2023年湖南省益阳市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省益阳市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）四个实数﹣，0，2，中，最大的数是（　　）
A．﹣ B．0 C．2 D．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．（x3）2＝x5 C．（3x）2＝6x2 D．x3÷x＝x2
3．（4分）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
测量时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
收缩压（毫米汞柱）
151
148
140
139
140
136
140
舒张压（毫米汞柱）
90
92
88
88
90
80
88
对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（　　）
A．收缩压的中位数为139 B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142 D．舒张压的方差为
7．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　）

A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
8．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
10．（4分）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27%，将1590000用科学记数法表示为 　 　．
12．（4分）计算：＝　 　．
13．（4分）从1～10这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是 　 　．
14．（4分）分式方程的解是 　 　．
15．（4分）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 　 　．​

16．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB＝　 　°．
​
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为 　 　．​

18．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 　 　．​

三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：|﹣1|﹣（﹣）2﹣12×（﹣）．
20．（8分）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．

21．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
22．（10分）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意，根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
等级
人数
A
72
B
108
C
48
D
m
​请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生人数是多少？
（2）求图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？

23．（10分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．
（1）求∠ACB的度数；
（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若AC＝6，求的长．​

24．（10分）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA＝x，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yB＝﹣x2+2x．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．
（1）求证：△ADE≌△A′DG；
（2）求证：AF•GB＝AG•FC；
（3）若AC＝8，tanA＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．​

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
​

2023年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）四个实数﹣，0，2，中，最大的数是（　　）
A．﹣ B．0 C．2 D．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：∵﹣＜0＜＜2，
∴在实数﹣，0，2，中，最大的数是2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．（x3）2＝x5 C．（3x）2＝6x2 D．x3÷x＝x2
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A不符合题意；
B．（x3）2＝x6，故B不符合题意；
C．（3x）2＝9x2，故C不符合题意；
D．x3÷x＝x2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质是解答的关键．
3．（4分）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【解答】解：由轴对称图形定义可知D选项中的图形是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
4．（4分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：由x＝2≤0得x≤2，又x＞0，
则不等式组的解集为0＜x≤2．
A项代表0≤x＜2；
B项代表0＜x≤2；
C代表x＜0且x≥2；
D代表x＞0．
故选：B．
【点评】本题主要考查解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，解题的关键是注意＞，≥向右画；＜，≤向左画；同时还要注意“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（4分）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合学校用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵购进A，B两种劳动工具共145件，
∴x+y＝145；
∵A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．且购买这批劳动工具共花费1580元，
∴10x+12y＝1580，
∴根据题意可列出方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（4分）乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
测量时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
收缩压（毫米汞柱）
151
148
140
139
140
136
140
舒张压（毫米汞柱）
90
92
88
88
90
80
88
对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（　　）
A．收缩压的中位数为139 B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142 D．舒张压的方差为
【分析】分别根据中位数、众数、算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：把7天的收缩压从小到大排列，排在中间的数是140，故中位数是140，故选项A符合题意；
在7天的舒张压中，88出现的次数最多，所以舒张压的众数为88，故选项B不符合题意；
收缩压的平均数为：（151+148+140+139+140+136+140）＝142，故选项C不符合题意；
舒张压的平均数为（90+92+88+88+90+80+88）＝88，
舒张压的平均数为[2×（90﹣88）2+（92﹣88）2+（80﹣88）2+3×（88﹣88）2＝，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了方差、算术平均数，中位数以及众数，掌握相关统计量的定义以及计算方法是解答本题的关键．
7．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　）

A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，
∴AC＝5，
∴sin∠BAC＝＝，
故选：C．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．
9．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【解答】解：A选项，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故该选项符合题意；
B选项，a2+ab+a＝a（a+b+1），故该选项不符合题意；
C选项，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故该选项不符合题意；
D选项，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故该选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
10．（4分）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
【分析】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，
∴图象经过第一、二、三象限，
故A不正确；
当x＝0时，y＝1，
∴图象与y轴交于点（0，1），
故B正确；
∵一次函数y＝x+1中，k＞0，
∴函数值y随自变量x的增大而增大，
故C不正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当x＞﹣1时，y＞0，
故D不正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27%，将1590000用科学记数法表示为 　1.59×106　．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：1590000＝1.59×106，
故答案为：1.59×106．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
12．（4分）计算：＝　10　．
【分析】根据二次根式的乘法法则和性质进行运算即可．
【解答】解：＝＝＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则并能利用二次根式的性质化简是解题的关键．
13．（4分）从1～10这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是 　　．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可得：在1～10中共有10个整数，
3的倍数只有3，6，9，共3个，
∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
14．（4分）分式方程的解是 　x＝﹣2　．
【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程后再求解，然后进行检验，可得结果．
【解答】解：，
方程两边同乘x（x﹣2），去分母得4x＝2（x﹣2），
解这个整式方程得x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入x（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】此题主要是考查了解分式方程，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意要检验．
15．（4分）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 　y＝﹣3　．​

