十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题19概率统计多选、填空题（理科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题19概率统计多选、填空题（理科）（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了填空题，多选题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140488583" 题型一：计数原理与排列组合 PAGEREF _Tc140488583 \h 1
\l "_Tc140488584" 题型二：二项式定理 PAGEREF _Tc140488584 \h 3
\l "_Tc140488585" 题型三：简单的随机抽样 PAGEREF _Tc140488585 \h 11
\l "_Tc140488586" 题型四：用样本数字特征估计总体 PAGEREF _Tc140488586 \h 11
\l "_Tc140488587" 题型五：相关关系与回归分析 PAGEREF _Tc140488587 \h 15
\l "_Tc140488588" 题型六：独立性检验 PAGEREF _Tc140488588 \h 15
\l "_Tc140488589" 题型七：事件与概率 PAGEREF _Tc140488589 \h 15
\l "_Tc140488590" 题型八：随机变量的分布列 PAGEREF _Tc140488590 \h 22
题型一：计数原理与排列组合
一、填空题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第13题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
【答案】64
解析：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
(2)当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种．
故答案为：64．
2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第14题)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
解析：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
3．(2018年高考数学浙江卷·第16题)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个
没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【答案】1260
解析：解法1：分类讨论
四位数中有数字0的有种，无数字0的有种，
则共可以组成个没有重复数字的四位数．
解法2：正难则反
无限制四位数有种，其中数字0在首位的有种，
则共可以组成个没有重复数字的四位数．
4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
方法二，间接法：种．
5．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有 个(用数字作答)．
【答案】24
解：用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2相邻的偶数。可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
6．(2014高考数学北京理科·第13题)把5件不同产品摆成一排, 若产品A与产品B相邻, 且产品A与产品C不相邻, 则不同的摆法有 种．
【答案】36
解析： 先将A、B捆绑在一起当做一个元素，和D、E排列，再考虑A、B可以交换位置，这4个元素共有 种排法，最后插入C，由于C不能够和A相邻，有 种插法。故共有种方法
7．(2015高考数学广东理科·第12题)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。(用数字做答)
【答案】1560
解析：依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入1560．
8．(2017年高考数学天津理科·第14题)用数字组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个．(用数字作答)
【答案】
【解析】依题意按分类计数原理操作:(1)当没有一个数字是偶数时,从这五个数字中任取四个得无重复数字的四位数有个(或个);(2)当仅有一个数字是偶数时,先从中任取一个,再从中任取三个,然后进行全排列得到无重复数字的四位数有;故由分类计数原理得这样的四位数共有个．

9．(2017年高考数学上海(文理科)·第6题)若排列数,则________．
【答案】 3
【解析】,则．
10．(2015高考数学上海理科·第8题)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示)．
【答案】
解析：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4
所以有．
11．(2014高考数学浙江理科·第14题)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种(用数字作答)．
【答案】
解析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有种，共有种．故答案为：60．
12．(2017年高考数学浙江文理科·第16题)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)
【答案】660
【解析】(间接法)
应用乘法原理分2步完成:
第一步,8名学生中选4人(至少有1名女生)即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有种选法;
第二步分配职务,4人里选2人担任队长和副队长有种选法．
所以,共有种选法．
(直接法)
应用乘法原理分2步完成:
第一步,8名学生中选4人(至少有1名女生),其中1女3男有种选法和2女2男有种选法;
第二步分配职务,4人里选2人担任队长和副队长有种选法．
所以,共有 种选法．
【考点】计数原理,排列组合
题型二：二项式定理
一、填空题
1．(2023年天津卷·第11题)在的展开式中，项的系数为_________．
【答案】
解析：展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为．
故答案为：60．
2．(2021年高考浙江卷·第13题)已知多项式，则___________，___________
【答案】(1)． ; (2)． ．
解析:，
，
所以，
，
所以故答案为．
3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第14题)的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
解析：
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第12题)设，则a5=________；a1+a2 + a3=________．
【答案】(1)．80 (2)．122
解析：的通项为，令，则，；
5．(2022新高考全国I卷·第13题)展开式中的系数为________________(用数字作答)．
【答案】-28
解析：因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
6．(2021高考天津·第11题)在的展开式中，的系数是__________．
【答案】160
解析：的展开式的通项为，
令，解得， 所以的系数是．
故答案：160．
7．(2021高考北京·第11题)在的展开式中，常数项为__________．
【答案】
解析：的展开式的通项
令，解得， 故常数项为．
8．(2020天津高考·第11题)在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．
9．(2019·浙江·第13题)在二项式的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．
【答案】，
【解析】展开式的通项为，当时，可得二项式展开式的常数项是．若系数为有理数，则为偶数即可，故可取1,3,4,5,7,9，即共5项．
10．(2019·天津·理·第10题)的展开式中的常数项为 ．
【答案】28
解析：的展开式中的常数项为．
11．(2019·上海·第4题)已知二项式，则展开式中含项的系数为________.
