
∴B点坐标为：，
把代入得：，解得；
综上分析可知，或或．
(3)
令，
∴，解得：，，
∴此时该函数图象上有两个“好点”，
①该函数图象的顶点坐标为（-1，-1，），其关于的对称点为，
∴函数沿直线翻折后的部分对应的函数表达式为：
，
∵新图像上恰有3个“好点”，
∴直线与翻折后的图像只有一个公共点，
∴，即，
∴，
∴；
②当时，该函数图象的顶点坐标为（-1，-1，）关于，即x轴的对称点为，
∴函数沿直线翻折后的部分对应的函数表达式为：，
令，即，
解得：，，
∴其中一个“好点”与原函数图象的一个“好点”重合，
∴此时新的图象上恰有3个“好点”，符合题意；
综上分析可知：或0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，理解“好点”为该函数图象与直线y=-x的交点，是解题的关键．
4．（2022·湖南株洲·株洲市景弘中学校考一模）如图1，若关于x的二次函数（a，b，c为常数且）与x轴交于两个不同的点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
(1)若
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数有两个不同的“好点”．
(2)如图2，连接，直线与x轴交于点P，满足，且的面积为，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①（1，4）；②见解析
(2)
【分析】（1）①把代入后，再化成顶点式即可得到答案；②根据“好点”的定义可设G（m，m）代入函数解析式，再判断可得结论；
（2）由，点C的坐标为（0，c），则BO=2c，点B坐标为（2c，0），利用一元二次方程根与系数的关系：，可得，求出，标表示出点A坐标为，由顶点坐标，用待定系数法表示出直线MC的解析式为：，点P坐标为，再相似得PC2=PA•PB，勾股定理得PC2=OP2+OC2=，得，利用整体思想先求出b的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a，c的值，从而进一步可得出结论．
（1）
①把代入，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
②设G（m，m） 代入得，
∴，
整理得，，
∴ ，
∴有两个不同的m的值
即：二次函数有两个不同的“好点”．
（2）
（3）∵，点C的坐标为（0，c），
则BO=2c，点B坐标为（2c，0），
由一元二次方程根与系数的关系：可得，
∴，
∴点A坐标为，
∵顶点坐标M ，C（0，c），
直线MC的函数关系式为：y=mx+n，
根据题意得，，
解得：，
∴直线MC的解析式为：，
∴点P坐标为，
由此可得，
∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴，
∴PC2=PA•PB，
PC2=OP2+OC2= ，
∴，
∴，
∴①，
把点B（2c，0）代入二次函数解析式，
得：4ac2+2bc+c=0，
∴4ac+2b+1=0，
∴4ac+b+1=-b②，
将②式代入①式得，，
将代入4ac+2b+1=0，
得，-4+2b+1=0，
解得：，
∴P的坐标为，
又∵，
∴，
解得，（ 舍去），
∴
又∵c=-，
∴
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合性问题，待定系数法求函数关系式，相似三角形的性质判定，勾股定理的运用，解题关键是综合解题的能力．
5．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有 ；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（，0）．
【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可．
【详解】解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；
（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3，
故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，n），则n＝m2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在；
当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）；
当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝；
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（，0）．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
6．（2021·河北保定·统考二模）当抛物线(a、b、c为常数，c≠0)与x轴交于A，B两点时，以AB为边作矩形ABCD，使点C、点D落在直线y=c上，我们把这样的矩形ABCD叫做该抛物线的“相约矩形”．
（1）①抛物线的“相约矩形”的周长为___________．
②当抛物线(c为常数)不存在“相约矩形”，则c的取值范围是_________．
（2）已知抛物线经过点(2，0)，当该抛物线的“相约矩形”是正方形时，求出该抛物线所对应的函数表达式．
（3）对于函数(a为常数)．
①当该函数的图象与x轴只有－个交点时，求出交点的坐标；
②我们把平面直角坐标系中横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，当抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①14；②c≥1或c=0；（2）或；（3）①(0，0)，(，0)或(，0)；②．
【分析】（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，解一元二次方程根即可求出|x1﹣x2|，即“相约矩形”的长，即可求出周长；②抛物线存在“相约矩形”，必须满足两个条件：Ⅰ．抛物线与x轴有两个交点，Ⅱ．抛物线不经过原点；
（2）由抛物线的“相约矩形”是正方形，可知：抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）或（﹣1，0），分别代入即可求出抛物线解析式；
（3）①函数y＝ax2﹣2x+2a（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，分两种情况：a＝0，a≠0；分别求出交点坐标；
②分四种情形，分别画出图形，构建不等式组解决问题即可．
【详解】解：（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，则x1=3、x2=-1
∴x1-x2=3-（-1）=4
y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点(0,-3)
∴周长=4+4+3+3=14
故答案为：14．
②∵抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）不存在“相约矩形”，
∴抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）与x轴没有两个交点，或经过原点
∴，解得：c≥1；
当经过原点时c=0
∴c≥1或c=0．
故答案为： c≥1或c=0．
（2）∵抛物线经过点(2，0)，且抛物线的“相约矩形”是正方形，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(5，0)或(一1，0)．
将(2，0)，(5，0)或(2，0)，(-1，0)分别代入得
或，解得或
∴该抛物线所对应的函数表达式为：3或．
（3）①∵函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点，
