中考数学三轮冲刺过关练习09 尺规作图（含解析）

这是一份中考数学三轮冲刺过关练习09 尺规作图（含解析），共16页。

1．从考点频率看，作线段的垂直平分线和作角的平分线是高频考点。
2．从题型角度看，选择题、填空题较多，同时考查基本作图和三角形、四边形结合的综合性题目以解答题为主。

一：作已知角的平分线
（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作弧，两弧相交于点P；
（3）作射线OP，OP即为所作的角平分线.
二：作已知线段的垂直平分线
（1）分别以M、N为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
（2）连接PQ，交MN于O．
则PQ就是所求作的MN的垂直平分线.
1．（河南中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图，连接FC，则AF=FC．
∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF=BC=3，
∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，
∴CD= SKIPIF 1 < 0 ．故选A．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
2．（北京中考）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 SKIPIF 1 < 0 ，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 SKIPIF 1 < 0 于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN．则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．MN=3CD
【答案】D
【解析】由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON= SKIPIF 1 < 0 ∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，
又∠CMN= SKIPIF 1 < 0 ∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，∴3CD>MN，故D选项错误，故选D．
【名师点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
3.（新疆中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线B．AD=BD
C．S△CBD∶S△ABD=1∶3D．CD= SKIPIF 1 < 0 BD
【答案】C
【解析】由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°=∠A，∴AD=BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD= SKIPIF 1 < 0 ∠ABC=30°，∴BD=2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD=2CD，∴S△ABD=2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选C．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
4．（广东中考）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 =2，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）如图，∠ADE为所作．
（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 =2．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
5．（杭州中考）如图，在△ABC中，AC（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求
∠B的度数．
【解析】（1）∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA=PB，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠B．
（2）根据题意可知BA=BQ，
∴∠BAQ=∠BQA，
∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BQA=2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°．
6．（江西中考）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
【答案】（1）如图1，EF为所作．
（2）如图2，∠DBC为所作．
【解析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断EF∥BC；
（2）在（1）基础上分别延长BE、CF，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．
【名师点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
1．（四川省成都市中考一模数学试题）如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC，OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F；③作射线 OF，交边 BC于点 G，则点 G 的坐标为( )
A. (4， SKIPIF 1 < 0 )B. ( SKIPIF 1 < 0 ，4)C. ( SKIPIF 1 < 0 ，4)D. (4， SKIPIF 1 < 0 )
【答案】A
【解析】
【分析】
首作GH⊥OC于H．先证明GB=GH，利用面积法求出GB即可解决问题．
【详解】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），
∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，
∴BC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝5，
作GH⊥OC于H．
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
由作图可知：OG平分∠BOC，
∵GB⊥OB，GH⊥OC，
∴GB＝GH时，GB＝GH＝x，
∵S△OBC＝ SKIPIF 1 < 0 ×3×4＝ SKIPIF 1 < 0 ×5×x+ SKIPIF 1 < 0 ×4×x，
∴x＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴G（4， SKIPIF 1 < 0 ）．
故选A．
【点睛】本题考查基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
2．（安徽省首年地区2019-2020学中考第一次模拟冲刺过关练习数学试题） 在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中 SKIPIF 1 < 0 所在圆的圆心．
已知： SKIPIF 1 < 0 ．
求作： SKIPIF 1 < 0 所在圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 ．
曈曈的作法如下：如图2，
（1）在 SKIPIF 1 < 0 上任意取一点 SKIPIF 1 < 0 ，分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）分别作弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，两条垂直平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 所在圆的圆心．
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是_____．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
【答案】①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【解析】
【分析】
（1）在 SKIPIF 1 < 0 上任意取一点 SKIPIF 1 < 0 ，分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）分别作弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，两条垂直平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 所在圆的圆心．