【答案】40
【解析】
令，则，系数为.
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12．(2018年高考数学浙江卷·第14题)二项式的展开式的常数项是 ．
【答案】7
解析： ，令 ，得， ，故二项式的展开式的常数项是7．
13．(2018年高考数学上海·第3题)在的二项展开式中，项的系数为 ．
【答案】21
解析：由得， 所以项的系数为．
14．(2018年高考数学天津(理)·第10题)在的展开式中，的系数为 ．
【答案】
解析：展开式的通项，令，得，所以展开式中的系数为．
15．的二项展开式中的系数是 (用数字作答)．
【答案】35
解：的二项式展开式中项为，x项的系数是35．
16．(2014高考数学山东理科·第14题)若的展开式中项的系数为，则的最小值为 ．
【答案】
解析：的展开通项为，令，得，所以，，．
17．(2014高考数学课标2理科·第13题)的展开式中，的系数为15，则=________．(用数字填写答案)
【答案】
解析：故
18．(2014高考数学课标1理科·第13题)的展开式中的系数为________．(用数字填写答案)
【答案】 20
解析:展开式的通项为,
∴,
∴的展开式中的项为,故系数为20．
19．(2014高考数学大纲理科·第13题)的展开式中的系数为 ．
【答案】70
解析：根据二项展开式可得展开式的通项为
，
令，所以，所求的系数为．
20．(2014高考数学安徽理科·第13题)设，是大于的自然数，的展开式为．若点()的位置如图所示，则 ．
【答案】3
解析：根据点和可得，解之得．
21．(2015高考数学重庆理科·第12题)的展开式中的系数是________(用数字作答)．
【答案】
解析：二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为．
22．(2015高考数学新课标2理科·第15题)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．
【答案】
分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
23．(2015高考数学天津理科·第12题)在 的展开式中，的系数为 ．
【答案】
解析：展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为．
24．(2015高考数学四川理科·第11题)在的展开式中，含的项的系数是________(用数字填写答案)
【答案】．
解析：
，所以的系数为．
25．(2015高考数学上海理科·第11题) 在的展开式中，项的系数为 ．(结果用数值表示)
【答案】
解析：在中要得到项的系数，肯定不能含有项，
故只有，而对于，项的系数为．
26．(2015高考数学广东理科·第9题)在的展开式中，x的系数为 ．
【答案】6
解析：由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．
27．(2015高考数学福建理科·第11题) 的展开式中，的系数等于 ．(用数字作答)
【答案】
解析： 的展开式中项为，所以的系数等于．
28．(2015高考数学北京理科·第9题)在的展开式中，的系数为 ．(用数字作答)
【答案】40
解析：利用通项公式，，令，得出的系数为．
29．(2015高考数学安徽理科·第11题)的展开式中的系数是 ．(用数字填写答案)
【答案】
解析：由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是．
30．(2017年高考数学浙江文理科·第13题)已知多项式,则_____,_______．
【答案】
【解析】,所以,．
31．(2017年高考数学山东理科·第11题)已知的展开式中含有项的系数是,则__________．
【答案】
【解析】,令得:,解得．
32．(2016高考数学天津理科·第10题)的展开式中的系数为_____________．(用数字作答)
【答案】
解析：因为所以，所以展开式中的系数为
33．(2016高考数学上海理科·第8题)在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．
【答案】
解析：因为二项式所有项的二项系数之和为，所以，所以，二项式展开式的通项为，令，得，所以．
34．(2016高考数学山东理科·第12题)若的展开式中的系数是，则实数_______．
【答案】
【解析】因为
所以由，因此
35．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第14题)的展开式中，的系数是 ．(用数字填写答案)
【答案】10
【解析】设展开式的第项为，∴．
当时，，即．故答案为10．
36．(2016高考数学北京理科·第10题)在的展开式中，的系数为__________________．(用数字作答)
【答案】
解析：由二项式定理得含的项为．
二、多选题
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第12题)设正整数，其中，记．则( )
A．B．
C．D．
【答案】ACD
解析:对于A选项，，，所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确．
故选ACD．
题型三：简单的随机抽样
1．(2014高考数学天津理科·第9题)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取_________名学生．
【答案】
解析:设应从一年级本科生中抽取名,则,解得．
2．(2017年高考数学江苏文理科·第3题)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取____________件．
【答案】 18
解析:所求人数为,故答案为18．
题型四：用样本数字特征估计总体
1．(2020江苏高考·第3题)已知一组数据的平均数为4，则的值是_____．
【答案】2
【解析】数据的平均数为4,，即．故答案为：2．
2．(2019·全国Ⅱ·理·第13题)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
【答案】.