∴可以分两种情况：
当a=0时，函数y=一2x与x轴只有一个交点：(0，0)．
当a≠0时，△=(一2)2一4a·2a=0，解得，．
当时，，令y=0，得多，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)；
当时，，令y=0，得，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)．
综上所述，当函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点时，交点的坐标为(0，0)，(，0)或(，0)．
②
由题意可知函数已x轴有两个交点：
∴△=(一2)2一4a·2a＞0
解得：
∵a>0
∴
∵抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”，分四种情况：
，当x轴上有8个“好点时”如图1，，解得．
，
当x轴上有4个“好点”时如图2，，无解．
,
当x轴上有2个“好点”时，即 ，
解得：，
∵
∴无解
当x轴上有1个“好点”时，，
解得：
∵
∴无解
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、对新定义的理解和应用；解题关键在于正确理解新定义，分类讨论避免漏解．
7．（2022秋·浙江·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
(2)如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．
(3)如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)（1，﹣4a）
(2)① a＝﹣；② 6
(3)﹣≤a＜﹣或＜a≤
【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；
（2）①将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值；
②在①的条件下先求抛物线与x轴的交点，再分析当x＝0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；
（3）分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a(x+1)(x-3)=a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）；
（2）解：①∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3），
∴3＝a-2a-3a，
解得：a＝-．
②当y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝0时，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0）．
当x＝0时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝ ，
∴（0，1）、（0，2）两个整数点在“G区域”；
当x＝1时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝3，
∴（1，1）、（1，2）两个整数点在“G区域”；
当x＝2时，y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝，
∴（2，1）、（2，2）两个整数点在“G区域”．
综上所述：此时“G区域”有6个整数点；
（3）解：当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．
当a＜0时，如图1所示，
此时有，
解得： ；
当a＞0时，如图2所示，
此时有，
解得： ；
综上所述，如果“G区域”中仅有4个整数点时，则a的取值范围为或．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组， 解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“G区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
【答案】(1)，
(2)或
(3)（n为正整数），m的值可以为3．
【分析】由抛物线对称轴为直线x=m及AB=3求解．
分类讨抛物线开口向上，向下两种情况．设抛物线顶点式求解．
设直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，由可得DE长度为定值，令两整数点在线段DE上，列不等式求解．
【详解】（1）∵点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，
∴，
（2）①m＞0时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入得，
解得
把代入得，
解得或（舍），
∴；
②当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），
∴，
将代入得，
解得，
∴，
综上，或；
（3）如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，
则DE为△ABC的中位线，
∴，点D坐标为，点E坐标为，
由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，，
则，，
解得（n为正整数）．
∴m的值可以为3．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质．
9．（2020·湖北黄冈·九年级统考自主招生）如图，抛物线，经过点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标；
（3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？
【答案】（1）抛物线的顶点M坐标为；（2）N（4，5）；（3）在时，该抛物线上有65个“互素正整点”
【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入中即可得到答案；
（2）设，求得直线NC的解析式为y=（t-2）x-3，设设直线CN与x轴交于点D，求出点D的坐标，根据即可列式计算得出点N的坐标；
（3）抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为，得到，找到符合条件的值即可得到答案.
【详解】（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，-3），
解得：，
∴=,
抛物线的顶点M坐标为；
（2）∵N是抛物线上第一象限的点，
∴设（t＞0），又点C（0，-3），
设直线NC的解析式为，N在直线NC上，
解得k=t-2
∴直线NC的解析式为y=（t-2）x-3，
设直线CN与x轴交于点D，
当y=0时，x=，
∴D（，0），BD=3﹣，
∵S△NBC=S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC﹣yN|= [3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6，
整理，得：t2﹣3t﹣4=0，
解得：t1=4，t2=﹣1（舍去），
当t=4时，t2-2t-3=5，
∴N（4，5）；
(3)抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为：
，t为正整数，且，
由性质①②，t与的最大公约数，
，
即只需满足即可，又因为3是素数，当且仅当t不是3的倍数时，t与3互素，
在4到100共97个数中，总共有32个数是3的倍数，
故共有65个数不是3的倍数，满足，
即在时，该抛物线上有65个“互素正整点”.
