2023年浙江省衢州市六校中考数学适应性试卷（含解析）

2023年浙江省衢州市六校中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个螺母如图放置，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下面计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  要使二次根式有意义，的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是某班学生选择校服尺码的人数统计图，若选择码的有人，那么选择码的有(    )

A. 人
B. 人
C. 人
D. 人

7.  如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点若，，则矩形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  从分别写有，，，的四张卡片中任抽一张，卡片上的数是奇数的概率是______ ．

13.  小聪用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面接缝忽略不计，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是______ ．

 

14.  若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则的值为______．

15.  如图，点，在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积为，且，则 ______ ．

16.  如图所示，在平面直角坐标系中，，，点是第一象限的动点且，线段绕点在第一象限转动；
在转动过程中，求点到的最近距离 ______ ；
试求的最小值 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，线段的两个端点均在格点上，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画出图形．

在图中画出以为斜边的直角三角形；
在图中画出的一个三等分点保留画图痕迹．

20.  本小题分
为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表：

根据图形信息，解答下列问题：
求获奖学生的总人数，并补全条形统计图；
获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______ 分，众数是______ 分；
若从获得“祖冲之奖”且得分为分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

21.  本小题分
如图，中，为的直径，点为延长线上一点，是的切线，为切点，且，
求的度数；
若，求图中阴影部分的面积．

22.  本小题分
常山“双柚汁”因为口感清新，营养价值丰富而深受市民的喜爱，某超市购进两种不同品牌的双柚汁，品牌总花费元，单价元箱，品牌总花费元，单价元箱，其中品牌双柚汁比品牌多箱．
求品牌购进的数量；
该超市分别以元和元的单价销售、两种品牌的双柚汁，在品牌售出一半，品牌售出后，超市决定加大销售力度，对品牌按买箱送箱捆绑销售，品牌每箱降价元销售；
用含的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额；
若超市的总利润不低于元，求的最大值．

23.  本小题分
自变量的函数值我们通常记作，表示自变量时，函数的函数值，已知函数，其中为常数．
若，求的值；
若存在唯一一个自变量的值，使得另一个函数，，试求满足条件的的值；
若存在实数且，使得，试求实数的取值范围．

24.  本小题分
如图，在▱中，，，，，，的延长线交于点．

求的长；
如图，的角平分线交于点，点在上；
当为等腰三角形时，求的长；
如图，当点在线段上，连接，将沿翻折得到，点恰好落在边上，试求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
四个选项中的数据，只有符合题意，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出的范围，结合选项解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

6.【答案】 

【解析】解：调查的学生总人数为：人，
所以选择码的有：人．
故选：．
根据选择码的有人可求得被调查的学生总人数，再用调查的学生总人数乘即可．
此题考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
A、添加，不能判定≌，故A符合题意；
B、由，得的，又，，由判定≌，故B不符合题意；
C、由，得到，又，，由判定≌，故C不符合题意；
D、，又，，由判定≌，故D不符合题意；
故选：．
由全等三角形的判定方法，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：用绳子去量长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连结，如图，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌．
，，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
．
故选：．
连接，利用矩形的性质，则可证得≌，进一步可证得≌，得，，设，则，在中，利用勾股定理，可求得，可求得矩形的面积．
本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证得三角形全等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为直线，开口向上，
当时，，
此时函数在处取得最小值为，
，
解得，
当时，，
此时函数的最小值在顶点处，即，，
，
解得或舍去，
当时，，
此时函数在处取得最小值为，
，
解得舍去．
综上的值为或．
故选：．
先根据解析式求出二次函数的对称轴为直线，然后分三种情况进行讨论即可．
本题考查二次函数的性质，对对称轴进行分类讨论是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：从分别写有，，，的四张卡片中任抽一张，卡片上的数是奇数的概率是，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出卡片上的数是奇数的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长．
圆锥的底面周长即是扇形的弧长，
则扇形面积
故答案为：．
从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇形的弧长，据此求出扇形的面积．
本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长侧面展开图的弧长；圆锥的侧面积．
 

