七年级数学上（压轴系列） 第一章 有理数之数轴与动点问题

七年级数学上 第一章 有理数之数轴与动点问题

【重点难点】

理解数轴上的点和字母的对应关系，动点与数轴结合的变换问题。

【知识概要】

有理数的综合性压轴大题，主要涉及数轴、绝对值、两点间距离、中点、有理数运算、追及与相遇问题、列方程求解等知识点，知识概要如下：

1.两点间的距离:a-b（a＞b）或｜a-b｜；（记住前者，在能确定左右或大小关系时，我们可用前者列式计算，因为后者绝对值表示的距离形式也需要去绝对值化简）

2.中点公式:（A、B两点间的中点表示的数，特别注意要带符号计算）；

3.路程、速度和时间公式：S＝vt；

动点重合：对应点=对应点

两点相距：

相遇：       追击：

4.利用等量关系，列方程、求解；

5.注意相遇、追及问题的多个解、分情况讨论；

6.利用数形结合，在数轴上画图辅助解题。

【基础应用】

①数轴上一点P从数轴上表示－3的点A出发，向左移动3个单位长度到达B点，则B点表示的数是    ；再向右移动9个单位长度到达点C，则点C表示的数是   ；BC两点的距离为       。

②在数轴上到－5的点相距9个单位长度的点所表示的数为           。

③动点P从数轴上表示－3的点A出发，沿数轴以每秒1个单位向右移动：

④动点P从数轴上表示6的点B出发，沿数轴以每秒2个单位向左移动：

小结：点在数轴上的运动公式为;方向向左时取“    ”，方向向右时取“    ”；表示                              。

【例题讲解】

例1.如图，在数轴上，点A表示点数9，在A左边跟它相距4个单位的点B表示点数         ；若点C在点B的左边，并且与点B相距11个单位长度，则点C表示数            ；

例2.如图，在数轴上，点A表示点数a，B在A左边跟并且与A相距t个单位，则点B表示点数         ；若点C在点A的左边，并且与点A相距4t个单位长度，则点C表示数          (用含有t的式子表示）

例3.如图，在数轴上，点A表示10，点B是OA的中点，那么点B表示的是         

在数轴上，点C表示-12，点D是OC的中点，那么点D表示的是         

例4.如图，在数轴上，点A表示12，点B表示4，C是AB的中点，那么点C表示的是          ；若点E表示-10，点D是BE的中点，那么点D表示的是         

例5.如图，已知数轴上的三点A、B、C，点A表示的数为5，点B表示的数为－3，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）点C在数轴上表示的数是______；

（2）当t=______秒时，点P到达点B处；

（3）用含字母t的代数式表示线段AP=______；点P在数轴上表示的数是______；

（4）当P，C之间的距离为1个单位长度时，求t的值．

练习1.已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式(a+9)2+|7－b|=0，p为数轴上一点，对应的点数为x．

（1）a=______，b=______，线段AB=______．

（2）数轴上是否存在点p，使PA=3PB？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若M，N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长．

例6.数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，且满足｜a-12｜＋｜b＋6｜＝0，O为原点。

（1）求a、b的值。

（2）数轴上A以3个单位／秒，B以1个单位／秒的速度同时出发向左运动，在点C处A追上了B，求C点对应的数c。

（3）若动点P以1个单位／秒的速度从B点出发向左运动，M为线段OP的中点，N为线段AP的中点，求证：MN为定值。

练习2.已知a是最大的负整数，b、c满足（b－3）2+|c+4|=0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．

（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______；

（2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到点B？

（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于13，请写出所有点M对应的数，并写出求解过程．

例7.如图，在数轴上A点表示的数a，B点表示的数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足

（1）a=     ，b=     ，c=   ；

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒.请问在运动过程中，3AC－4AB的值是否随着时间t的变化而变化？若变化请说明理由，若不变化，求出其值.