【点睛】此题是一道二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，解一元二次方程等知识，正确把握和运用相关知识，运用数形结合思想是解题的关键.
10．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉市粮道街中学校考期末）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值；
(3)设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）先求得顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得、的值；
（2）设．则，，然后得到与的函数关系式，最后依据配方法可求得的最值；
（3）连接，过点作，垂足为．接下来证明，由全等三角形的性质得到，，设点的坐标为．则用含的式子可表示出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，从而得到点的坐标．
【详解】（1），
抛物线的顶点坐标为，．
抛物线：与顶点相同，
，．
解得：，．
抛物线的解析式为；
（2）如图1所示：
设点的坐标为．
，，
．
当时，有最大值，最大值为．
（3）如图2所示；连接，过点作，垂足为．
，，抛物线的对称轴为，
，．
，
．
，
．
．
在和中，
，
，．
设点的坐标为．则，．
点的坐标为．
．
整理得：．
解得，或．
当时，的坐标为，
当时，的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或时，恰好落在抛物线上．
【点睛】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含的式子表示点的坐标是解题的关键．
11．（2022秋·九年级课时练习）【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．
【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．
【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓屐应用】
（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．
①若，且四边形为正方形，求m的值；
②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．
【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为；②a的值为－或或或
【分析】（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，据此求解即可；
（2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；
（3）①根据题意可得：二次函数L1：，二次函数L2：，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据四边形为正方形，得出方程求解即可；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据题意：四边形的邻边之比为1：2，得出或，求解即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴函数的“友好对称二次函数”为；
，原函数的对称轴为：，
∴，
∴，，
∴函数的“友好对称二次函数”为，,
故答案为：；；
（2）∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；
∵，
∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；
由定义，的“友好对称二次函数”为，③正确；
若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④错误；
故答案为：①②③；
（3）二次函数L1：的对称轴为直线，其“友好对称二次函数”L2：．
①∵，
∴二次函数L1：，二次函数L2：，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
，
∵四边形为正方形，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值为；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵四边形的邻边之比为1：2，
∴或，
即或，
解得：，，，，
∴a的值为－或或或．
【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．
12．（2021·山东威海·统考二模）【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
（1）若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是 ；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为 ，c与q的数量关系为 ．
【综合应用】
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长；
【答案】（1）3，；（2），；（3）
【分析】（1）根据题目中的新定义可知“友好抛物线”关于坐标原点对称，根据关于坐标原点对称的抛物线的特征即可得出答案；
（2）根据互为友好抛物线”的图像关于坐标原点对称即可得出答案；
（3）由（2）的规律易得的解析式，由、的解析式先求出E、F点的坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形AFDE为菱形时，EF⊥AD，直线AD经过原点O，则可求得AD解析式，设点A（x1,2x1），点B（x2,2x2），进而根据根与系数的关系以及两点间距离公式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知“友好抛物线”的图像关于坐标原点对称，
∴和的顶点坐标关于原点对称，
又∵的顶点为（-3,1），
∴的顶点为（3,-1），
∴h=3，k=-1；
（2）∵和图像关于坐标原点对称，
抛物线的对称轴为：，
关于原点对称可得抛物线的对称轴为：，
又∵，
∴，
∵a=-m，
∴，
∵抛物线经过定点（0，c），
（0，c）关于原点的对称点为（0，-c），
抛物线经过定点（0，q），
∴-c=q，即；
（3）由（2）结论可得： ，
∴点，点，
设直线EF的解析式为，
将点E代入可得直线EF的解析式为.
