中考数学二轮精品专题复习 专题11 导数中洛必达法则的应用(原卷版)

专题11　导数中洛必达法则的应用

【方法总结】

在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是最值分析法或参变分离法．用最值分析法常需要分类讨论，有时对参数进行讨论会很难．用参变分离法在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．出现“”或“”型的代数式，就没法求其最值．解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．“”或“”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，

洛必达法则

法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件

(1) f(x)＝0及g(x)＝0；

(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；

(3)＝A，

那么＝＝A．

法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件

(1)f(x)＝∞及g(x)＝∞；

(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；

(3) ＝A，

那么＝＝A．

法则3　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1) f(x)＝0及g(x)＝0；

(2)∃m≠0，f(x)和g(x)在(－∞，m)与(m，＋∞)上可导，且g′(x)≠0；

(3) ＝A．

那么＝＝A．

注意：(1)必达法则的功能是用于求极限值；(2)主要用于，两种类型，其他结构需转化才能应用；(3) 未定式可以连续应用，已定式不能再用．

计算下列各题

(1)；(2)xlnx；(3)(－)；(4)．

【例题选讲】

[例1]　(2011全国Ⅰ)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．

(1)求a，b的值；

(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围．

[例2]　已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R．若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

[例3]　已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．

[例4]　已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值．

(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．

【对点训练】

1．已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．

2．设函数f(x)＝ln(x＋1)＋ae－x－a，a∈R，当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

3．已知函数f(x)＝＋，当x>0且x≠1时，f(x)>＋恒成立，求k的取值范围．

4．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2．

(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．