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【点评】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
3．(2019·江苏·第5题)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .
【答案】
【解析】由
所以．
4．(2018年高考数学江苏卷·第3题)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．
【答案】90
解析：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为所求人数为．
5．(2014高考数学江苏·第6题) 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm．
100
80
90
110
120
130
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
底部周长/cm
（第6题）
【答案】24
解析：由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0．015+0．025)1060=24．
6．(2015高考数学湖南理科·第12题)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是 ．
【答案】．
解析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人．
7．(2015高考数学江苏文理·第2题)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，那么这组数据的平均数为_______．
【答案】6
解析：
8．(2016高考数学上海理科·第4题)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为，，，，，则这组数据的中位数是_________(米)．
【答案】
解析：将这6位同学的身高按照从低到高排列为：，，，，，这六个数的中位数是与的平均数，显然为．
9．(2016高考数学江苏文理科·第4题)已知一组数据4．7，4．8，5．1，5．4，5．5，则该组数据的方差是 ．
【答案】．
解析：，．
二、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第9题)有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则( )
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
解析：对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即；故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：BD．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第9题)有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样数据的样本极差相同
【答案】CD
解析:A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选CD．
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第9题)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
( )
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
解析：由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
题型五：相关关系与回归分析
题型六：独立性检验
题型七：事件与概率
1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第13题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】
解析：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
2．(2021高考天津·第14题)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】①． ②．
解析：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．
故答案为：；．
3．(2020天津高考·第13题)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．故答案为：；．
4．(2023年天津卷·第13题)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】①． ②． ##
解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
甲盒中黑球个数为，白球个数为；
甲盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．
5．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第15题)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】．
【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
6．(2020江苏高考·第4题)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为个．
点数和为5的基本事件有，，，共4个．
∴出现向上的点数和为5的概率为．故答案为：．
7．(2019·上海·第10题)某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.
