2023年内蒙古呼和浩特市赛罕区中考数学二模试卷（含解析）

2023年内蒙古呼和浩特市赛罕区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，是有理数的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知一组数据，，，，，，有唯一的众数，则这组数据的平均数中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  桌面上放着个长方体和个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

6.  若关于的方程无解，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  如图，在等腰中，，点是的中点将绕点旋转后得到那么下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁人各射击次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这人中成绩发挥最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

9.  如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上轴交轴于点当为等腰三角形且面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  对于二次函数，下列说法正确的个数是(    )
对于任何满足条件的，该二次函数的图象都经过点和两点；
若该函数图象的对称轴为直线，则必有；
当时，随的增大而增大；
若，是函数图象上的两点，如果总成立，则．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：            ．

12.  若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是______．

13.  工人小王想制作一个圆锥模具，这个模型的侧面是一个半径为，圆心角为的扇形铁皮制作的，再用一块铁皮做底，请你帮他计算一下这块铁皮的底面半径为______ ，铁皮的面积是______ ．

14.  若是关于的一元二次方程的一根，则的值为______ ，另外一根等于______ ．

15.  已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为：，则这个多边形的边数为______ ，内角和为______ 度

16.  如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点点不与点重合，沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接．
求证：．
若正方形的边长为，为的中点，求的长．

19.  本小题分
如图，双曲线与直线交于、两点，点的纵坐标是．
求反比例函数的解析式；
根据图象直接写出不等式的解集；
将直线向下平移后，与轴交于点，与轴交于点，当四边形是平行四边形时求直线的解析式．

20.  本小题分
为了实现区域教育均衡发展，我区计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元．
改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？
我区计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？

21.  本小题分
据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于年月日时分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，这也是中国航天员第三次进行太空授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验，水油分离实验、太空抛物实验．
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级人随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，信息如下：
Ⅰ成绩频数分布表：

Ⅱ成绩在这一组的是单位：分：

根据以上信息，回答下列问题：
表中 ______ ， ______ 在这次试中，成绩的中位数是______ 分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______ ．
这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是分乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
在之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．

22.  本小题分
年月日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面处雷达站测得的距离是，仰角为；秒后火箭到达点，此时测得仰角为
求发射台与雷达站之间的距离；
求这枚火箭从到的平均速度是多少结果精确到？
参考数据：，，，，，

23.  本小题分
如图，以为直径的交的边于点，平分交于点，于点，交于点，于点，，，．
求证：≌；
求证：是的切线；
证明四边形是菱形，并求该菱形的面积．

24.  本小题分
已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．

求抛物线的解析式；
若点是抛物线上不与点，，重合的一个动点，过点作轴，垂足为，连接．
如图，若点在第一象限，且，求点的坐标；
直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求四边形的周长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是无理数，
是有理数，
故选：．
根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．
本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
分别根据二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行分析即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：这组数据有唯一的众数，
，
将数据从小到大排列为：，，，，，，，
则平均数，
中位数为：．
故选：．
根据题意由有唯一的众数，可知，然后根据平均数、中位数的定义求解即可．
本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】

解：、由可判断，故此选项错误；
B、由可判断，故此选项错误；
C、由可判断，故此选项错误；
D、由可判断，故此选项正确，
故选：．
【分析】根据平行线的判定分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．  

6.【答案】 

【解析】解：，
去分母得，，
整理得，，
当时，分式方程无解，
则，
解得，；
当整式方程无解时，，
故选：．
先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得的值．
本题主要考查分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，点是的中点．
，
由旋转可得≌，
，，
，
，
所以对
故答案选：．
利用转的性质证明≌，从而得，，所以，根据等腰三角形的性质即可得证．
本题考查旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，理解题意，灵活运用是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
这人中成绩发挥最稳定的是乙．
故选：．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．
此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作于，交轴于点连接、，

为等腰三角形且面积为，
的面积为．
轴，
，即，
点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．
．
．
由题意，，
，
故选：．
依据题意，作于，交轴于点连接、，易得，根据反比例函数系数的几何意义得到，解方程可求的值．
本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，解题的关键是根据三角形的面积找出关于的一元一次方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：把和代入二次函数，等号成立，故对于任何满足条件的，该二次函数的图象都经过点和两点符合题意，故正确；
因为抛物线的对称轴，因为，所以，当，，当，，故错误；
当时，根据二次函数的性质，因为对称轴，所以先随的增大而增大，到达顶点后，随着的增大而减小，故当时，随的增大而增大不符合题意，故错误，
若，是函数图象上的两点，如果总成立，说明抛物线对称轴，解得，故正确，
即正确的为．
故选B．
本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．根据函数的性质和函数的图形，依次分析，选出正确的即可．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
原式分解因式时，先考虑是否有公因式，再考虑公式法，如果有两项则考虑平方差公式分解．
此题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用．
【解答】
解：

．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
．
故答案为：．
不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出的范围．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：设圆锥的底面半径为．
则有，
，
铁皮的面积
故答案为：，．
设圆锥的底面半径为构建方程求出，可得结论．
本题考查圆锥是计算，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】   

