2023-2024学年广东省惠州市惠城区惠台学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州市惠城区惠台学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列不等式中不一定成立的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3.  若分式中的、的值同时扩大到原来的倍，则分式的值(    )

A. 不变 B. 是原来的倍 C. 是原来的倍 D. 是原来的倍

4.  已知一次函数，那么下列结论正确的是(    )

A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点 D. 当时，

5.  小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是(    )

A. 样本容量是 B. 样本的平均数是 C. 样本的众数是 D. 样本的中位数是

7.  若能用完全平方公式因式分解，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  关于的不等式组恰好有个整数解，则满足(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在▱中，，是的中点，作，垂足在线段上连接、，则下列结论中一定成立的是(    )
；；；．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解是______．

13.  如图，已知长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为          ．
 

14.  若关于的方程无解，则______．

15.  如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接若，，，则的最小值是          ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：；
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，已知中，，
用直尺和圆规在边上找一点，使得点到点、点的距离相等保留作图痕迹，不要求写作法
若，求证：．

19.  本小题分
某超市计划购进甲，乙两种商品进行销售经了解，甲种商品的进价比乙种商品的进价高，超市用元购进甲种商品比用元购进乙种商品的重量少千克，已知超市对甲，乙两种商品的售价分别为元千克和元千克．
求甲，乙两种商品的进价分别是多少？
若超市购进这两种商品共千克，其中甲种商品的重量不高于乙种商品重量的倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

20.  本小题分
如图，直线与轴、轴分别相交于直、与直线相交于点．
求点坐标；
如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，求点坐标；
在直线上是否存在点，使的面积等于？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做非凡三角形例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是非凡三角形．
若是非凡三角形，且，，则 ______ ；
如图，在平行四边形中，于点，，且是非凡三角形，求的值．

22.  本小题分
【方法回顾】连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下：如图，、分别是、中点，延长到，使，连接；
证明≌，再证四边形是平行四边形，从而得到线段与的位置关系和数量关系分别为______、______．
【初步运用】如图，正方形中，为边中点，、分别在边、上，且，，，求长．
【拓展延伸】如图，四边形中，，，为中点，、分别为、边上的点，若，，，求长．

 

23.  本小题分
已知，如图，在▱中，，，点为上的一动点，连接，过点作于点，以为腰作等腰直角，，连接．

求证：四边形为正方形；
如图，当，，三点共线时，求的值；
求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度，得到点，
故选：．
根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．
本题考查坐标平移，记住坐标平移的规律是解决问题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、当时，则不成立，故本选项符合题意．
C、在不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．
D、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】 

【解析】解：原式；
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

4.【答案】 

【解析】解：、由于一次函数的，所以的值随的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数的，，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将代入中得，等式成立，所以在上，故该选项符合题意；
D、一次函数的，所以的值随的值增大而减小，所以当时，，故该选项不符合题意．
故选：．
根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：如图，图中，连接．

图中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
如图，图中，连接在图中，证是等边三角形，得出在图中，由勾股定理求出即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．

6.【答案】 

【解析】解：根据方差算式可得，这组数据有，，，共个，
因此样本容量为，样本众数为，
中位数是，
平均数为：，
故B错误，符合题意．
故选：．
根据方差算式得出，样本中数据为，，，，再根据平均数计算公式求出平均数，得出众数和中位数即可．
本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，样本容量，掌握中位数和众数，平均数的计算方法是关键．

7.【答案】 

【解析】解：能用完全平方公式因式分解，
，
解得：或，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组恰好有个整数解，
不等式组的整数解为、、，
，解得，
故选：．
先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有个整数解，得出关于的不等式求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征．
将，，的坐标分别代入直线中求得的值，即可得到的取值范围．
【解答】
解：直线经过点时，将代入直线中，可得，解得；
直线经过点时：将代入直线中，可得，解得；
直线经过点时：将代入直线中，可得，解得．
故的取值范围是．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：是的中点，
，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，故此选项正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，

故错误；

设，则，
，
，
，
，
，故此选项正确．
故选：．
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出≌，得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

13.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了折叠的性质，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】
解：将此长方形折叠，使点与点重合，
，
．
，
根据勾股定理可知：．
解得：．
的面积为：
故答案为：．

