【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-期末专项复习5 八下特殊四边形存在性问题专项训练.1

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期末专项复习5 八下特殊四边形的存在性问题专项训练
1．（2022春•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），E为直线AC上一动点，连OE，过E作GF⊥OE，交直线BC、直线OA于点F、G，连OF．
（1）求直线AC的解析式．
（2）当E为AC中点时，求CF的长．
（3）在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设直线AC的解析式：y＝kx+b，将A，C两点坐标代入，进而求得结果；
（2）设CF＝x，可证得△CEF≌△AEG，进而在Rt△COF中，根据勾股定理列出方程，进一步求得结果；
（3）当以OF，OG为边时，根据（2）可求得点F和点G坐标，进而求得点P横坐标；当以OG，FG为边时，延长OF至P，使PF＝OF，在OC的延长线上截取CQ＝OC＝2，连接PQ，
可推出OF平分∠CFG，从而得出OE＝OC＝2，可证得△AOC≌△OQP，进而求得点F点坐标，在Rt△EOG中，根据勾股定理列出方程，进一步可求得F点横坐标；当OF，FG为边时，作FH⊥OG于H，连接CH，作HQ⊥AC与Q，可推出CH平分∠ACO，设OH＝a，在Rt△AHQ中，根据勾股定理可求得a，进而求得点P横坐标．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），
∴点A（4，0），点C（0，2），
设直线AC的解析式：y＝kx+b（k≠0），
代入点A，C坐标，
得，
解得，
∴直线AC解析式：y＝x+2；
（2）∵E为AC的中点，
∴CE＝AE，
在矩形OABC中，BC∥OA，
∴∠FCE＝∠GAE，
又∵∠CEF＝∠AEG，
∴△CEF≌△AEG（ASA），
∴EF＝EG，CF＝AG，
∵OE⊥FG，
∴OE为线段FG的垂直平分线，
∴OF＝OG，
设CF＝x，则AG＝x，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴OG＝4﹣x，
∴OF＝4﹣x，
在Rt△OCF中，根据勾股定理，
得22+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CF＝；
（3）存在以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：
①以OG，OF为边，
则OF＝OG，
∵GF⊥OE，
∴E为FG的中点，
由（2）可知点F（，2），点G（，0），
根据平移的性质，可得点P的坐标为（4，2），
∴点P的横坐标为4；
②如图1，

以OG，FG为边，OG＝FG，
延长OF至P′，使P′F＝OF，在OC的延长线上截取CQ＝OC＝2，连接P′Q，
∴CF＝，CF∥P′Q，
∴∠P′QO＝∠FCO＝90°，
∵OG＝FG，
∴∠GOF＝∠GFO，
∵BC∥OA，
∴∠CFO＝∠FOG，
∴∠CFO＝∠GFO，
∵∠BCO＝∠OEF，
∴OE＝OC＝2，
同理可得：CF＝EF，
∴OF⊥CE，
∴∠COF+∠ACO＝90°，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠COF＝∠CAO，
∵∠P′QO＝∠AOC＝90°，OQ＝OC＝4，
∴△AOC≌△OQP′（ASA），
∴P′Q＝OC＝2，
∴CF＝1，
设OG＝FG＝a，
在Rt△EOG中，OE＝OC＝2，EG＝FG﹣EF＝a﹣1，OG＝a，
∴a2﹣（a﹣1）2＝22，
∴a＝，
∴G（，0），F（1，2），
∵1﹣＝﹣，
∴P点横坐标为：﹣；
如图2，

以OF，FG为边，OF＝FG，
作FH⊥OG于H，连接CH，作HQ⊥AC与Q，
可得∠OFG＝∠ACO，∠OCH＝∠OFG，
∴CH平分∠ACO，
∴OH＝HQ，CE＝OC＝2，
设OH＝a，
在Rt△AHQ中，HQ＝x，AH＝4﹣x，AQ＝AC﹣CQ＝2﹣2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝（2﹣2）2，
∴x＝﹣1，
∴F（﹣1，2），
∴P（﹣1，﹣2），
综上所述：P点横坐标为：4或﹣或﹣1．
【点评】本题考查了矩形性质，菱形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是寻找数量关系，用勾股定理方程．
2．（2022春•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（0，2），B（4，2），点D为对角线OB中点，点E在x轴上运动，连结DE，把△ODE沿DE翻折，点O的对应点为点F，连结BF．
（1）当点F在第四象限时（如图1），求证：DE∥BF．
（2）当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长．
（3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由三角形外角和定理和折叠的性质可得∠DBF＝∠DFB，∠ODF＝2∠DFB＝2∠EDF，能够推导出∠DFB＝∠EDF，从而可证明DE∥BF；
（2）①当ED⊥OC时，此时F点与C点重合，EF＝CO＝2；②当F点与B点重合时，在Rt△BCE中，BE2＝（4﹣BE）2+22，求得EF＝；
（3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形DEFB为平行四边形时，E（，0）；当四边形DEBF为平行四边形时，E（3，0）；当四边形DEBF为平行四边形时，E（5，0）．
【解答】（1）证明：由折叠可知，∠ODE＝∠EDF，OD＝DF，
∵点D为OB中点，
∴OD＝BD，
∴DF＝BD，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴∠ODF＝2∠DFB＝2∠EDF，
∴∠DFB＝∠EDF，
∴DE∥BF；
（2）解：①当ED⊥OC时，OE＝EF，
此时F点与C点重合，
∴EF＝CO，
∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OC＝4，
∴EF＝2；
②如图1，当F点与B点重合时，OE＝EF，EC＝4﹣OE，
在Rt△BCE中，BE2＝EC2+BC2，即BE2＝（4﹣BE）2+22，
解得BE＝，
∴EF＝；
综上所述：EF的长为2或；
（3）解：在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
如图2，当四边形DEFB为平行四边形时，DB∥EF，且BD＝EF，
∵OE＝EF，BD＝DO，
∴OE＝OD，
∵D是OB的中点，B（4，2），
∴D（2，1），
∴OD＝，
∴E（，0）或（﹣，0）；
如图3，当四边形DEBF为平行四边形时，DF＝BE，
∵OD＝DF，
∴OD＝BE，
∴BE＝，
在Rt△BEC中，EC＝1，
∴E（3，0）；
如图4，当四边形DEBF为平行四边形时，DF＝BE，
∵OD＝BD＝DF，
∴BE＝OD＝，
在Rt△BCE中，CE＝1，
∴E（5，0）；
综上所述：E点坐标为（，0）或（﹣，0）或（3，0）或（5，0）．