【解析】解：将代入原方程，得：，
解得：，．
方程为一元二次方程，
，
，
原方程为，
方程的另一个根为．
故答案为：；．
将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合二次项系数非零可确定的值，将其代入原方程中利用根与系数的关系可求出方程的另一根，此题得解．
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：多边形的每一个外角都相等，
它的每个内角都相等．
设它的一个内角为，一个外角为．
根据题意得：．
解得：．
．
，
内角和为：．
故答案为：，．
这个多边形的一个内角与一个外角的和是，然后求得这个多边形的一个外角的度数为，然后由可求得答案．
本题主要考查的是多边形的内角与外角，掌握正多边形的一个内角与一个外角的和是是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
点在以为圆心，为半径的圆上，作； 连接交于点，此时值最小，
点是边的中点，
；而，
由勾股定理得：
，而，
，
即线段长的最小值是，
连接，过作于，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
由题意得：，得到点在以为圆心，为半径的圆上，作； 连接交于点，此时值最小，由点是边的中点，得到；而，由勾股定理得到，求得线段长的最小值是，连接，过作于，根据相似三角形的性质即可得到结论．
该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
 

17.【答案】解：



；



，
当，时，原式． 

【解析】先化简，然后计算乘除法，最后算加减法即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将、的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
≌，
；

如图，过点作于点，

正方形的边长为，
，
为的中点，
，
则，
． 

【解析】证≌即可得；
作，由正方形的边长为且为的中点知、，再根据勾股定理得，由直角三角形性质知．
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
 

19.【答案】解：把代入得：
解得，
，
把代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为；
由正比例函数和反比例函数图象的对称性可知：；
根据图象可得，的解集是或；
设直线向下平移后的解析式为，
在中，令得，令得，
，，
当四边形是平行四边形时，的中点恰为的中点，
，，
，
解得，
直线的解析式为． 

【解析】求出的坐标，再代入可得的值，从而可得答案；
求出的坐标，再观察图象可得答案；
设直线向下平移后的解析式为，求出，，根据四边形是平行四边形时，的中点恰为的中点，列方程组可解得答案．
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，求不等式解集，平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分和数形结合思想的应用．
 

20.【答案】解：设改造一所类学校需资金万元一所类学校需资金万元．
，
解得．
答：改造一所类学校需资金万元，一所类学校需资金万元；

解：设改造所类学校，所类学校，依题意得

解得，
又因为是整数，
、、、、、．
所以共有三种方案：改造类学校所，类学校所；
改造类学校所，类学校所；
改造类学校所，类学校所．
设改造方案所需资金万元
．
所以当时，．
答：改造类学校所类学校所用资金最少为万元． 

【解析】设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元，可根据关键语句“改造一所类学校和两所类学校共需资金万元；改造两所类学校和一所类学校共需资金万元”，列出方程组，解方程组可得答案；
要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元；地方财政投入的改造资金不少于万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，解题的关键是弄清题意找出题中的等量关系或不等关系，列出方程组或不等式组．
 

21.【答案】       

【解析】解：，，
将这名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：，，，；
不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是分，甲的测试成绩是分，因此甲的成绩在一半以下；
从男女中随机选取人所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中男女的有种，
所以从男女中随机选取人是一男一女的概率为．
根据频率即可求出的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出的值，根据中位数的定义求出中位数，根据频率求出成绩不低于分的人数占测试人数的百分比；
根据平均数、中位数的定义进行判断即可；
用树状图表示从男女中随机选取人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查频数分布表、中位数、平均数以及列表法或树状图法，掌握频率，中位数、平均数的计算方法以及列举出所有等可能出现的结果是解决问题的前提．
 

22.【答案】解：在中，，，
由，得．
答：发射台与雷达站之间的距离为；

在中，，，
由，得，
又，得，
．
答：这枚火箭从到的平均速度大约是． 

【解析】根据题意直接利用锐角三角函数关系得出求出答案即可；
根据题意直接利用锐角三角函数关系得出，再利用，求出的值，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．
 

23.【答案】证明：是的直径，
．
又，平分，
，．
又，
≌．

证明：，
．
又，
∽．
．
又，
是的切线．

解：由得，，，
又，
，
，
，
．
四边形是菱形．
，，
．
设，则，
由勾股定理；
，
，
，．
平分，
，
．
，
．
又，
∽．
．
设，则，，解得．
． 

【解析】利用角平分线的性质定理，可以得出，，再利用可证出：≌
利用相似三角形的判定可证出∽，从而得出，那么可以得到
利用中的结论先证出，可以得到，从而得出四边形是菱形，再求出∽，利用比例线段可求出的长，再利用菱形的面积公式可计算出菱形的面积．
本题利用了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定，还有勾股定理以及菱形面积公式等知识．
 

24.【答案】解：将点和点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，
，
设，
点在第一象限，
，
过点作轴交于点，
，
，
，
解得舍或，
；
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当在轴正半轴上时，，
，
，
，
、的中点为在直线上，
，
解得，
，，
，，，，
四边形的周长；
当在轴负半轴上时，，
，
，
，
、的中点为在直线上，
，
解得，
，，
，，，，
四边形的周长；
综上所述：四边形的周长为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴交于点，由题意可得，从而得到方程，求出即可求点；
设，，求出直线的解析式可知，用待定系数法求出直线的解析式为，分两种情况讨论：当在轴正半轴上时，由，求出，再由、的中点为在直线上，得到方程，求解，再求四边形的周长即可；当在轴负半轴上时，由，求出，再由、的中点为在直线上，得到方程，求解，再求四边形的周长即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．