陕西省宝鸡市陇县2023届九年级下学期中考一模数学试卷（含解析）

2023年陕西省宝鸡市陇县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中不是有理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各字母既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若单项式与的和仍为单项式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示，在中，已知，，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图所示，在平面直角坐标系中有线段，其中，两点的坐标分别为，，若一次函数的图象与线段有交点，则系数的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示，内接于，点为的内心，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的有(    )
；；；若有两个实数根，则．

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  已知，，则 ______ ．

10.  如图所示，正五边形与正方形的摆放位置如图所示，连接，则的度数等于______ ．

11.  中国经济高质量发展，年我国国内生产总值约为亿元，用科学记数法表示年我国国内生产总值约为______ 元

12.  如图所示，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴负半轴上，连接交轴于点，已知，若的面积为，则的值为______ ．

13.  如图所示，在中，，为延长线上一动点，以为边在上方作正方形，连接，，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：，并在数轴上画出不等式组的解集．

16.  本小题分
解分式方程：．

17.  本小题分
如图，已知在中有交于点，请用尺规作图法在射线上确定一点，使得为等腰三角形．
 

18.  本小题分
如图所示，与均为等腰直角三角形，连接，求证：．
 

19.  本小题分
如图所示，矩形和矩形位似，已知矩形周长为，，．
画出两个矩形的位似中心点；
求矩形的面积．

20.  本小题分
年的五一劳动节放五天调休假，分别是四月的号、号，以及五月的号、号、号，班主任王老师除了给全班同学布置了适量的书面作业外，还组织同学们利用假期，自行前往市科技馆参观学习．
李明同学计划利用一天的假期完成老师布置的书面作业，请问他选择月日完成作业的概率为______ ；
五天小长假期间，李明和赵雷都计划前往市科技馆参观，请你用列表或画树状图法求一下两人选择同一天参观的概率．

21.  本小题分
为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度如图，某一时刻树在太阳光照下，一部分影子落在了墙上，另一部分树影落在了地面上，张老师在树另一侧的地面点放置一平面镜，在平面镜左侧点处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜点处现测得木杆高米，秦飞的眼睛距地面为米，长为米，树影为米，为米，求树的高平面镜大小忽略不计

22.  本小题分
为了方便同学们练习排球，学校将操场的一处靠墙空地进行了改造，计划用米长的网布围出一个如图所示的矩形场地，其中边为墙壁，剩余三条边为网布所围设边为米，边为米．
写出与的函数表达式；
已知墙长米，且距离墙米处有障碍物，排球练习场地必须安排在墙壁与障碍物之间的空地处，则边长度的最小值为多少？

23.  本小题分
新学期伊始，某中学食堂为全校师生提供了，，，四种午饭套餐，为了解学生们对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取名学生进行“你最喜欢哪一种套餐必选且只选一种”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图．

请补全条形统计图，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为______ ；
此次抽样调查的中位数落在______ 组，众数落在______ 组；
依据本次调查的结果，估计全校名学生中最喜欢套餐的人数．

24.  本小题分
如图所示，内接于，为直径，交延长线于点，为上一点，连接，，已知．
求证：为切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价元，定价为元，一天可以销售套为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施，若一套书每降价元，平均每天可多售出套设每套书降价元时，书店一天可获利润元．
求出与的函数关系式；
当每套书降价多少元时，书店可获得最大利润？最大利润为多少？

26.  本小题分
问题提出：
如图所示，已知为上一点，为外一点，若，的半径为，则的最小值为______ ；
问题探究：
如图所示，为等边三角形内一点，若，求的最小值；
问题解决：
由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图所示，一条半圆形公路连接着，两座城市物流公司沿半圆形公路在，两地之间进行物流运送点为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到，两地为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站，要求物流中转站到，两城市及半圆形公路上点的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：是小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
根据有理数分为整数和分数进行判断即可．
本题考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
 

2.【答案】 

解析：解：“”是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.“”不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.“”既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.“”不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

解析：解：单项式与的和仍是单项式，
它们是同类项，
，，
则，
故选：．
由题意可得两个单项式为同类项从而求得，的值，然后代入中计算即可．
本题考查同类项及合并同类项的定义，根据合并同类项的定义得出两单项式为同类项是解题的关键．
 

4.【答案】 

解析：解：设交于，

，，，





．
故选：．
根据三角形的面积公式求出四边形的面积，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，能求出对角线互相垂直的四边形的面积是解此题的关键．
 

5.【答案】 

解析：解：如图，过点作于，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，，
，
由得，
，
，
故选：．
过点作于，由求出，再利用勾股定理求出，由求出，则，从而求出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．
 

6.【答案】 

解析：解：把代入得，解得；
把代入得，解得，
所以当一次函数的图象与线段有交点时，．
故选：．
把点和点坐标分别代入计算出对应的的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定的范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数，若，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

7.【答案】 

解析：解：在中，，
，
，
为的内心，
、为、的平分线，
，，
，
，
在中，．
故选：．
根据三角形内角和定理得，由为内心，得、为、的平分线，则有，根据三角形外角的性质得，再根据三角形内角和定理即可解答．
本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，三角形内角和定理，外角的性质，三角形内心的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

