初中数学苏科版八年级下册11.2 反比例函数的图象与性质精品同步测试题

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11.1-11.2 反比例函数 反比例函数的图象与性质

反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠o）的函数称为反比例函数。
【注意】1）反比例函数y=kx的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
2）变式xy=k（定值）、、 （k≠0）
反比例函数解析式的特征:
1）等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.
2）比例系数k≠0
3）自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数。
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）：
1）设反比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。
反比例函数的性质：

反比例函数图象的特征：
1）反比例函数的图像是双曲线，双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
2）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形。
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．
②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上。
3）k的取值与函数图象弧度之间的关系： ①|k|越大，图象的弯曲度越小，离原点越远。
②|k|越小，图象的弯曲度越大，离原点越近。
 
【题型一】判断反比例函数
【典题】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）下列函数中不是反比例函数的是（    ）
A． B． C．xy＝1 D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可．
【详解】解：∵形如是y关于x的反比例函数，也可表示为或，
∴A、B、C中，，均为反比例函数，不符合题意；
D中，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的表达式．解题的关键在于掌握反比例函数表达式的形式．
巩固练习
1．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义（一般地，形如（是常数，）的函数叫做是的反比例函数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是正比例函数，则此项不符题意；
B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意；
C、叫做是的反比例函数，则此项符合题意；
D、是正比例函数，则此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟记定义是解题关键．
2．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）下列函数不是反比例函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可.形如：y＝ ()或或的函数是反比例函数．
【详解】A. ，是反比例函数，不符合题意；
B. ，是反比例函数，不符合题意；    
C. ，不是反比例函数，符合题意；    
D. ，是反比例函数，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．
【题型二】反比例函数的图象与性质
【典题】（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）已知反比例函数y，下列结论中，不正确的是(   )
A．图象必经过点（1，2） B．y的值随x值的增大而减小
C．图象在第一、三象限内 D．若x＞1，则0＜y＜2
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积=k，可以判断出A的正误；根据反比例函数的性质：k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可判断出B、C、D的正误．
【详解】解：A、反比例函数y，所过的点的横纵坐标之积=2，故此选项不符合题意；
B、反比例函数y，在每一象限内y随x的增大而减小，故此选项符合题意；
C、反比例函数y，图象在第一、三象限内，故此选项不合题意；
D、反比例函数y，当x＞1时图象在第一象限，y随x的增大而减小，故x＞1时0＜y＜2；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是熟练掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
巩固练习
1．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）已知反比例函数的图像分别位于一、三象限，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用反比例函数的性质结合图像分布，进而得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图像分别位于一、三象限，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图像是双曲线，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．注意：反比例函数的图像与坐标轴没有交点．正确掌握反比例函数图像分布规律是解题关键．
2．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出的取值范围是解题的关键．
3．（ê）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据各项中图像的位置判断k的符号是否相同，由此进行判断．
【详解】解：A、中k>0，中k<0，故不符合题意；
B、中k<0，中k＜0，故符合题意；
C、中k<0，中k>0，故不符合题意；
D、中k<0且与y轴交于正半轴，中k<0，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键．
4．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）已知是反比例函数，则函数的图象在（    ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义可得再求解m的值，从而可得答案．
【详解】解： 是反比例函数，

解得：
∴反比例函数为：
∴函数的图象在第一，三象限．
故选C
【点睛】本题考查的是反比例函数的定义与图象，掌握“反比例函数的定义及图象分布的象限”是解本题的关键．
5．（ê）（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用反比例函数关于原点中心对称，设A点（a，），则C点（-a，），由坐标的特征便可计算△ABC面积；
【详解】解：∵反比例函数图象上任意一点（x，y）关于原点的对称点（-x，-y）也在函数图象上，
∴反比例函数关于原点对称，
设A点（a，），则C点（-a，），
∵AB=，C点到AB的距离为2a，
∴△ABC面积=，
故选： C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键．
6．（ê）（2022春·江苏南京·八年级期末）已知点（－2，a）（2，b）（3，c）在函数（k为常数）的图像上，则下列判断正确的是（　 　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【详解】∵＞0，
∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜2＜3，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性比较大小，熟记函数性质，判断每个象限内的特点是解题关键．
7．（ê）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（  ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质进行分析即可．
【详解】解：在反比例函数中，k2+2＞0．
A、该反比例函数图象经过第一、三象限，则当x＞0时，y＞0，结论不正确，不符合题意；
B、该反比例函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，结论不正确，不符合题意；
C、该反比例函数图象经过第一、三象限，结论不正确，不符合题意；
D、图象关于直线y=-x对称，结论正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质判断．
8．（ê）（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）若反比例函数的图象上有两点，，则，的关系是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数解析式可得，反比例函数图象在二、四象限，据此即可判断的符号，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象上有两点，，
∴，则反比例函数图象在二、四象限，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数的图象所在的象限是解题的关键．
9．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）已知点A（-2，），B（-1，），C（3，）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，，的值，进行比较后即可得出结论．
【详解】解：令反比例函数中x＝−2，则，
令反比例函数中x＝−1，则，
令反比例函数中x＝3，则，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出、、．
【题型三】已知反比例函数比例系数求特殊图形面积
【典题】（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，则的面积等于（    ）