练习3.如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动4cm到达B点，然后向右移动10cm到达C点．

（1）用1个单位长度表示1cm，请你在题中所给的数轴上表示层A、B、C三点的位置；

（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝     cm；

（3）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点以每秒1cm、5cm的速度向右移动，设移动时间为t（t＞0）秒，试探究CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．

练习4.在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示点A和点B之间的距离，C是AB的中点，并且a、b满足｜a＋3｜＋｜b＋3a｜＝0。

（1）求点C表示的数

（2）点P从A点以3个单位／秒速度向右移动，点Q同时从B点以2个单位／秒速度向左运动，如果AP＋BQ＝2PQ，求时间t的值。

（3）若点P从点A以3个单位／秒速度向右运动，点M为AP的中点，在P点到达点B之前：

①的值不变，②2BM-BP的值不变；请你判断结论是否正确，若正确求出结果，若不正确，请说明理由。

课后练习

1．在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点到点的距离为4，点到点的距离为9，如图所示，设点、、所对应的数的和是．

(1)若以为原点，则___________；若以为原点，则___________．

(2)若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为6，求的值．

(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点移动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，秒后，两点间距离是2，则___________秒（直接写出答案）．

2．在数轴上有A，B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．如图，点A表示的数为．

(1)在图中画出当时，点A关于点B的“联动点”P；

(2)点A从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．

①点B表示的数为___________（用含t的式子表示）；

②是否存在t，使得此时点A关于点B的“联动点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

3．如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点．

(1)若点P在线段上运动，当t为多少时，？

(2)若点P在射线上运动，N为线段上的一点．

①当N为的中点时，求线段的长度；

②当时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．

4．已知，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b；

(1)求a、b的值，并在数轴上标出点A和点B；

(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P与点B的距离是3个单位长度；

(3)在（2）的条件下，动点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发向数轴正方向运动，求几秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度．

5．点A、B在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点．

(1)当P、B两点之间的距离为1时，则点P表示的数为__________；

(2)当点P将A、B两点之间的距离三等分时，则点P表示的数为__________；

(3)现在点A以每秒2个单位长度、点B以每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒4个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？

6．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a，b，c，且，点O为原点．

(1)请写出____________；____________；____________；

(2)以AB为长，BO为宽，作出长方形EFGH，其中G与A重合，H与B重合（如图所示），将这个长方形总绕着右边的端点在数轴上不断滚动（无滑动），求出E点第3次落在数轴上对应的数字；

(3)将（2）中的长方形EFGH，G与A重合，H与B重合时开始计时，该长方形以2个单位长度/秒向右移动，当H点与C点重合时停止运动，整个过程中速度保持不变．数轴上一动点P与长方形同时开始运动，从C点出发，沿数轴向左移动，速度为3个单位长度/秒，设它们的运动时间为t，求t为何值时，点P与点H之间的距离为5（即）．

7．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题:

(1)如果点A表示数-4，将点A向右移动3个单位长度，那么终点B表示的数是            ，A、B两点间的距离是________；

(2)如果点A表示数-2，将A点向右移动188个单位长度，再向左移动266个单位长度，那么终点B表示的数是_________，A，B两点间的距离是________．

(3)一般地，如果A点表示的数为a，将A点向右移动b个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么终点B表示的数是_________，A，B两点间的距离是________．

(4)在（1）的条件下，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t妙（t>0），当t为何值时，P、A两点之间的距离为9个单位长度？

8．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足．

(1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．

(2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？

(3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？

9．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝　，PC＝　；

(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止．

①求当t为何值时Q点追上P点？

②当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离．

10．已知数轴上两点、对应的数分别为、5，点为数轴上一动点，其对应的数为．

(1)若点到点、点的距离相等，直接写出点对应的数是 ___________；

(2)若点到点、点的距离之和为8．请直接写出的值为 ___________；

(3)现在点、点分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点与点之间的距离为5个单位长度时，求点所对应的数是多少？

11．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒．

(1)点C表示的数是___________．

(2)求当t等于多少秒时，点P到达点A处？

(3)t=3时，点P表示的数是___________．

(4)求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．

12．在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．

(1)点B表示的数是_______．

(2)动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？

(3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？

参考答案：

1．(1)17；5    (2)的值为23或    (3)6或2

2． (2)①，②不存在，

3．(1)8；(2)①12．②当时，P是的中点；当时，N是的中点．

4．(1)，， (2)3秒或9秒  (3)1秒或3秒

5．(1)3或5   (2)0或2    (3)点P所对应的数是或．

6．(1)，，10    (2)E点第3次落在数轴上对应的数是96

(3)当或时，点P与点H之间的距离为5

7．(1)-1，3；  (2)-80，78；  (3)，；  (4)或

8．(1)，，A与B之间的距离为12个单位长度    (2)6秒

(3)2秒或4秒

9．(1)t；；   (2)①24；②24．

10．(1)1.5；   (2)或5.5；   (3)或．

11．(1)1   (2)5秒   (3)2   (4)1.5或3.5秒

12．(1)

(2)经过秒或4秒点P与点A的距离是2个单位长度

(3)经过2秒或秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