2024届高考一轮复习学案重难点08 七种数列数学思想方法（核心考点讲与练）

重难点08 七种数列数学思想方法（核心考点讲与练）

题型一：函数与方程思想

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）数列满足：，则（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，，记数列的前项和为，则（       ）

A．时，是递减数列 B．时，是递增数列

C．时， D．时，

3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，若是公差为d（）的等差数列，则（       ）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江·高三阶段练习）已知各项都为正数的数列满足，，给出下列三个结论：①若，则数列仅有有限项；②若，则数列单调递增；③若，则对任意的，陼存在，使得成立．则上述结论中正确的为（       ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二、多选题

5．（2022·全国·高三专题练习）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则数列有最大项

B．若数列有最大项，则

C．若数列对任意的，恒成立，则

D．若对任意的，均有，则恒成立

6．（2020·全国·高三专题练习）等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差，和是函数的极值点，则下列说法正确的是（       ）

A．－38 B． C． D．

三、填空题

7．（2022·全国·高三专题练习）已知：为整数且，则n的最小值为_____________．

8．（2022·浙江·龙港中学高三阶段练习）等差数列满足，则的取值范围是______．

9．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．

10．（2022·全国·高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为______人．

四、解答题

11．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．

(1)求数列的通项公式：

(2)设，求数列的最大项．

12．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上.

(1)求的值；

(2)当时，记，求数列的前项和；

(3)由（2），是否存在最小的整数，使得对于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

题型二：数形结合思想

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2020·黑龙江·牡丹江一中高三阶段练习（理））定义.若函数，数列满足（），若是等差数列，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题

3．（2020·全国·高三专题练习）已知，（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围为______.

4．（2020·山西长治·高三阶段练习（理））定义R在上的函数为奇函数，并且其图象关于x＝1对称；当x∈（0，1]时，f（x）＝9x﹣3．若数列{an}满足an＝f（log2（64+n））（n∈N+）；若n≤50时，当Sn＝a1+a2+…+an取的最大值时，n＝_____．

题型三：分类与整合思想

一、单选题

1．（2022·北京·北大附中高三开学考试）在等比数列中，，记（，2，…）.则数列（       ）

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

2．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项，其前项和为，则S18为（       ）

A．173 B．174 C．175 D．176

3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为（       ）

A．32 B．43 C．34 D．35

4．（2022·全国·高三专题练习）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（       ）

A．3976 B．3974

C．3978 D．3973

二、多选题

5．（2021·江苏常州·高三阶段练习）数列满足，，其前项和为，下列选项中正确的是（       ）

A．数列是公差为的等差数列 B．除以的余数只能为或

C．满足的的最大值是 D．

三、填空题

6．（2022·全国·高三专题练习）已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为___________.

四、解答题

7．（2022·北京·二模）已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.

(1)若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；

(2)若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；

(3)若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.

8．（2022·福建宁德·模拟预测）设数列{}的前n项和为，.数列为等比数列，且成等差数列.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若，求的最小值.

题型四：转化与划归思想

一、单选题

1．（2022·河南·模拟预测（文））设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（       ）

A． B．

C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值

2．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（       ）（取，）

A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元

3．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项的和为，已知，若，则（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，对于任意，，，不等式恒成立，则的取值可以是（       ）

A．1 B．2 C． D．4

6．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（       ）

A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”

B．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差

C．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”

D．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足

三、填空题

7．（2021·河南新乡·高三阶段练习（文））设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递减数列，是的间隔数．已知，若是间隔递减数列，且最小间隔数是，则的取值范围是________．

8．（2020·江苏省板浦高级中学高三期末）记为数列的前项和，若，，则______.

9．（2022·全国·高三专题练习）设，记最接近的整数为，则__________；__________．(用表示)

四、解答题

10．（2022·浙江温州·三模）数列满足，.

(1)证明：；

(2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.

11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，且对任意，，有.

(1)求的通项公式；

(2)已知，，且满足，求，；

(3)若（其中对任意恒成立，求的最大值.

题型五：特殊与一般思想

一、单选题

1．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知数列中，前项和满足，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则（       ）

A．1 B．98 C． D．198

二、多选题

3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，使的可以是（       ）

A．2019 B．2021 C．2022 D．2023

三、填空题

4．（2022·四川成都·三模（理））已知数列满足，，则的值为______．

5．（2022·陕西咸阳·三模（文））观察下列等式

照此规律，第n个等式为______．

四、解答题

6．（2022·北京·人大附中高三阶段练习）已知为无穷数列，给出以下二个定义：

I.若对任意的，总存在i，且，使成立，则称为“H数列”；

II.若为“H数列”，且对任意的，总存在唯一的有序数对使成立，则称为“强H数列”；

(1)若，判断数列是否为“H数列”，说明理由；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得数列存在且不为常数列，求同时满足所选两个条件的所有数列的通项公式

条件①：为等差数列；

条件②：为等比数列；

条件③：为“强H数列”．

7．（2022·全国·高三专题练习）设有数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为，并称数列具有性质.

(1)若，数列： 具有性质 ， 求实数 的取值范围；

(2)若，数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列不具有性质，设，试判断数列是否具有性质，并说明理由；

(3)若数列具有性质，当 时， 都为单元素集合，求证：数列是等差数列.

8．（2021·全国·高二专题练习）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．

①，，，，…；②－3，7，－15，31，…；③2，6，2，6，….

题型六：有限与无限思想

一、单选题

1．（2022·浙江台州·高三期末）已知在数列中，，命题对任意的正整数，都有．若对于区间中的任一实数，命题为真命题，则区间可以是（       ）

A．           B．        C．      D．

2．（2021·全国·高三专题练习）《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（       ）

A．1＋           B．

C．                 D．

3．（2020·浙江·高三阶段练习）已知正项数列，满足，，，则下列说法正确的是（       ）

A．存在有理数a，对任意正整数m，都有

B．对于任意有理数a，存在正整数m，使得

C．存在无理数a与正整数m，使得

D．对于任意无理数a，存在正整数m，使得

二、多选题

4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

5．（2021·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.

四、解答题

6．（2022·北京·高三专题练习）若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：

①（n=1，2，3......）

②对任意的正数，都存在正整数N，使得.

(1)若，（n=1，2，3......），判断数列{}，{}是否是无界数列；

(2)若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；

(3)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.

7．（2022·全国·高三专题练习）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点（，2，…），使，，，…组成公差为d的等差数列，求a的取值范围．

8．（2020·全国·高三专题练习）已知数列满足：（常数），（，）.数列满足：（）.

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由.

题型七：或然与必然思想

一、单选题

1．（2022·浙江·模拟预测）己知数列满足：，．记数列的前项和为，则（       ）

A． B．

C． D．

二、解答题

2．（2021·北京丰台·二模）设数集S满足：①任意，有；②任意，有或，则称数集S具有性质P.

（1）判断数集是否具有性质P，并说明理由；

（2）若数集且具有性质P.

（i）当时，求证：是等差数列；

（ii）当不是等差数列时，写出n的最大值.(结论不需要证明)