A．1.5 B．2 C．3 D．6.5
【答案】A
【分析】延长BA与y轴交于点C，
根据反比例函数k的几何意义可得：，根据即可求解．
【详解】解：如图，延长BA与y轴交于点C，

根据反比例函数k的几何意义可得：
，
所以=1.5．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
巩固练习
1．（êê）（2022春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期中）点P，Q，R在反比例函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为，，．若，，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设，则点P ，Q，R，再根据，求出k值，进而求出．
【详解】解：设，则点P ，Q，R，
∵，
∴，
解得k=18，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
2．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（    ）

A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【答案】C
【分析】分别假设点M在和上，即可得出△MON面积可能的值．
【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．
3．（ê）（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，直线y＝m与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】由题意可得A，B两点坐标，进而得出AB=，再根据面积公式即可求出△ABC的面积.
【详解】解：由题意，得：
A，B两点纵坐标为m，
代入反比例函数，得：
A点坐标为（，m），B点坐标（-，m），
∴AB=，
∴S△ABC=××m=4．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，两点间距离公式以及三角形求面积，利用数形结合的思想解决本题是关键.
【题型四】根据图形面积求比例系数
【典题】（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，点A在反比函数的图象上，若矩形ABOC的面积为4，则k的值为（    ）

A．4 B．-4 C．8 D．-8
【答案】A
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可．
【详解】∵点A在反比函数的图象上，且矩形ABOC的面积为4，
∴．
∵该反比例函数图象位于第一象限，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数的图象上任一点，作x轴、y轴的垂线形成的矩形的面积为是解题关键．
巩固练习
1．（êê）（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴，垂足为H，连接OA，已知△AOH的面积是6，则k的值是（    ）

A．3 B． C．12 D．
【答案】D
【分析】先设出A点的坐标，由△AOH的面积可求出xy的值，即，即可求出反比例函数的待定系数．
【详解】解：设A点坐标为，
由图可知A点在第二象限，
∴，，
又∵ AB⊥x轴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，熟练掌握反比例函数的待定系数k的几何意义是解题的关键．
2．（êê）（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点A在函数的图像上，轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数的图像交于点D，连接AC，CB，BD，DA，若四边形ACBD的面积等于，则k的值为（　　　）

A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，所以面积=对角线乘积的一半即可．
【详解】解：设A（a，），
∵轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，
∴CDx轴，C（0，）
∴点D纵坐标为，
∵点D在函数的图像上，
∴当y=时，x=2a，
∴D（2a，），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=AB•CD=×2a×=2，
解得k=2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点D的坐标．
3．（êê）（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数，的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为9， ．则k的值为（　　）

A．-9 B．3 C．﹣6 D．﹣3
【答案】C
【分析】由反比例函数系数k的几何意义可得S矩形AEOM=6，S矩形OEBN=|k|=-k，根据三角形的面积公式可得，进而求出S△ADB=6，再求出S矩形ABNM和S矩形OEBN即可．
【详解】解：如图，过点A、点B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N，

∵点A，B分别在函数，的图象上，
由反比例函数系数k的几何意义可知，
∴S矩形AEOM=6，S矩形OEBN=|k|=-k，
又∵，而S△ABC=9，
∴S△ADB=6，
∵S△ADB=S矩形ABNM，
∴S矩形ABNM=2S△ADB=12，
∴S矩形OEBN=12-6=6=-k，
∴k=-6，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
4．（êê）（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，连接AN，根据题意得出AC∥y轴，可知S△AOC=S△ABC，即可得出S矩形AMNC=S平行四边形ABCD，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出▱ABCD的面积为k1k2．
【详解】解：作轴于，轴于，连接，
则四边形AMNC是矩形，

