专题05+几何竞赛综合-【初中数学竞赛】50题真题专项训练（全国竞赛专用）

【初中数学竞赛】

专题05 几何竞赛综合-35题真题专项训练

（全国竞赛专用）

一、单选题

1．（2015·全国·九年级竞赛）矩形中，，，、分别为矩形外的两点，，，则（    ）

A． B．15 C． D．

2．（2013·全国·九年级竞赛）已知是圆的直径，为圆上一点，，的平分线交圆于点，若，则（    ）

A．2 B． C． D．3

3．（2013·全国·九年级竞赛）矩形的边长，，为的中点，在线段上，且，分别与，交于点，，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2018·全国·九年级竞赛）已知点，分别在正方形的边，上，，，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在矩形中，的平分线交于点，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2017·全国·九年级竞赛）设是以为直径的圆上的一点，于点，点在线段上，点在延长线上，满足．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知的边长分别为，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画，使得，相似比为，那么k的不同值共有（    ）个．

A．1 B．2 C．3  D．4

二、填空题

8．（2016·全国·九年级竞赛）已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，，则__________．

9．（2016·全国·九年级竞赛）在四边形中，，平分，为对角线的交点，，，则__________．

10．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形的边长为，点E在边的延长线上且，点P在边上运动，与的交点为F．设，与四边形的面积和为，那么y与x之间的函数关系式是________．

11．（2014·全国·九年级竞赛）已知为等腰内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则_____．

12．（2015·全国·九年级竞赛）、两点在以为直径的半圆周上，平分，，，则的长为__________．

13．（2015·全国·九年级竞赛）已知锐角的外心为，交于，、分别为、的外心，若，，则__________.

14．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在平行四边形中，，于，为的中点，若，则______．

15．（2017·全国·九年级竞赛）设是锐角三角形的外心，，分别为线段，的中点，，，则__________．

16．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为的正六边形地砖，现向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________．

17．（2018·全国·九年级竞赛）已知是内一点，是的中点，，，，，则__________．

三、解答题

18．（2013·全国·九年级竞赛）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连，若，求的值．

19．（2021·全国·九年级竞赛）设是凸五边形，将沿方向平移，使移到得到凸五边形．证明：中至少有两个图形，它们有公共内点．

20．（2017·全国·九年级竞赛）如图，为四边形内一点，，，，求证．

21．（2017·全国·九年级竞赛）如图：中，，，是的外角平分线与的外接圆的交点．点在上且，已知，，求的面积．

22．（2021·全国·九年级竞赛）已知二次函数的图象与轴的交点分别为、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．

（1）证明：与轴的另一个交点为定点．

（2）如果恰好为的直径且，求和的值．

23．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液，现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．

（1）当时，通过计算说明此溶液是否会溢出；

（2）现需要倒出不少于的溶液，当等于时，能实现要求吗？通过计算说明理由．

24．（2013·全国·九年级竞赛）在中，，、分别是的外心和内心，且满足．求证：

（1）；

（2）．

25．（2015·全国·九年级竞赛）如图，圆内接四边形的对角线、交于点，且，．过点作，交的延长线于点，的平分线分别交、于点、．

（1）证明：；

（2）如果，证明：．

26．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．

27．（2015·全国·九年级竞赛）如图，圆内接四边形的对角线、交于点，且，.过点作，交的延长线于点，的平分线分别交、于点、．

（1）证明：；

（2）如果，证明：．

28．（2021·全国·九年级竞赛）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．

29．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．

30．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于．

31．（2014·全国·九年级竞赛）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足，的延长线与的外接圆交于点.

证明：．

32．（2018·全国·九年级竞赛）如图，点在四边形的边上，和都是等腰直角三角形，，．

（1）证明：；

（2）设与交于点，如果，求．

33．（2016·全国·九年级竞赛）（A）如图，点在以为直径的上，于点，点在上，，四边形是正方形，的延长线与交于点．证明：．

（B）已知：，，．

求的值．

34．（2016·全国·九年级竞赛）（A）已知正实数，，满足：，且．

（1）求的值．

（2）证明：．

（B）如图，在等腰中，，为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点，的延长线与的延长线交于点，求的值．

35．（2022·福建·九年级统考竞赛）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F，过点B作AC的垂线，垂足为H．求证：E，H，F三点共线．