14.【答案】 

【解析】解：、在二次函数的图象上，
，
，
根据根与系数的关系得，，
在二次函数的图象上，
，
故答案为．
将点与代入二次函数表达式，根据根与系数的关系得，即可求解；
本题考查二次函数上点的坐标特征，根与系数的关系；能够建立一元二次方程，利用根与系数的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作，，
设，
点在反比例函数，
，
是的中点，
，
，，
，
，，
，，
点在反比例函数，
，
又，
，
，
，
解得；
故答案为：．
设的长度为，利用反比例函数解析式表示出的长度，再表示出的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算表示面积即可得解．
本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用的长度表示出、的长度是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图，以点为圆心，为半径作弧，作于点，

点是第一象限的动点且，
点在以点为圆心，为半径的圆弧上，
在中，，，
，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
如图，在上取，连接，，

，，
，
又，
∽，
，
，
，
在中，，
当点、、三点共线时，，此时值最小，
在中，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据已知条件判断，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，当射线于点时，点到的距离最近，最近距离为的长，用面积法求的长，，即可求解；
在上取，连接，，由，，得，又因为，可推出∽，根据相似三角形的性质，得，所以，，在中，根据三角形三边关系，，当点、、三点共线时，，此时值最小，在中，根据勾股定理，得，所以的最小值为．
本题考查了胡不归模型，垂线段最短，三角形相似的判定和性质，勾股定理，将转化为的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算减法，然后对分式的分子、分母分解因式，再约分化到最简，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：如图：

直角三角形即为所求；
点即为所求． 

【解析】根据网格线的特点作图；
根据相似三角形的性质作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及相似三角形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次获奖人数有：人，
则获得“秦九韶奖”的人数有人．
则刘徽奖的人数为人，
补全条形统计图如解图所示：

获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是分，众数是分；
故答案为：，；
树状图如图所示，

从四人中随机抽取两人共有种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有种可能，分别是甲，乙，乙，甲．
抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
先根据祖冲之奖的人数及其百分比求得总人数，再根据扇形统计图得出获得刘徽奖的人数进而补全条形统计图；
根据中位数和众数的定义求解可得；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：连接，
是的切线，点为切点，
，
又，，
，
设，则在中，
，
解得：，
的度数为；
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积． 

【解析】根据切线的性质证明，进而求得的度数；
根据阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积即可解决问题．
本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握切线的性质和扇形面积公式是解题关键．
 

22.【答案】解：品牌购进箱，品牌购进箱，
品牌双柚汁比品牌多箱，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
品牌购进箱；
品牌购进箱，品牌购箱，
品牌售出一半，即箱，每箱元共销售元，
品牌售出即箱，每箱元共销售元，
品牌按买箱送箱，箱可凑个箱送箱，共销售元，
品牌每箱降价元销售，即每箱售价元，共销售元，
全部售完后的销售额元；
，
，
，
的最大值为元． 

【解析】根据题意，列方程解答即可；
根据题意品牌售出一半，品牌售出前后，、品牌销售额加起即可；
根据超市的总利润不低于元，列不等式解答即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，能列出一元一次不等式是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，，
；
由题意得，则，
存在唯一一个自变量的值，使得另一个函数，
，
解得或；
的对称轴为，
，
，
，
，
，
． 

【解析】将，代入函数解析式即可求解；
由题意得，即，则，解得或；
由函数的对称性可知，得到，结合的范围即可求的范围．
本题考查二次函数的综合应用；熟练掌握二次函数的性质，能将所求问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
如图，

当时，
，
作于，
，平分，
，
，
，
，
在中，，
设，，
在中，，
，
由得，
，
，
，
如图，

当时，
由上知：，
如图，

当时，
，
综上所述：或或；
如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
将沿翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】解直角三角形，求得，进而求得结果；
作于，分为三种情形：当时，可推出是等腰直角三角形，解三角形求得，进而求得结果，进而求得和情形；
可推出≌，从而，进而推出，从而求得，进一步得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形分类，解直角三角形，折叠得性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是特殊性度．