∵四边形AFDE为菱形时，，
所以直线AD的解析式为，
由题意可设点A（x1,2x1），点B（x2,2x2），
时，x1+x2=6，x1x2=3，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及两点间距离公式是解题的关键．
13．（2022春·九年级单元测试）抛物线：与直线：交于、两点，且．
(1)求和的值（用含的代数式表示）；
(2)当时，抛物线与轴的另一个交点为．
求的面积；
当时，则的取值范围是______．
(3)抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高．
(4)在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数______；若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：______．
【答案】(1)，
(2)①10；②
(3)，当时，此时点达到最高
(4)；
【分析】将点分别代入抛物线和直线解析可得出结论；
由可得出，令，可得出的值，进而可得出点的坐标，联立抛物线和直线的解析式，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论；
根据二次函数的性质可得出当时，抛物线的增减性，进而可得出的取值范围；
将抛物线的解析式化为顶点式，可得出的值，进而可得出与的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论；
求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“美点”的个数；根据题意若这些美点平均分布在直线的两侧，则直线在点和之间，由此求出的值，进而得出结论．
【详解】（1）解：将点代入直线：，
，
；
将点代入抛物线：，
，
；
综上，，；
（2）当时，，
抛物线的解析式为：．
令，则或，
，
令，解得或，
．
．
当时，函数随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：．
故答案为：．
（3）抛物线：，
抛物线的顶点为，
，
，
当时，的最大值为，此时点达到最高．
综上，，当时，此时点达到最高．
（4）当时，
抛物线：，
直线：，
由得，，，
抛物线与直线的交点是和，
当时，
在和上的边界上，当横坐标是整数时，纵坐标也是整数，
“美点”共有：个；
当过点时，直线下方有个，直线上方有个，
此时，解得；
当过点时，直线下方有个，上方有个，
此时，解得；
若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：．
故答案为：；．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，新定义“美点”，二次函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：
(1)如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
(3)如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
【答案】(1)△POD为一中美三角，理由见解析
(2)P（﹣2，2）
(3)m＝时，S△PBQ有最大值为，此时Q（，）．
【分析】（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，证明可得OD＝OP，从而△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，-2m-2），AP2=（m+2）2+（-2m-2）2=5m2+12m+8，BP2=m2+（-2m-2-2）2=5m2+16m+16，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，5m2+12m+8=5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16=8，②若AP、AB为腰，5m2+12m+8=8且5m2+12m+8+8=5m2+16m+16，③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16=8且5m2+16m+16+8=5m2+12m+8，分别解方程即可得答案；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD=
BC=，P（t，3t+3），可列（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2得P（﹣，），从而可得直线BP为y=-x+1，由Q（m，-m2+2m+3），M（m，-
m+1），有QM=-m2+m+2，故S△PBQ=﹣（m﹣）2+，即可得m= 时，S△PBQ有最大值为，Q（，）．
【详解】（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：
过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，﹣2m﹣2），
∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：
0
①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM•（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数及二次函数图象上点坐标特征、四点共圆、三角形面积等知识，综合性强，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积．
15．（2021春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考期末）在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标相等的点（a，a）叫做“至善点”，显然，这样的“至善点”有无数个，两个“至善点”（x1，x1），（x2，x2）之间的距离d＝，叫做“至美距离”．
（1）求函数y＝x2﹣2x＋2的图象的“至善点”，并求出“至美距离”；
（2）求函数y＝x2＋mx﹣m上两个“至善点”之间的“至美距离”的最小值；
（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“至善点”A（x1，x1）、B（x2，x2），且满足﹣2≤x1≤2，且 A、B两点之间的“至美距离”为2，求代数式b2﹣2b＋5的取值范围．
【答案】（1）（1，1），（2，2）；；（2）2；（3）b2﹣2b＋5≥．
【分析】（1）令x＝x2﹣2x＋2求解即可；
（2）由题意可得x＝x2＋mx﹣m即x2＋（m-1）x﹣m=0，然后由根与系数的关系x1＋x2＝2（1﹣m），x1•x2＝﹣2m；然后再列出“至美距离”的解析式并求最值即可；
（3）由题意可得x＝ax2＋bx＋1即ax2＋（b-1）x＋1=0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1•x2＝，再由d＝2，则|x1﹣x2|＝2且满足﹣2≤x1≤确定x2的取值范围，=2求得a，进而完成解答．
【详解】解：（1）由题意可得x＝x2﹣2x＋2，
∴x2﹣3x＋2＝0，
∴x＝2或x＝1，
∴函数的“至善点”是（1，1），（2，2），
∴d＝；
（2）∵数y＝x2＋mx﹣m上两个“至善点”，
∴x＝x2＋mx﹣m，
∴x2＋（m﹣1）x﹣m＝0，
∴x1＋x2＝2（1﹣m），x1•x2＝﹣2m，
∴d＝＝|x1﹣|＝
＝2
∴d的最小值为2；
（3）∵y＝ax2＋bx＋1有两个不同的“至善点”，
∴x＝ax2＋bx＋1，
∴ax2＋（b﹣1）x＋1＝0，
∴x1＋x2＝，x1•x2＝ ，
∵“至美距离”为2，
∴|x1﹣x2|＝2，
∵﹣2≤x1≤2，
当﹣2≤x1≤0时，﹣4≤x2≤2，
当0≤x1≤2时，﹣2≤x2≤4，
∵对称轴为x＝，
∴﹣3≤≤3，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴2＝＝，
∴（1﹣b）2＝4a＋4a2，，
∵0≤（1﹣b）2≤36a2，
∴4a＋4a2≤36a2，
∴a≥ ，
∵b2﹣2b＋5＝（1﹣b）2＋4＝4a＋4a2＋4＝4＋3，
∴b2﹣2b＋5≥．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，理解新定义并将定义与所学知识联系起来成为解答本题是关键．
16．（2022·北京西城·九年级期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：