∵的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，
∴轴，
∴，
∴，
由反比例函数系数的几何意义可知，矩形的面积为，
∵，，
∴的面积为，
故选：D.
【点睛】本题考查了解析式的性质，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握平行四边形的性质、反比例函数系数k=xy是解题的关键．
5．（êê）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的面积为8，点在轴上，点在反比例函数的图象上，则的值为（）

A．－2 B．－4 C．－8 D．4
【答案】B
【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．
【详解】解：连接AC，交y轴于点D，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，且CD＝AD，BD＝OD，
∵菱形OABC的面积为8，
∴△CDO的面积为2，
∴|k|＝4，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，
则k＝﹣4．
故选：B．

【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及菱形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
【题型五】求反比例函数解析式
【典题】（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个函数的表达式；
(2)点B（10，）， C（-3，-5）是否在这个函数的图象上?
【答案】(1)反比例函数解析式为y=；
(2)点B（10，）在这个函数的图象上，点C（-3，-5）不在这个函数的图象上．

【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）把点B（10，），C（-3，-5）分别代入y=（k≠0），即可判断．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，6）．
∴k=2×6=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）解：∵10×=12，-3×（-5）=15，
∴点B（10，）在这个函数的图象上，
点C（-3，-5）不在这个函数的图象上．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（êê）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点为．

(1)求反比例函数函数表达式；
(2)根据图象，直接写出当时，反比例函数的取值范围；
(3)根据图象，直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）将点P（m，3）代入y1=2x可求出m的值，进而确定点P的坐标，将点P的坐标代入反比例函数关系式，求出k的值即可；
（2）根据x的取值范围通过计算得出y的取值范围；
（3）根据两个函数的图象的交点坐标即可得出答案．
（1）
解：（1）将点P（m，3）代入y1=2x，得3=2m，
∴m＝，
∴P(，3)，
∴k＝×3＝，
∴反比例函数表达式为y2＝；
（2）
解：当x=2时，y2=，当x=1时，y2=，
因此当2＜x＜1时，y2的取值范围是＜y2＜−，
答：反比例函数y2的取值范围是＜y2＜−；
（3）
解：∵反比例函数图象是中心对称图形，P(，3)，
∴正比例函数的图象与反比例函数的图象另一个交点为（，-3），
∴由图象可知：当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x＞或−＜x＜0，
答：当y1＞y2时，自变量x的取值范围x＞或−＜x＜0．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，理解反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
2．（êê）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，直线y＝k1x＋b与双曲线交于A、B两点，点A(－2，1)，B(m，－3)，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．
【答案】(1)，（，-3）
(2)

【分析】（1）利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，即可得出点D的坐标，然后利用三角形面积公式根据S△AOB=S△AOD+S△BOD即可得出结论．
（1）
解：∵点A在双曲线上，A（-2，1），
∴k2=-2×1=-2，
∴双曲线的解析式为，
∵点B（m，-3）在双曲线上，
∴，
∴m=，
∴B（，-3）；
（2）
将点A（-2，1），B（，-3）代入直线y=k1x+b中得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
令x=0，则y=-2，
∴D（0，-2），
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求出交点的坐标是解本题的关键．
3．（êê）（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，一次函数的图像与反比例函数（为常数且）的图像交于，两点，与轴交于点．

(1)求此反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式求出a的值，再把A（-1，4）代入反比例函数关系式中，求出k的值即可；
（2）分别求出B、C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据列出方程求解即可．
（1）
（1）把点A（－1，a）代入y＝x+5，得a＝4，  
∴A（－1，4），代入
∴k=－4，
∴反比例函数的表达式为y=－；
（2）
把B（b，1）代入反比例函数y=－，
解得：b＝－4，
∴B（－4，1），
当y＝x+5＝0时，得x＝－5，       
∴点C（－5，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝×5×4－×5×1＝，，
∴×4×│x－(－5)│＝×＝3，   
解得或，
∴点P（，0）或（，0）．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．