2023届河南省开封市杞县等4地高三下学期期末考试数学（文）试题含答案

2023届河南省开封市杞县等4地高三下学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数z 满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.

【详解】 ，

所以   

故选：D．

2．已知集合，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.

【详解】由，得，所以，

因为，且∈[-3，1]，所以，

所以B=[-1，8]，所以A∩B=[-1，1]．

故选：A．

3．已知则p是q的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．

【详解】若则或，故由p得不到q；

若则 所以由q可以推出p，故p是q的必要不充分条件．

故选:B．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解.

【详解】.

故选：D

5．水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：）．水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为，保护对象的设计喷雾强度W为时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：）（    ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【答案】C

【分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.

【详解】依题意，，，，，

由，，得，

所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.

故选：C

6．执行如图所示的程序框图，若输入的分别为，则输出的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到该程序框图的功能是将输入的3个数字，逐次计算，即可求解.

【详解】根据给定的程序框图知，当输入时，

第一次判断：满足判断条件，可得；

第二次判断：满足判断条件，可得；

第三次判断：满足判断条件，可得，

输出结果，即输出.

故选：C.

7．如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，  则M，N间的距离为（    ）

A． B．120m C． D．200m

【答案】A

【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解.

【详解】由题意，可得，

且，

在直角中，可得，

在直角中，可得，

在中，由余弦定理得，

所以.

故选：A.

8．已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（    ）

A．5 B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离.

【详解】由题意知，，设，则，

所以，

故当时，，

所以.

故选：B.

9．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可.

【详解】设，，，棱长均为，

由题意，，，，

，，

，

，

，

，

异面直线与所成角的余弦值为，

故选：A.

10．已知分别为双曲线E： 的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若是等边三角形，则双曲线E的离心率为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的定义可求出，再由余弦定理代入化简即可求出答案.

【详解】由双曲线的定义，得，，

又，所以，

在中，

即 ，所以 ，即，  

 所以   

故选：C．

11．已知函数将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（    ）

A．为的一个周期

B．的值域为[-1，1]

C．的图像关于直线对称

D．曲线在点 处的切线斜率为

【答案】B

【分析】由可判断A；令，则，求出值域可判断B；由三角函数的平移变化求出，由可判断C；由导数的几何意义可判断D.

【详解】对于A，，故不为的一个周期，故A不正确；

对于B，令，且，

所以原函数变为，当时，，当时，，

又，所以，或，所以或，

所以的值域为[－1，1]，故B正确；

对于C，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，

则，

又，故为奇函数，不是偶函数，所以的图像关于直线不对称，故C不正确；

对于D， 所以故D不正确；

故选：B.

12．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中数据的结构特征，构造函数，利用单调性比较大小即可.

【详解】因为，

所以令，由，

知当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

因为

所以，即.

故选：D.

二、填空题

13．已知实数满足，则的最大值为              ．

【答案】1

【分析】做出不等式组对应的可行域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.

【详解】根据已知画出可行域(如图所示阴影部分)，

移动直线，

当直线经过点A时，最小，即最大，

对直线，令，则，即，

故此时．

故答案为：

14．已知平面向量满足,且，则=                  ．

【答案】

【分析】由数量积的运算律求出，再由向量的模长公式即可得出答案.

【详解】由,得,

所以.

故答案为：

15．已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程      .

【答案】或或.

【分析】设切线方程为，根据圆心到直线的距离均为1求解方程.

【详解】设圆的公切线为，，或

代入求解得：或

所以切线为：或或

故答案为：或或.

16．如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切．若，且OP＝2，则球O的表面积为      ．

【答案】

【分析】结合正四棱锥的结构特征，作出过正四棱锥相对侧棱的截面，进而求出球半径作答.

【详解】在正四棱锥中，，则是正三角形，

于是，所以，

因为球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切，

则由对称性知，平面截正四棱锥得等腰直角三角形，

截球O得球O的大圆，且圆O与直角边都相切，如图，

显然平分角，因此球O的半径，

所以球O的表面积为.

故答案为：

三、解答题

17．无论是国际形势还是国内消费状况，2023 年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果．某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传．为了解大众传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x(单位：万元)和销售额y(单位：万元)的数据如下：

(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时(结果取整数)，销售额能突破100万元；

(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的．从这6家卖场中随机抽取3家，求这3家卖场中至少有1家宣传策划高效的概率．

附：参考数据 回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：

【答案】(1)；25万元

(2)

【分析】（1）分别代入公式求出，即可求出y关于x的线性回归方程；再令，求解即可；

（2）先求出这6家卖场中随机抽取3家的基本事件个数，再求出至少含有1家宣传策划是高效的基本事件个数，由古典概率公式代入即可得出答案.

【详解】（1）              

所以

                          ⋯

所以                  

令，解得(万元)．

故当宣传费用至少为25万元时，销售额能突破100万元.

