2013年河北省中考数学试卷

2013年河北省中考数 学 试 卷

一、选择题（1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题3分，共42分）

  1． 气温由-1℃上升2℃后是

 A．－1℃ B．1℃         C．2℃      D．3℃

2. 截至2013年3月底，某市人口总数已达到4 230 000人.将4 230 000用科学记数法表示为

 A．0.423×107      B．4.23×106    C．42.3×105     D．423×104

3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

 4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是

 A．a(x－y)＝ax－ay  B．x2+2x+1＝x(x+2)+1   C．(x+1)(x+3)＝x2+4x+3   D．x3－x＝x(x+1)(x－1)

5．若x＝1，则＝

 A．3         B．－3            C．5         D．－5

6．下列运算中，正确的是

 Ａ．＝±3      Ｂ．＝2      Ｃ．(－2)0＝0     D．2－1＝

7．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是

 A．＝       B．＝        C．＝         D．＝

8．如图1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为

 A．40海里 B．60海里       C．70海里         D．80海里

9．如图2，淇淇和嘉嘉做数学游戏：

假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y =

 A．2         B．3 C．6      D．x+3

10．反比例函数y＝的图象如图3所示，以下结论： ① 常数m ＜－1；② 在每个象限内，y随x的增大而增大； ③ 若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④ 若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上. 其中正确的是

    A．①②          B．②③          C．③④         D．①④

11．如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =

 A．3              B．4 C．5         D．6

12．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：

对于两人的作业，下列说法正确的是

A．两人都对       B．两人都不对       C．甲对，乙不对          D．甲不对，乙对

13．一个正方形和两个等边三角形的位置如图6所示，若∠3 = 50°，则∠1+∠2 =  

 A．90°          B．100° C．130°       D．180°

14．如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°，CD = 23.则S阴影=

 A．Π            B．2π          C．          D．π

15．如图8-1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B = 30°，∠C = 100°，如图8-2.

则下列说法正确的是

 A．点M在AB上 

B．点M在BC的中点处

 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远     

D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远

16．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

17．如图10，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是________．

18．若x+y＝1，且，则x≠0，则(x+) ÷的值为_____________．

19．如图11，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =        °．

20．如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……

如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．

三、解答题（本大题共6个小题，共66分）

21．（9分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)+1，等式右边是通常的加法、

减法及乘法运算，比如：

 2⊕5＝2(2－5)+1＝2(－3)+1 ＝－6+1＝－5

（1）求（－2）⊕3的值

（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图13所示的数轴上表示出来.

22．（10分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图14-1）和条形图（如图14-2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．    

回答下列问题：（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：

① 小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？

② 请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．

23．（10分）如图15，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.

（1）当t＝3时，求l的解析式；

（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；

（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.

24．（11分）如图16，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N.

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.

求证：AP = BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；

（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.

25．（12分）

某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．

（1）用含x和n的式子表示Q；

（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；

（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；

（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）

同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－，）

26．（14分）一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）．探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；

（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）

（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)

拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.

2013年河北省中考数学试卷答案

一、B2. B3． C4．5． A6． D7． A8． D9． B10． C11． B12． A13． B14． D15． C16A

二、17． 18． 119． 9520． 2

三、21． 解：（1）=10+1 =11

（2）∵<13　　∴

数轴表示如图1所示

22．解：（1）D有错

理由：=23

（2）众数为5

中位数为5

（3）①第二步

     ②=5.3

估计这260名学生共植树：5.3260=1378（棵）

23． 解：（1）直线交y轴于点P（0，b），

由题意，得b>0，t≥0，

b=1+t

当t=3时，b=4

∴

（2）当直线过M（3,2）时

解得b=5

5=1+t

∴t=4

当直线过N（4,4）时

解得 b=8

8=1+t

∴t=7

∴4<t<7

(3)t=1时，落在y轴上；

t=2时，落在x轴上；

24． 解：（1）证明：如图2，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80º+∠BOP.

∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80º+∠BOP

∴∠AOP=∠BOP’··························2分

又∵OA=OB，OP=OP’

∴△AOP≌△BOP’·························4分

∴AP=BP’·······························5分

（2）解：连接OT，过T作TH⊥OA于点H

∵AT与相切，∴∠ATO=90º·································6分

∴==8··················································7分

∵=,即=

∴TH=，即为所求的距离····································9分

（3）10º，170º···············································11分

25． 解：（1）设，∴

  由表中数据，得，解得

∴························································4分

（2）由题意，得

∴n=2 ······················································6分

（3）当n=3时，

由可知，要使Q最大，=90······································9分

（4）由题意，得

·························································10分

即，解得，或=0（舍去）

∴m=50···················································12分

26． 解：探究 （1）CQ∥BE    2分

              （2）（dm3）··········································4分

              （3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=

∴=∠BCQ=37º·································6分

拓展 当容器向左旋转时，如图3,0º≤≤37º············7分

 ∵液体体积不变，∴

∴············································9分

当容器向右旋转时，如图4，

同理得，····································10分

当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B’重合时，如图5.

由BB’=4，且，得=3

∴由tan∠=，得∠=37º，∴=∠=53º

此时37º≤≤53º····························12分

【注：本问的范围中，“≤”为“<”不影响得分】

延伸 当=60º时，如图6所示，设FN∥EB，∥EB

过点G作GH⊥于点H

在Rt△中，GH=MB=2，∠=30º，∴=

∴MG=BH= <MN

此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形为底面的直棱柱

∵△NFM += =

∴= = >4（dm3）

∴溢出液体可以达到4dm3.······································14分