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 （理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）
故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2 SKIPIF 1 < 0 C. 3 SKIPIF 1 < 0 D. 4 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.
【详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，
由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE＝2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，
∴∠D=60°，
∵AD//BC，
∴∠ECH=∠D=60°,
在Rt△ECH中，
EH=CE·sin60°= SKIPIF 1 < 0 ,
CH=CE·cs60°= SKIPIF 1 < 0 ,
∴BH=4+1=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得，
SKIPIF 1 < 0 .
故选B.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.
4.（1月河南省郑州市一摸数学试题）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 SKIPIF 1 < 0 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（ ）
A. ∠CAD＝40°B. ∠ACD＝70°
C. 点D为△ABC的外心D. ∠ACB＝90°
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．
【详解】∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°＋20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝ SKIPIF 1 < 0 (180°−40°)＝70°，
∴A错误，B正确；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C正确；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°＋20°＝90°，故D正确．
故选A．
【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
5．（河南省洛阳市中考数学二模试卷）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴、y轴的交点为A，B，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，x轴于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作弧，两弧在∠OAB内交于点M；③作射线AM，交y轴于点E，则点E的坐标为( )
A. (0， SKIPIF 1 < 0 )B. (0， SKIPIF 1 < 0 )C. (0， SKIPIF 1 < 0 )D. (0， SKIPIF 1 < 0 )
【答案】C
【解析】
【分析】
过E作EH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AE平分∠OAB，则OE＝EH，再利用一次函数解析式得到B(0，4)，A(3，0)，所以AB＝5，设E(0，t)，利用面积法得到 SKIPIF 1 < 0 ×t×3+ SKIPIF 1 < 0 ×t×5＝ SKIPIF 1 < 0 ×3×4，解方程求出t即可得到E点坐标．
【详解】解：过E作EH⊥AB于H，如图，
由作法得AE平分∠OAB，
∴OE＝EH，
当x＝0时，y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x+4＝4，则B(0，4)，
当y＝0时，﹣ SKIPIF 1 < 0 x+4＝0，解得x＝3，则A(3，0)，
∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ＝5，
设E(0，t)，
∵S△AOE+S△ABE＝S△OAB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ×t×3+ SKIPIF 1 < 0 ×t×5＝ SKIPIF 1 < 0 ×3×4，解得t＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴E点坐标为(0， SKIPIF 1 < 0 )．
故选C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了一次函数的性质．
6．（广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷）如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）用尺规作图法在AC边上找一点D，使得BD=BC（保留作图痕迹，不要求写作法）：
（2）若∠A=30°，求∠ABD的大小．
【解析】（1）如图，点D为所作．
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= SKIPIF 1 < 0 （180°-∠A）= SKIPIF 1 < 0 （180°-30°）=75°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=75°，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=75°-30°=45°．
【名师点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
7.（广东省佛山市南海外国语学校2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 用直尺和圆规作 SKIPIF 1 < 0 ，使圆心O在BC边，且 SKIPIF 1 < 0 经过A，B两点上 SKIPIF 1 < 0 不写作法，保留作图痕迹 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 连接AO，求证：AO平分 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线即可，线段AB的垂直平分与BC的交点即是圆心O；
（2）由线段垂直平分线的性质可得∠OAB=∠B=30°，，从而可求∠CAO=30°，由角平分线的定义可知AO平分∠CAB．
【详解】（1）解：如图，⊙O为所作；
（2）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30°，
而∠CAB=90°﹣∠B=60°，
∴∠CAO=∠BAO=30°，
∴OC平分∠CAB．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的作法及性质是解答本题的关键.
8.（广东省潮州市中考数学5月份模拟试卷）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°．
（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）连接CE，求∠BCE的度数．
【解析】（1）如图，DE为所求．
（2）∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠ECA=∠A=28°．
∴∠BCE=90°-∠ECA=90°-28°=62°．
【名师点睛】本题考查了作图-基本作图，和垂直平分线的性质定理，熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
9.（广东省初中学业水平考试数学模拟试题）如图，▱ABCD中，
（1）作边AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F；
（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：
（2）已知▱ABCD的面积为8，求四边形EBCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
分析】
（1）作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，点E即为所求．
（2）求出△ADE的面积即可．
【详解】（1）作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，点E即为所求．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形的面积为8，AE＝EB，
∴S△ADE＝ SKIPIF 1 < 0 S四边形ABCD＝2，
∴S四边形EBCD＝8﹣2＝6．
【点睛】本题考查了四边形的面积问题，掌握垂直平分线的性质、三角形和平行四边形面积的关系是解题的关键．