浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高一数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前

2022学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一､单选题（本大题共8题，每小题5分，共40分小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，因此，.

故选：D.

2. “”是“”（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分性和必要性的概念直接求解即可.

【详解】因为，，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

3. 命题的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】存在量词（特称）命题的否定是全称量词命题.

【详解】由命题“”是存在量词命题，

则它的否定是全称量词命题：.

故选：A.

4. 已知，则下列不等式中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合特值，排除法得到正确选项；作差比较法或利用不等式的性质分析也可以解决问题.

【详解】法一：已知，，

令，，，，

则，，，故A项不正确；

又，，，故B项不正确；

而，故C项也不正确；

所以排除ABC.

法二：在两边同除以负数得，与A项矛盾；

，与B项矛盾；

由，又，，

故不一定小于，故C项不正确；

由得，，又，两式相乘得，

两边同除以负数可得，，故D项正确.

故选：D.

5. 化简后的结果为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据根式、指数幂运算求得正确答案.

【详解】.

故选：C

6. 下列大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数与幂函数单调性比较大小即可.

【详解】由幂函数在R上单调递增，则，

又指数函数R上单调递减，则.

则

故选：A.

7. 若正实数满足，则下列说法错误的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最大值为 D. 的最小值为

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断AD；利用配方法可判断B；举反例可判断C.

【详解】对于A，正实数满足，所以，可得，

当且仅当即等号成立，所以的最大值为，故A正确；   

对于B，因为，所以，

，

所以当时，有最小值，为，故B正确；

对于C，当时，，

且，即，故C错误；

对于D，因为正实数满足，所以

，当且仅当即，等号成立，

所以的最小值为，故D正确.

故选：C.

8. 已知函数，函数是定义在上的奇函数，若的图象与的图象交于四点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分别得到函数和都关于点成中心对称，根据两函数的对称性，结合题意，即可求解.

【详解】由函数，

因为，满足，

可得为定义域上的奇函数，图象关于原点对称，

所以函数关于点成中心对称，

又由函数是定义在上的奇函数，可得函数图象关于原点对称，

所以函数的图象关于点成中心对称，

因为若的图象与的图象交于四点，

根据对称性，不妨设与关于对称，与关于对称，

则且，

所以.

故选：B.

二､多选题（本大题共4题，每小题5分，共20分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 欧拉公式被称为“数学中最美的公式”.其中.如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，.例如.设此函数定义域为，值域为，则关于此函数，下列说法正确的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的定义即可求解定义域，值域，逐项判断即可.

【详解】根据函数的定义可知，定义域为，所以，故A正确；

值域为，所以，故B不正确；

因为则，故C正确；

由，可得，故D正确.

故选：ACD.

10. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；

【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；

②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；

故选：AC

11. 如图所示，函数的图象由两条线段组成，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A.

B.

C.

D. ，不等式的解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】先根据函数图象，求出函数的解析式，则可判断A错误B正确；

将去绝对值化为分段函数可判断C正确；

由图象判断若时，的解集为，则，由可判断D错误.

【详解】 

由函数的图象由两条线段组成可知，函数为分段函数，且过点，

当时， 设，

代入得，所以，

得，

当时，设，代入，

得，所以，故

故，

选项A：，故A错误；

选项B：，故B正确；

选项C：因为

所以当时，，

当时，，

故C正确；

选项D：由函数图象知，

若时，的解集为，则，

因，，故D错误.

故选：BC

12. 设函数，集合，则下列命题中正确是（    ）

A. 当时，

B. 当时，

C. 若，则的取值范围为

D. 若（其中），则

【答案】ABD

【解析】

【分析】当时，求出方程的解，可判断A选项；当时，由可判断B选项；令，，利用二次函数的零点分布求出的取值范围，可判断C选项；利用图象的对称性结合指数的运算可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，由可得，

又因为，当时，，此时，方程无解，

当时，由，解得，即，A对；

对于B选项，令，由可得，

当时，对于关于的方程，，

故方程无解，即，B对；

对于C选项，作出函数的图象如下图所示：

令，令，，

则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

若，对于函数，函数必有两个不等的零点，

设函数的两个不等的零点分别为、，且，则，即，

由韦达定理可得，则，有以下几种情况：

①，则，可得，

令，可得，，合乎题意；

②，则，解得；

综上所述，当时，实数的取值范围是，C错；

对于D选项，若，因为，则方程只有一根，

则方程必有三个不相等的实根，结合图象可知，，

，且有，所以，，可得，

由可得，可得，

因此，，D对.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

非选择题部分

三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

13. 设集合有且只有两个子集，则______________.