过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．
例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．
（1）已知：，，点，
① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________；
② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．
（2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．
【答案】（1）①， ；②m≥-1且m≠0；（2）或
【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断
②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，，结合图像得，，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可．
【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以， 是覆盖的特征点
②设点为的覆盖的特征点．依题意得：，
当时，结合函数图像可知，在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，故符合题意．
当时，如图，点为的覆盖的特征点．
又∵点在一次函数的图像上，
又∵点在一次函数的图像上，
当直线过点时，即：
解得：．
∴结合函数图像可知．
综上所述：．
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，
当时，代入抛物线得
，
解得：，
结合图像得，即存在覆盖特征点，
当时，此时y=4是一直线，不存在符合条件点，
当时，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点，
综合得的范围是或．
【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．
17．（2022·江苏盐城·三模）我们规定：关于x的反比例函数称为一次函数的“次生函数”，关于x的二次函数称为一次函数的“再生函数”．
(1)按此规定：一次函数的“次生函数”为：___________，“再生函数”为：___________；
(2)若关于x的一次函数的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
(3)若一次函数与其“次生函数”交于点、两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点，求的正切值；
②若点E在直线上，且在x轴的下方，当时，求点E的坐标．
【答案】(1) ，；
(2)
(3)①②
【分析】（1）根据“次生函数”， “再生函数”的定义，进行计算求解即可；
（2）先求出一次函数的“再生函数”，再根据顶点在轴上，说明“再生函数”
与轴只有一个交点，利用，求出，将解析式转化为顶点式，即可得到顶点坐标．
（3）①根据一次函数与其“次生函数”交于点、两点，求出的值，然后求出一次函数的“再生函数”，求出点的坐标，利用勾股定理逆定理得到，利用，即可得解；②过点作于，交的延长线于，过点作轴，过点作轴，过点作于，证明，得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．
【详解】（1）一次函数中，，
∴一次函数的“次生函数”为：，
“再生函数”为：，
故答案为： ，；
（2）解：一次函数的“再生函数”为：，
∵顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为；
（3）①一次函数与其“次生函数”交于点、，
∴ ，解得： ，
∴其“再生函数”为：，
当时，，
解得︰，
∴，
如图1，
当时，，
∴，
∵，
，，，
∴，
∴，
∴ ；
②如图2，过点作于，交的延长线于，过点作轴，过点作轴，过点作于，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
∴，解得： ，
∴的解析式： ，
∵点在直线上，
∴点的横坐标为1，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查函数的综合应用．理解并掌握“次生函数”，“再生函数”的定义，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．同时考查了一次函数的性质，二次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，属于中考压轴题．
18．（2021·湖北武汉·九年级期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 ；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)①a；②或
【分析】（1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求 a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”为；
故答案为：，，．
（2）①当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
②抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当时，
∵L开口向上，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当时，，当时，，
解得：；
（ii）当时，
∵L开口向下，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当时，，当时，，
解得：，
综上所述：或．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
19．（2021·河北·统考中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点．
（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；
（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；
（3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？
【注：（2）中不必写的取值范围】
【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）．
【分析】（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点的坐标可以确定轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；
（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点；
（3）抓住二次函数图象不变，是在左右平移，要求点横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．
【详解】解：（1）当，，
解得：，
在左侧，，
关于对称，
轴与重合，如下图：
由题意在坐标轴上标出相关信息，
当时，，
解得：，
，
∴点会落在的台阶上，坐标为，
（2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：，
由（1）知，抛物线过，将代入，
，
解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过），
抛物线:，
关于，且，
其对称轴与台阶有交点．
（3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大；
当，，
解得：（取舍），
故点的横坐标最大值为：，
当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小；
当，，
解得：（舍去），
故点的横坐标最小值为：，
则点横坐标的最大值比最小值大：，
故答案是：．
【点睛】本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式．
20．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
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