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由题意，将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣3．
故答案为：y＝﹣3．
【点评】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
16．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB＝　120　°．
​
【分析】根据多边形的内角和及正多边形的性质计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为 　2　．​

【分析】先根据正方形的性质得到AD＝AB＝4，∠A＝90°，AE＝2，则利用勾股定理可计算出DE＝2，再根据旋转的性质得到DE＝DF＝2，∠EDF＝90°，然后利用△DEF为等腰直角三角形得到EF＝DE．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝4，∠A＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝2，
∴DE＝＝＝2，
∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，
∴DE＝DF＝2，∠EDF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 　4　．​

【分析】延长NM交AD于点Q，再判定四边形CDQN是平行四边形，最后根据三角形的中位线的性质求解．
【解答】解：延长NM交AD于点Q，
由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，
∴DM＝ME，
∴MN∥AB，
∴DQ＝AQ，CN＝BN，
∴QM＝2，
在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，
∴四边形CDQN是平行四边形，
∴QN＝CD＝AB＝6，
∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4．
故答案为：4．


【点评】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的性质和三角形的中位线的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：|﹣1|﹣（﹣）2﹣12×（﹣）．
【分析】先根据绝对值、乘方和有理数的乘法对原式进行化简，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3+4
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
20．（8分）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．

【分析】由平行线的性质可得∠MFD的度数，再根据补角定义得∠GEF的的度数，最后由三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠MFD＝∠1＝122°，∠MFD＝∠AEF，∠2＝∠AEG，
∵GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF＝180°﹣∠MFD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°．
【点评】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
21．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先将括号内通分，同时把除法变成乘法，再约分化简，把x的值代入可得结果．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝．
当x＝﹣1时，原式＝．
【点评】此题主要是考查了分式的化简求值，二次根式的运算，能够熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．（10分）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意，根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
等级
人数
A
72
B
108
C
48
D
m
​请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生人数是多少？
（2）求图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？

【分析】（1）首先根据C的人数和所占总数的比例，求出总人数；
（2）再根据图中获取信息求出m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
（3）最后根据A，B等级的学生所占比例，可得A，B等级的学生共有多少人．
【解答】解：（1）根据条形图可知：C的人数是48人，所以本次被调查的学生人数是48÷20%＝240人；
（2）m＝240﹣72﹣108﹣48＝12，n＝108÷240＝45%，
扇形统计图中A等级对应的圆心角度数＝＝108°；
（3）∵该校共有学生1200人，
∴估计满意度为A，B等级的学生共有＝900人．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．解题关键是抓住每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
23．（10分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．
（1）求∠ACB的度数；
（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若AC＝6，求的长．​

【分析】（1）根据切线的性质及角的和差求出∠OBC＝30°，再根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）根据圆的有关性质得出∠DCM＝∠BCM＝30°，DM＝BM，根据三角形内角和定理求出∠CAB＝30°＝∠ACB＝∠DCM，进而推出AB＝BC，AB∥CD，根据圆周角定理得出∠CDM＝∠CBM＝90°，利用HL证明Rt△CDM≌Rt△CBM，根据全等三角形的性质推出CD＝AB，结合AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝BC，进而判定四边形ABCD是菱形；
（3）根据菱形的性质及等腰三角形的性质推出∠DAC＝30°，∠ODC＝30°，根据三角形内角和定理及角的和差推出∠ADC＝120°，∠ADO＝90°，∠COD＝120°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC＝2，再根据弧长计算公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接OB，

∵线段AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠ACB＝∠OBC＝30°；
（2）四边形ABCD是菱形，理由如下；
连接BM，DM，