（2）由题意知宣传策划是高效的仅有2家，记作a，b，余下的记作A，B，C，D．

所以从中取出3家，基本事件有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，aBC，

aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，ABC，ABD，ACD，BCD，共20个，

其中至少含有1家宣传策划是高效的有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，

aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，共16个，

故所求概率

18．已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若求数列{}的前n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先列方程组求出数列的首项和公比，从而得到数列的通项公式，再求出的首项和公差，从而求出的通项公式.

（2）分别用裂项相消法和错位相减法求解.

【详解】（1）因为，，分别是等差数列的第1，3，5项，所以，

又，所以得，所以且，

由可解得，，所以；

又，，故等差数列的公差，

所以.

（2）由（1）知

令设数列{}的前n项和为，数列{}的前n项和为，则

因为

所以，

因为

所以

两式相减，得

所以

所以

19．如图，在正三棱柱中，为上一点，，，为上一点，三棱锥的体积为.

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，由线面垂直的判定可证得平面，利用三棱锥体积公式可构造方程求得，结合长度关系证得四边形为平行四边形，由平行关系可得平面，根据面面垂直的判定可证得结论；

（2）利用等体积转化，即，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.

【详解】（1）证明：分别取的中点，连接，

为等边三角形，为中点，；

平面，平面，；

又，平面，平面；

分别为中点，，，

，解得：，

，，则，又，

四边形为平行四边形，，又平面，平面，

平面，平面平面.

（2）取中点，连接，

为等边三角形，为，；

平面，平面，；

，平面，平面；

，平面，平面，平面，

点到平面的距离即为点到平面的距离，即；

，，又，，

；

又，，；

设点到平面的距离为，则，

解得：，即点到平面的距离为.

20．已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为.

(1)求E的方程；

(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率、渐近线方程和点到直线距离公式即可得到相关方程，解出即可；

（2）设,则，得到直线的方程，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算，再利用基本不等式即可得到答案.

【详解】（1）设的半焦距为,则,所以,所以①，

不妨设，与联立得.

由题意得②，

①②联立并解得,

故的方程为.

（2）设,则,

所以直线的斜率,

直线的方程为,代入,得

,

所以,

,

所以,

所以,

当且仅当,即时等号成立,

所以当时,取得最小值,且最小值为.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是计算出直线的方程，将其与椭圆方程联立，得到韦达定理式，再计算出，从而得到，最后得到，最后利用基本不等式即可得到最值.

21．已知函数.

(1)若有两个不同的零点，求a的取值范围；

(2)若函数有两个不同的极值点，证明：.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）求导，分类讨论判断的单调性，进而根据零点运算求解；

（2）根据极值点的概念整理原不等式可得，构建新函数，求导，利用导数证明.

【详解】（1）的定义域为，且，

当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去.

当时，令，解得：，令，解得：，

在上单调递减，在上单调递增，

因为有两个不同的零点，则，解得，

当时，，，所以在上存在唯一的一个零点；

当时，取正整数，则，，

而，

当时，令，

令，，所以在上单调递增，

，所以，

所以在上单调递增，，故

又，所以，于是，要使，

只需，即，

这样，当时，只需取正整数，则，又，

所以在上存在唯一的一个零点；

综上，.

（2）（），则.

因为有两个不同的极值点，（），则，，

要证，只要证，

因为，所以只要证，

又∵，，作差得，所以，

所以原不等式等价于要证明，即.

令，，则以上不等式等价于要证，.

令，，则，，

所以在上单调递增，，即，，

所以.

【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出，，常用作差建立关系，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数），以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求C的直角坐标方程以及C与y轴交点的极坐标；

(2)若直线与C交于点A，B，与轴交于点P，求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先将转化成，然后利用化简可得的直角坐标方程，求得与y轴交点的直角坐标，即可得到对应的极坐标；

（2）设点对应的参数分别为,将直线的参数方程代入的直角坐标方程可得到，即可求解

【详解】（1）由,得,即，

又,所以,

化简可得,即的直角坐标方程为.

易得与轴交点的直角坐标为和,

对应的极坐标分别为

（2）易知点的直角坐标为,将直线的参数方程代入的直角坐标方程,得,

显然,

设点对应的参数分别为,则,

显然一正一负,

所以

23．已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.

(1)求满足条件的实数a，b的所有值；

(2)若对恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入得和得，，联立即可得到答案；

（2）由（1）化简得，分离参数得在上恒成立，再利用基本不等式即可得到右边最值，即可得到答案.

【详解】（1）当时,不等式化为,,

所以,①

当时,同理可得,②

联立①和②，解得.

而时,原不等式为

显然恒成立,所以.

（2）由（1）知,

所以,

因为,所以,所以在上恒成立.

令,则.

因为,

当且仅当,即时等号成立,所以,

所以,即实数的取值范围为.