14.【答案】或 

【解析】解：方程两边都乘得：，
，
，
当时，方程无解；
当时，，
关于的方程无解，
，
就或，
当时，，
解得：；
当时，，
此时无解；
或．
故答案为：或．
首先方程两边都乘，整理可得方程：，然后分析的情况；再利用关于的方程无解，可得，继而求得答案．
此题考查了分式方程的解的情况．注意分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．

15.【答案】 

【解析】【分析】
连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当、、三点共线时，最小，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理以及最短路径问题等．正确添加辅助线是解题的关键．
【解答】
解：连接、、，如图所示：

四边形是矩形，
，，
，
是线段的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，
的最小值是．
故答案为．

16.【答案】解：，
则，
或，
，；
原式
． 

【解析】利用因式分解法解出方程；
根据负整数指数幂和零指数幂、绝对值的性质、平方差公式计算即可．
本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、负整数指数幂和零指数幂、绝对值的性质是解题的关键．

17.【答案】解：


，
当时，． 

【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．

18.【答案】解：如图，点即为所求；

证明：，，
，
由知：
是的垂直平分线，
，
，
，
，
． 

【解析】作的垂直平分线即可找到点；
根据已知条件和线段垂直平分线的性质可得，再利用度角所对直角边等于斜边一半即可证明．
本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．

19.【答案】解：设乙种商品的进价为元，则甲种商品的进价为元，根据题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的根，
元，
答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元；
设购进乙商品千克，甲商品千克，总利润为元，根据题意得，
，解得，
，
，
随的增大而减小，
当时，．
千克，
综上，购进甲商品千克，乙商品千克时，才能获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设乙种商品的进价为元，则甲种商品的进价为元，根据“用元购进甲种商品比用元购进乙种商品的重量少千克”得到等量关系，列出分式方程，解方程即可．
设购进乙商品千克，甲商品千克，总利润为元，根据两种商品的进价和售价列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程解应用题和一次函数的实际应用，解题的关键是找出等量关系，列出方程和函数表达式．

20.【答案】解：联立方程组得：，
解得：，
点坐标是；
设点坐标是，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
解得，
点坐标是，
故答案为；
存在；
直线与轴、轴分别相交于直、．
，，
，，
点有两个位置：在线段上和的延长线上，
设点的坐标是，
当点在线段上：作轴于点，如图，则，

，
，即，
，
把代入，得，
的坐标是，
当点在的延长线上时，作轴于点，如图则，

，
，即，
，把代入，解得，
的坐标是，
综上所述存在满足条件的点，其坐标为或 

【解析】联立方程组，即可求得；
设点坐标是，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
分两种情况：当点在线段上：作轴于点，则，根据列出关于的方程解方程求得即可；当点在的延长线上时，作轴于点，则，根据列出关于的方程解方程求得即可．
本题是一次函数的综合题，考查了两直线交点的求法，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：，，
，
又是非凡三角形，
，或，或不存在舍去
或不符合题意舍去，
故答案为：；
四边形是平行四边形，
，
又，
垂直平分，
，
是非凡三角形，
当时，
则，
，
，
在中，，
；
当时，
则，
，
，
在中，，
；
当时，与情况相同；
的值为或．
根据非凡三角形定义及三角形三边关系求出即可；
根据四边形是平行四边形，得出，由是非凡三角形，分情况计算的值即可．
本题主要考查四边形的综合题，正确理解非凡三角形的定义是解题的关键．

22.【答案】   

【解析】解：，．
如图，在中，延长、分别是、的中点到点，使得，连接，

在和中，

≌，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
．

如图，延长、交于点，

为中点，
，且，
在和中，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
；

如图，过点作的平行线交的延长线于点，过作的垂线，垂足为，连接，

同可知≌，，
，，
，
，
，

，，
，
，
在中，，，，
．
．
根据材料提供的思路进行证明即可得出结论；
延长、交于点，可证得≌，结合条件可证明垂直平分，可得，可求得的长；
过点作的平行线交的延长线于点，过作的垂线，垂足为，连接，可证明≌，结合条件可得到为度的直角三角形，可求得的长，在中，可求得，则可求得的长．
本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等．正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键．

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
解：连接，．
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．

解：，
点在以的中点为圆心，以为半径的圆上运动．
，
的最小值．
 

【解析】先证是矩形，再证是正方形；
从形式看，联想到勾股定理，说明三角形是直角三角形即可；
，两点一定一动，由联想到隐圆．
此题以正方形为载体，考查了正方形的判断，三角形全等，隐圆及线段的最值，综合性强．