∵的中点为M，
∴∠DCM＝∠BCM＝30°，DM＝BM，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠CAB＝30°＝∠ACB＝∠DCM，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∵MC为⊙O的直径，
∴∠CDM＝∠CBM＝90°，
在Rt△CDM和Rt△CBM中，
，
∴Rt△CDM≌Rt△CBM（HL），
∴CD＝CB，
∴CD＝AB，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）如图，连接OD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝120°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝120°，
∴OA＝2OD＝2OC，
∵AC＝OA+OC＝6，
∴OC＝2，
∴的长＝＝π．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式等知识，熟练运用切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式并作出合理的辅助线是解题的关键．
24．（10分）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA＝x，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yB＝﹣x2+2x．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【分析】（1）把x＝10代入yA＝，从而求得结果；
（2）当x＝m时，yA＝yB，，从而求得结果；
（3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32﹣t），一年后获利为W万元，列出关系式W＝＝﹣，进一步得出结果．
【解答】解：（1）当x＝10时，yA＝（万元），
答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元；
（2）由题意得：当x＝m时，yA＝yB，
∴
∴m1＝8，m2＝0（舍去），
∴m＝8；
（3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32﹣t），一年后获利为W万元，
由题意得，
W＝＝﹣，
∴当t＝4时，W最大＝16，
32﹣t＝28，
∴投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关系式．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．
（1）求证：△ADE≌△A′DG；
（2）求证：AF•GB＝AG•FC；
（3）若AC＝8，tanA＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．​

【分析】（1）利用ASA证明；
（2）要证AF•GB＝AG•FC，也就是证明△FAC∽△GAB，但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明△AFG∽△ACB即可．
（3）设DE＝DG＝x，利用S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠AGA'＝90°，∠A'+∠AGA'＝90°，
∴∠A＝∠A'，
∵AD＝A'D，∠ADE＝∠A'DG＝90°，
∴△ADE≌△A′DG（ASA）；
（2）证明：∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠FAG＝∠CAB，
∴△AFG∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∵∠FAC＝∠GAB，
∴△FAC∽△GAB，
∴＝，
∴AF•GB＝AG•FC；
（3）解：∵tanA＝＝＝，AC＝8，
∴BC＝4，
∴S△ACB＝16，
设DE＝DG＝x，则AD＝A'D＝2x，AE＝A'G＝x，
∴A'E＝A'D﹣DE＝2x﹣x＝x，
∴S△ADE＝S△A′DG＝x2，
∵△A'FE∽△A'DG，
∴＝，
∴S△A'FE：S△A'DG＝1：5，
∴S四边形DGFE＝S△A'DG＝x2，
∵S△ACB＝S△ADE+S四边形DCBE，A′G平分四边形DCBE的面积，
∴S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE，
∴16＝x2+x2，
x2＝
∴x1＝，x2＝﹣（舍），
∴AD＝．
【点评】本题考查了三角形全等和相似，对应（3），设DE＝DG＝x，利用什么等量关系建立方程是关键．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
​
【分析】（1）解方程a（x+2）＝0；
（2）表示出点A，B′，C的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；
（3）直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，分别求出a的范围．
【解答】解：（1）令y＝a（x+2）＝0，得x＝﹣2，
A点的坐标为（﹣2，0）；
（2）联立直线l：y＝a（x+2）与抛物线E：y＝ax2得：
，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣1或x＝2，
∴B（﹣1，a），C（2，4a），
∵B点关于x轴的对称点为B′点，
∴B'（﹣1，﹣a），
∴AB'2＝（﹣2+1）2+（0+a）2＝a2+1，
AC2＝（2+2）2+（4a﹣0）2＝16a2+16，
B'C2＝（2+1）2+（4a+a）2＝25a2+9，
若∠CAB'＝90°，则AB'2+AC2＝B'C2，即a2+1+16a2+16＝25a2+9，所以a＝1，
若∠AB'C＝90°，则AB'2+B'C2＝AC2，即a2+1+25a2+9＝16a2+16，所以a＝，
若∠ACB'＝90°，则AC2+B'C2＝AB'2，即16a2+16+25a2+9＝a2+1，此方程无解．
∴a＝1或a＝．
（3）如图，直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，
∵D（0，2a），E（1，a），F（1，3a），
∴OD＝EF＝2a，
∵格点数恰好是26个，
∴落在y轴和直线x＝1上的格点数应各为13个，
∴落在y轴的格点应满足13＜2a≤14，即＜a≤7，
①若＜a＜7，则即＜yE＜7，所以线段EF上的格点应该为（1，7），（1，8）……（1，19），
∴19＜3a≤20
∴＜a≤
∴＜a≤
②若a＝7，yE＝7，yF＝21，所以线段EF上的格点正好13个，
综上，＜a≤或a＝7．

【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并与直角三角形和新定义结合，关键是弄清格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，并对点D、F进行定位．
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