解析：解：图象开口向下，与轴交点在轴正半轴，
，，
对称轴，
，
，
错误；
抛物线对称轴为直线，且过点，
二次函数的图象过点，
，
正确；
，
，
正确；
有两个实数根，
函数与直线有两个或一个交点，
顶点为，
，
错误．
故选：．
根据函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标以及抛物线与坐标轴的交点逐项分析即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系以及二次函数的性质，关键是对二次函数对称轴、交点坐标、开口方向等知识的运用．
 

9.【答案】 

解析：解：，，
，，


．
故答案为．
先计算出，，在利用平方差公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
 

10.【答案】 

解析：解：在正五边形中，，
正方形中，
，
，
，
故答案为：．
首先利用多边形内角和公式及正多边形性质求得的度数，再结合正方形性质易得的度数，最后根据等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查正多边形的性质，利用多边形内角和公式及正多边形性质求得的度数是解题的关键．
 

11.【答案】 

解析：解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

解析：解：，，
∽，而，
，
设，，则，，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的性质得出，设，，进而表示，，，由三角形的面积公式得出，再由反比例函数系数的几何意义得出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
 

13.【答案】 

解析：解：设正方形的边长位，则，
，，




，
故答案为：．
设正方形的边长位，由可得答案．
本题考查正方形的性质，解题的关键是把所求图形面积转化为．
 

14.【答案】解：

． 

解析：先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
 

15.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
则不等式组的解集为；
将解集表示在数轴上表示如下：
 

解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：去分母，得
，
去括号，得，
整理，得
经检验，为原方程的解．
故原方程的解为． 

解析：根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键．
 

17.【答案】解：如图所示，点即为所求作．


 

解析：作的平分线，与的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握平行的性质及角平分线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】证明：与均为等腰直角三角形，
，，．
．
即，
在和中，
，
≌．
． 

解析：由等腰直角三角形的性质得出，，证出，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，点即为所求作．
矩形周长为，且，
，
又矩形与矩形位似，
，
：，
，
． 

解析：连接，交于点，于是得到两个矩形的位似中心点；
根据矩形的周长公式得到，根据相似形的性质即可得到结论．
本题考查了作图位似变换，矩形的性质，相似形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
 

20.【答案】 

解析：解：李明同学计划利用一天的假期完成老师布置的书面作业，他选择月日完成作业的概率为，
故答案为：；
列表如下：

由表格可知一共有秒等可能性的结果数，其中两人选择同一天参观的结果数有种，
两人选择同一天参观的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图所示，过点做，再令木杆顶点为点，秦飞的眼睛为点，

由平面镜反射定律可知．
∽，
．
设，则，．
．，
解得．
又由太阳光线同时刻平行得∽，
，即，
，
，
米，
答：树的高为米． 

解析：过点做，再令木杆顶点为点，秦飞的眼睛为点，根据相似三角形的判定与性质可得，设，则，再次由相似三角形的的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、平行投影，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，
四边形为矩形，
米，
，
．
由题意得，
．
，，
随的增大而减小，
当时，米，
答：边长度的最小值米． 

解析：由题意得，即，整理后即可得到结果．
由题意得，求出的取值范围，利用中与的函数关系式对取最小值即可．
本题考查了一次函数的实际应用，弄清题目中墙的长度以及障碍物对自变量变量的限制，正确求出自变量的取值范围是解题的关键．
 

23.【答案】     

解析：解：由题意知，选择套餐的人数为人，
选择套餐的人数为人，
，
补全条形统计图如下：

故答案为：；
中位数为第和第个的平均数，第和第个都在组，所以此次抽样调查的中位数落在组；组人数最多，所以众数落在组；
故答案为：，；
人，
答：估计全校名学生中最喜欢套餐的人数为人．
用被调查的总人数乘以对应的百分比求出其对应人数，再用被调查的总人数减去选择、、人数求出套餐人数，据此即可补全条形统计图，用乘以选择套餐人数所占百分比即可；
根据中位数和众数的定义即可得出答案；
用总人数乘以样本中选择套餐人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：为直径，
，
．
，
而，
，
，
即，
又经过半径的外端，
为切线．
解：由得，，
而，
，
在中，
，
，
由勾股定理得，
，
的长为． 

解析：首先由为直径得到，然后利用已知条件可以证明，从而解决问题；
首先利用已知条件可以求出，然后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了切线的判定和性质，同时也利用了圆周角定理、勾股定理及解直角三角形，有一定的综合性．
 

25.【答案】解：根据题意可得：，
与的函数关系式为；
，
且，
当时，取最大值，最大值为元，
答：当每套书降价元时，书店可获得最大利润，最大利润为元． 

解析：由总利润每套利润销售量可列出函数关系式；
根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

26.【答案】 

解析：解：如图，连接交于，则最小，

，，
．
故答案为：；
如图，将绕点顺时针旋转至，连接，，，

≌，
，，
为等边三角形，
，
，
由两点间线段最短得的最小值就是的长，
为等边三角形，
四边形为菱形且，，
，
，
的最小值为；
如图，连接，将绕点顺时针旋转至位置，连接、．

此时，
取的中点，连接并延长交半圆于点，
的长即为的最小值．
为等边三角角，，
，
，
的最小值为．
连接交于，则最小；
将绕点顺时针旋转至，连接，，，得到≌，，，由两点间线段最短得的最小值就是的长，在中求出即可；
连接，将绕点顺时针旋转至位置，连接、，此时，在等边三角形中求出，再求出即可
本题考查了辅助线构图的能力，等边三角形的性质、圆的性质的应用是解题关键．