【答案】
【解析】法一：(分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字)
法二：(分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同)
8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
【答案】
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为．
9．(2018年高考数学江苏卷·第6题)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．
【答案】
解析：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为．
10．(2018年高考数学上海·第9题)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 ．
【答案】
解析：因为9为奇数．所以拿取砝码的情况有：
①三个砝码中有2个偶数克(2克)，一个奇数克(5克)；
②三个砝码中没有偶数，三个全为奇数克，即5克、3克、1克砝码全部取出．
所以所求概率为．
11．(2014高考数学上海理科·第10题)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________(结果用最简分数表示)．
【答案】
解析:设连续10天依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,则连续3天可有1、2、3;2、3、4;3、4、5;4、5、6;5、6、7;6、7、8;7、8、9;8、9、10共8种情况,则．
12．(2014高考数学辽宁理科·第14题)正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 ．
【答案】
解析：∵A(﹣1，﹣1)，B(1，﹣1)，C(1，1)，D(﹣1，1)，
∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积
，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．
13．(2014高考数学江西理科·第13题)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________．
【答案】
分析:从10件产品中任取4件,共有种基本事件,恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品,共有,因此所求概率为
14．(2014高考数学广东理科·第11题)从中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为
【答案】．
解析：基本事件种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有种，从而概率为．本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来．
15．(2014高考数学江苏·第4题) 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ．
【答案】
解析：从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．
16．(2014高考数学福建理科·第14题)如图，在边长为的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
【答案】．
解析：由题意，与关于对称，
∴阴影部分的面积为，
∵边长为(为自然对数的底数)的正方形的面积为，
∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．
17．(2015高考数学福建理科·第13题)如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】
解析：由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．
18．(2015高考数学江苏文理·第5题)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______．
【答案】
解析：从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为
19．(2017年高考数学上海(文理科)·第13题)已知四个函数:①;②;③;④．从中任选2个,则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________．
【答案】
【解析】①③、①④的图像有一个公共点,∴概率为．
20．(2017年高考数学江苏文理科·第7题)记函数的定义域为．在区间上随机取一个数,则的概率是________．
【答案】
解析:由,得,根据几何概型的概率计算公式得的概率是．
21．(2016高考数学上海理科·第14题)如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，．任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是 ．
【答案】
解析：共有种基本事件，其中使点P落在第一象限共有种基本事件，故概率为．
22．(2016高考数学山东理科·第14题)在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 ．
【答案】
【解析】直线与圆相交，需满足圆心到直线的距离小于半径，即,解得,而,所以所求概率．
23．(2016高考数学江苏文理科·第7题)将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有个点为正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
【答案】．
解析：将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．
二、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第12题)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确．
故选：ABD
题型八：随机变量的分布列
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第16题)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．
【答案】(1)． (2)．
解析：因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以．
2．(2022年浙江省高考数学试题·第15题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
【答案】 ①． ， ②． ##
解析:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案为：，．
3．(2015高考数学广东理科·第13题)已知随机变量服从二项分布．若，，则 ．
【答案】
解析：依题可得且，解得，故应填入．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第15题)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
【答案】
解析：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，
若第1场或第2场输1场，则，
若第3场或第4场输1场，则，
所以甲以4：1获胜的概率是．
5．(2021年高考浙江卷·第15题)袋中有4个红球m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________．
【答案】 (1)． 1 (2)．
解析:，所以，
, 所以, 则．
由于
．故答案为1；．
6．(2022新高考全国II卷·第13题)．已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
【答案】
解析：因为，所以，因此． 故答案为：．
7．(2014高考数学浙江理科·第12题)随机变量的取值为0,1,2，若，，则________．
【答案】
解析：设则由已知得，
解得，，
所以．故答案为：
8．(2014高考数学上海理科·第13题)某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若，则小白得5分的概率至少为_____________．
【答案】
解析:设小白得1,2,3,5分的概率分别为则当时等号成立．
另解：注意到．要使得得5分的概率最少，则小白得1,2,3分的概率为0，设小白得5分的概率为，则
9．(2015高考数学上海理科·第12题)赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1．4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量和分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则 (元)．
【答案】
解析：由题可知，
所以，和的分布列分别为：
，，即有．
10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
【答案】
【命题意图】本题考查二项分布概念及其数字特征，意在考查学生的运算求解能力．
【解析】随机变量，
11．(2016高考数学四川理科·第12题)同时抛掷两枚质地均匀的两枚硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就说明实验成功，则在次实验中成功次数的均值是______．
【答案】
【解析】法一：由题意可知每次实验成功的概率为，不成功的概率为，
在次实验中成功次数可能的取值为
则
所以在次实验中成功次数的分别列为
所以在次实验中成功次数的均值(即期望)为

法二：次实验满足二项分分布，所以在次实验中成功次数的均值(即期望)为
．
二、多选题
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第9题)下列统计量中，能度量样本的离散程度的是( )
A．样本的标准差B．样本的中位数
C．样本的极差D．样本的平均数
【答案】AC
解析:由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势,故选AC．
2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第12题)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵．( )
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
解析：对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确．
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误．
对于C选项，若，则
，
则随着增大而增大，所以C选项正确．
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且()．
．
由于，所以，所以，
所以，1
2
3
4
5