备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题02复数与不等式（十一大题型）（Word版附解析）

这是一份备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题02复数与不等式（十一大题型）（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了已知集合，函数，已知函数的图象过点，且满足.等内容，欢迎下载使用。

专题02不等式与复数



由不等式性质判断数（式）大小
1．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）（多选）下列命题为真命题的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质判断A；作差法比较大小判断BD；幂函数的性质判断C.
【详解】解：对于A，由于，，故，A选项正确；
对于B，由于，，故，B选项正确；
对于C，时，由幂函数在上单调递增，故，C选项正确；
对于D，若，则， ，故，D选项错误.
故选：ABC
2．（山东省济宁市邹城市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）（多选）若，则下列不等式中恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】通过取特殊值的方法验证A、C选项的正误，通过指对函数的单调性验证B、D选项的正误即可得出答案.
【详解】对于A选项，当，时，，故A选项错误；
对于B选项，已知在上单调递增，，，故B选项正确；
对于C选项，当时，，故C选项错误；
对于D选项，，，即，故D选项正确.
故选：BD

一元二次不等式
3．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）（多选）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）
A． B．或
C． D．或
【答案】CD
【分析】结合已知条件，利用充分不必要的概念即可求解.
【详解】由于不等式的解为：或，
设使不等式成立的一个充分不必要条件为集合，
则Ü或，
结合选项，只有选项CD正确.
答案：CD
4．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知集合，集合，且，则 ；
【答案】 2
【分析】解绝对值不等式化简集合A，由A∩B＝，说明﹣1是方程的根，把代入方程求解m，然后把解出的m值代入集合B中的不等式化简集合B，求出A∩B后可得n的值．
【详解】，
因为A∩B＝，所以是方程的根，
把代入方程得，3(1+m)＝0，
所以m＝，此时不等式的解集为{x|＜x＜2}，
所以A∩B＝，即n＝2．
所以所求m，n的值为，2．
故答案为：．

含参讨论的一元二次不等式
5．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知集合，函数．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）将代入不等式可整理成，分，和进行分类讨论，即可求得答案；
（2）利用含量词的命题的否定得到命题“任意，使得”是真命题，则，令，则，利用基本不等式求解最值即可
【详解】（1）因为，且，
所以即，
因为的实数根为或，
当时，此时，所以不等式的解集为；
当时，此时，所以不等式的解集为或；
当时，此时，所以不等式的解集为或；
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；
（2）因为，
所以命题“存在，使得”的否定为命题“任意，使得”是真命题，
所以可整理成，
令，则，
因为，
当且仅当即时，取等号，
则，故实数的取值范围
6．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知函数的图象过点，且满足.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用点在函数上与二次函数的对称性即可得解；
（2）分类讨论与，结合二次函数的性质即可解得含参二次不等式.
【详解】（1）∵的图象过点，即，∴，
又，∴图象的对称轴为，
∴，∴，
∴.
（2）不等式，可化为，
①当，即时，不等式恒成立，
所以不等式的解集为；
②当，即或时，
方程有两个根为，，
此时不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为.

一元二次不等式的恒成立问题
7．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的范围是，
故选：B.
8．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为为真命题，所以或，
对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，
对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，
对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，
对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，
故选：A

基本不等式的应用
9．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）已知，，都是正实数，且，则当取得最小值时，的最大值为（    ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由题意可得，利用基本不等式的应用可知，再次利用基本不等式计算即可求解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，“＝”成立．此时，
所以，当且仅当时，“＝”成立．所以的最大值为．
故选：A.
10．（湖北省高中名校联盟2023届高三上学期第二次联合测评数学试题）设，且，则的最小值是 .
【答案】
【分析】由，得，利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】因为​，
所以




，
当且仅当，即时取等号，
所以​的最小值是，
故答案为：.

不等式的实际问题
11．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【答案】(1)；
(2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围；
（2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【详解】（1）解：由题意可知，当时，，解得：，
由，即，解得：，
因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，
即，所以，
故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.
（2）解：设该汽车行驶100千米的油耗为升，
则，
令，则，
所以，，
可得对称轴为，由，可得，
当时，即时，
则当时，；
当，即时，
则当时，；
综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
12．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）2022年夏季各地均出现了极端高温天气，空调便成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律．如果物体的初始温度为，则经过一定时间t后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现将一杯80℃的茶水放在25℃的空调房间，1分钟后茶水降至75℃．（参考数据：，）
(1)经研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃，为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟?（保留整数）
(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大?并求出最大利润．
【答案】(1)6；
(2)总产量为60千台时，获利最大，最大利润为3380万元.
【分析】（1）根据题意，求得，再令，结合参考数据以及对数运算，求解即可；
（2）根据的解析式，求得利润关于的函数，再结合导数和基本不等式求其最大值即可.
【详解】（1）根据题意，，即，
设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即
两边同时取对数：，解得，
所以从泡茶开始大约需要等待分钟.
（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，
当时，，，
所以，单调递增，，单调递减，
则；
当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最大值3380万元.
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为60千台时，获利最大，最大利润为3380万元.
复数的有关概念
13．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）（多选）若复数z满足：，则（    ）
A．z的实部为3 B．z的虚部为1
C． D．z在复平面上对应的点位于第一象限
【答案】ABD
【分析】根据待定系数法，将代入条件即可求解，，进而即可根据选项逐一求解.
【详解】设，因为，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确；，故C不正确；z在复平面上对应的点位于第一象限，故D正确．
故选:ABD．
14．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知复数的实部与虚部的和为3，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的运算得出：，根据题干条件求出，再利用共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为，又复数的实部与虚部的和为3，
所以，解得：，所以，
由共轭复数的概念可得：，
故选：B.
复数的分类
15．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为 .
【答案】3
【分析】根据复数的标准形式，结合题意，建立不等式以及方程，可得答案.
【详解】解：复数（为虚数单位），，
则，解得.
故答案为：3.
16．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知复数，且是纯虚数，则（    ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据复数乘方运算法则得到，然后根据纯虚数的定义列方程得到，最后求复数的模即可.
【详解】，因为为纯虚数，所以，解得，所以.
故选：A.
复数的四则运算
17．（湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知复数满足（i是虚数单位），则（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简得复数，再求解即可.
【详解】因为，所以，
则.
故选：D.
18．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）（多选）已知是虚数单位，若，且，则的值可以为（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】首先得到，再根据复数代数形式的乘法运算得到方程，解得即可.
【详解】因为，所以，
所以，
，解得.
故选：BD