【答案】.

【解析】

【分析】

本题先将条件“集合有且只有两个子集”转化为“方程有且仅有1个解”，再建立方程求的值.

【详解】解：因为集合有且只有两个子集，

所以集合有且只有一个元素，

所以方程有且仅有1个解，

所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参数的值，是基础题.

14. 下列三个命题中，真命题的个数是__________个

①，②，③为函数的零点

【答案】

【解析】

【分析】对于①，配方后判断，对于②③举例判断即可

【详解】对于①，因为，所以①正确，

对于②，当时，，所以②错误，

对于③，当时，，所以1是函数的一个零点，因为，所以③正确，

所以真命题的个数是2个，

故答案为：2

15. 已知偶函数在上是减函数，且，则的解集为__________.

【答案】或

【解析】

【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解，再分定义域不含0、含0两种情况即可得出答案.

【详解】是偶函数，且，，

在上是减函数，且，当时，，

又函数是偶函数，其图象关于y轴对称，当时，，

当的定义域为时，的解集为；

当的定义域为时，

若，则的解集为；

若，则的解集为.

综上，不等式的解集为或.

故答案为：或.

16. 已知均为正实数，，则的最小值是__________.

【答案】4

【解析】

【分析】将看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助“1”的代换，适当变形后利用基本不等式求解即可.

【详解】设，，

原题转化为：已知，，且，求的最小值.

由.

当且仅当即时，等号成立.

所以的最小值为4.

故答案为：4.

【点睛】方法点睛：一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：

从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；

从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；

从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.

四､解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 设集合，集合或.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据补集和交集的概念求解即可；

（2）根据并集和集合间的包含关系求解即可.

【小问1详解】

，则或

所以.

【小问2详解】

由可得，

所以由题目可得或，

解得或.

所以的取值范围为或.

18. 已知函数

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）由分段函数，分别和解即可.

（2）由分段函数，分别和解即可.

【小问1详解】

当时，，解得或（舍去）；

当时，，解得.

所以的值为或

【小问2详解】

当时，，不符合题意，

，且，

解得.

所以的取值集合是.

19. 设函数

（1）若不等式的解集为，试求的值；

（2）若，求不等式的解集.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据不等式的解集确定1和3是方程的两个根，结合韦达定理即可求得答案；

（2）求出方程的两根为和2，分类讨论两根的大小，即可求得不等式解集.

【小问1详解】

由题意知1和3是方程的两个根，且，

即有，

解得.

【小问2详解】

，则不等式，即

即，

因为，方程的两根为和2，

所以：

①当，即时，不等式的解集为；

②当，即时，不等式的解集为；

③当且，即时，不等式的解集为.

20. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）

（1）求出的值，并将表示为的函数；

（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？

【答案】（1），   

（2）当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元

【解析】

【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；

（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.

【小问1详解】

由题知，时，，

于是，，解得.

所以，.根据题意，

即

所以

【小问2详解】

当且仅当，即时，等号成立.

所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.

21. 已知函数是定义在上奇函数

（1）求的值；

（2）判断在区间上的单调性，并证明；

（3）已知且，若对任意的，都有成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）增函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数；

（2）利用函数单调性的定义可证得结论成立；

（3）转化为即，分、可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

因为函数是定义域为的奇函数，

则，解得，

此时，

对任意的，即函数的定义域为，

，

即函数为奇函数，符合题意，

所以，；

【小问2详解】

任取且，则，

所以，

，所以，

所以函数在上增函数；

【小问3详解】

对于任意的，都有，

则，所以，

因为，则，当时，则有，

解得；当时，则有，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

22. 已知函数

（1）求的定义域和值域；

（2）设，求的最大值的最小值.

【答案】（1）定义域为，值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）解使各根式有意义的不等式组得出定义域，双根式函数的值域可以利用平方法求值域；

（2）换元法求复合函数的值域，换元后转化为二次函数轴动区间定最值问题，按对称轴与区间的关系分类讨论即可.

【小问1详解】

由且，得.

则函数的定义域为.

，且，

得，

则函数的值域为.

【小问2详解】

令，

可转化为函数

易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线.

①若，即，则；

②若，即，则；

③若，即，则.

综上可得

当时，，且等号取不到；

当时，；

故当时，取最小值，.