2023七年级数学 第一章 有理数重点难点突破之绝对值

知识点 绝对值的意义及其化简

1.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离。数的绝对值记作

2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

3.绝对值的性质：①，②或

4.绝对值其他的重要性质：

①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，

即且

②若，则或

③，（）

④

题型一、基本定义化简

例1 已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简

例2 已知有理数a ,b,c,在数轴上的位置如图所示，化简：.

例3 已知，那么

例4 已知，化简

题型二、绝对值零点分段化简

例5 阅读下列材料并解决相关问题：

我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：·

⑴当时，原式

⑵当时，原式

⑶当时，原式

综上讨论，原式

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

⑴分别求出和的零点值

⑵化简代数式

题型三、关于的探讨应用

例6 已知，且都不等于，求的所有可能值。

例7 已知是非零整数，且，求的值。

题型四、绝对值的几何意义的应用

的几何意义是数轴上表示的点与表示(    )的点之间的距离。

的几何意义是数轴上表示的点与表示(     )的点之间的距离。

例8 ①的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；

② 的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则=；

③的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若=1，则=.

④的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若=2，则=.

⑤当=-1时，则

例9 （1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为别为若则

(2) 不相等的有理数在数轴上的对应点分别为，如果，那么在数轴上的位置关系是（     ）

A、点 在点，之间                B、点在点，之间

C、点 在点，之间                D、以上三种情况均有可能

【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，个工厂，，…，分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？

例10 （1）利用绝对值得几何意义完成下题：

   已知利用绝对值的几何意义可得

   若利用绝对值的几何意义可得或-3.

   已知利用绝对值在数轴上的几何意义得.

（2）利用绝对值的几何意义求的最小值.

的最小值.                  

的最小值.

的最小值.

【课后练习】

1、实数在数轴上的对应点如图，化简

2、已知有理数在数轴上的位置如图所示，化简

3、⑴若有理数a、b满足|a+4|+|b-1|=0，则a+b=_______

⑵若|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a，则a+b=________.

⑶若m是有理数，则|m|-m一定是(   )  

A.零   B.非负数    C.  正数   D  负数

⑷如图，有理数在数轴上的位置如图所示，则在，，，，，中，负数共有（    ）

 A． 1个    B．2个    C．3个  D．4个

4、化简：⑴                       ⑵

⑶                          ⑷

⑸                       ⑹

(7)                   (8)

5、已知是非零有理数，求的值.

6、若，，求的值。

7、如果，则的值。

8、，，为非零有理数，且，则的值等于多少？

9、设，其中，求的最小值.

10、如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中、、、、、到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄正好是的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建立在什么位置？

11、如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站，使这5台机床到供应站的距离总和最小，供应站建在哪？最小值为多少？