复数的模
19．（广东省佛山市顺德区2023届高三上学期期中）复数（为虚数单位），若，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据复数代数形式的除法化简复数，设，根据复数模的计算公式得到，则可以看成圆上的点到原点的距离，从而求出距离最大值；
【详解】解：，设，因为，
所以，所以，即表示上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，因为圆心到坐标原点的距离为，所以
故选：D
20．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）已知复数满足，则的共轭复数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出，利用复数除法法则计算出，得到共轭复数.
【详解】，故，
故的共轭复数是.
故选：D
复数的三角表示
21．（广东省广州市白云中学2023届高三上学期期中）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 .
【答案】
【分析】根据复数的三角形式运算即可求解.
【详解】复数的三角形式是,
向量对应的复数是.
故答案为：
22．（福建省厦门第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ）
A． B．为实数
C． D．复数对应的点位于第三象限
【答案】C
【分析】利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，为纯虚数，B错；
对于C选项，因为，
因此，，C对；
对于D选项，，则，，
所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.
故选：C.


一、单选题
1．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x＋2y＋xy＝7，
所以，
所以．
因为，则
所以，
当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，
所以x＋y的最小值为3．
故选：D
2．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知关于x的不等式的解集为A，设，，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】问题化为在上恒成立，列不等式组求参数范围即可.
【详解】由题意，在上恒成立，
所以，可得.
故选：B
3．（2022秋·山东潍坊·高三潍坊一中校考期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，
若的解集是空集，则有，解得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；
故选：C．
4．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）已知，且，其中是虚数单位，则等于（    ）
A．5 B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解.
【详解】由得：，即，
解得，从而.
故选：B
5．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知复数满足，且为纯虚数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可．
【详解】解：令，
，
，
则，

为纯虚数，
则，
解得，
∴ ，
故选：C．
二、多选题
6．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ）
A．若，则 B．的虚部为
C．若，则 D．
【答案】BCD
【分析】根据复数的模长公式以及复数虚部等概念即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A; 若，则，但是复数不可以比较大小，故错误，
对于B; ,所以的虚部为，故正确，
对于C; 若，则,故
，故，正确，
对于D; 而,进而，故，所以正确，
故选：BCD
7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【分析】根据复数的模的计算求得，判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;利用向量垂直的坐标表示可得，化简，根据其结果判断C;确定的几何意义是表示圆，利用的几何意义求得其最大值，判断D.
【详解】因为，所以，A正确；
由题意可知，若，若，则，B错误；
若，则，即，
故，
即仅当时，，时，，C错误；
，故，即，
则表示圆上的点到原点的距离，
故的最大值为，D正确，
故选: .
8．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）下列说法正确的是（    ）
A．若，则一定有
B．若关于的不等式的解集为，则
C．若，则的最小值为4
D．若，且，则的最小值为0
【答案】ACD
【分析】对A：利用不等式的性质即可判断；对B：根据二次不等式和二次方程之间的关系，结合韦达定理即可判断；对C：利用基本不等式进行求解，即可判断；对D：利用消元法，结合函数单调性即可求得结果.
【详解】对A：因为，则，，又，故，则，故A正确；
对B：由题可知，是方程的两根，故，解得，则，故B错误；
对C：因为，则，即，
解得，当且仅当时取得等号；故的最小值为4，C正确；
对D：，且，则，
因为，故，即，又都是上的单调减函数，
故也是上的单调减函数，又时，，故，即的最小值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（河北省张家口市第─中学2023届高三上学期期中数学）若，，则的最小值为 .
【答案】8
【分析】，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：8
10．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
【答案】9
【分析】由已知，的最小值为0，可得到的关系.由的解集为，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得关系式，两式联立，即可求得的值.
【详解】因为函数的值域为，
所以的最小值为0，
即，则，
不等式的解集为，即解集为，
则的两个根、分别为、，
所以两根之差为，
由韦达定理得，，
因为，
将代入得， ，解得．
故答案为：9.
11．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）设，且，则的最小值为 .
【答案】.
【分析】设，根据等式化简即可得到,带入，化简即可得出答案.
【详解】设.
则
即化简得：.
所以
所以当时.
故答案为：.
四、解答题
12．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）已知集合，中.
(1)若，求m的值；
(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，结合交集的结果并讨论、求参数值，最后验证结果即可；
（2）由题设有，列不等式组求参数范围即可.
【详解】（1）由题设，，又，
当时，此时，则，显然不符题设；
当时，此时，则，满足题设；
所以.
（2）由题设，
当，，可得；
当，，可得；
所以.