【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，数形结合解题是关键．
3．（2022春•南浔区期末）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，△AOD的顶点A在x轴上，点A的坐标是（2，0），点D的坐标是（，1），作点D关于x轴的对称点B，连结OB，AB，BD．
（1）求点B的坐标和∠BOD的度数；
（2）如图2，将点A绕点O逆时针转动α度（0＜α＜90°）得到点P，点G是平面内一点，以P、B、D、G为顶点形成的四边形为平行四边形．
①当该平行四边形为菱形且BD是其一边时，求点G的坐标；
②当△BOD内部（包含边界）存在满足条件的点G时，直接写出点P的横坐标的取值范围．


【分析】（1）根据点B和点D关于x轴对称求得D点坐标，可得出OD＝OB＝BD＝2，从而得出∠BOD＝60°；
（2）设点P（a，b），①根据PB＝BD及OP＝2列出方程组，从而解得a，b，进而求得点G坐标；
②分为BD为对角线和BD为边两种情形．当BD为对角线时，求得点P关于（）的对称点在线段OB上，从而求得a的范围；当BD为边时，求得G在线段OD的临界情况，从而求得a的范围．
【解答】解：（1）∵D（，1），点B与点D关于x轴对称，
∴OB＝OD＝＝2，B（，﹣1），
∴BD＝1﹣（﹣1）＝2，
∴AD＝OB＝BD，
∴∠BOD＝60°；
（2）设点P（a，b），
由①PB＝BD＝2得，
（a﹣）2+（b+1）2＝22①，
由PO＝OA＝2得，
a2+b2＝8②，
由①②得，
或（舍去），
∴b+2＝，
∴G（）；
②当BD为对角线时，
此时点G（2﹣a，﹣b），
∵B（，﹣1），D（，1），
∴直线OB的解析式为：y＝﹣x，直线OD的解析式为：y＝，
当x＝2，y＝﹣b代入y＝﹣x得，
﹣b＝﹣（2﹣a），即：b＝，
又：a2+b2＝8，
∴a2﹣﹣3＝0，
∴a1＝（舍去），a2＝，
∴≤a＜2，
当BD为边时，
当x＝a时，y＝，
∴b＝+2，
又a2+b2＝8，
∴a2+﹣3＝0，
∴a3＝，a4＝（舍去），
∴，
综上所述：≤a＜2或．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类及根据条件列出方程组．
4．（2022春•诸暨市期末）在矩形ABCD中，AB＝6，∠BAC＝60°，点E是边AD的中点，点P是对角线AC上一动点，连结EP，作点A关于直线EP的对称点A'．
（1）若点P是AC的中点，求EP的长度．
（2）若△AEP是以EP为腰的等腰三角形，求EP的长度．
（3）直线A'E交AC于点Q，连结QE，若△AEQ是直角三角形，求EP的长度．


【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EP的长；
（2）分两种情况：AE＝EP和AP＝EP，分别画图根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；
（3）分两种情况：①当∠AEQ＝90°时，②当∠AQE＝90°时，分别根据对称的性质和直角三角形的性质可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，
∵点E是边AD的中点，点P是AC的中点，
∴EP是△ADC的中位线，
∴EP＝CD＝×6＝3；
（2）①当EA＝EP时，如图1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AB＝6，
∴BC＝AD＝6，
∵E是AD的中点，
∴AE＝EP＝3；
②当EP＝PA时，如图2，过点P作PG⊥AD于G，

∴AG＝EG＝AE＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
Rt△AGP中，PG＝，
∴PE＝AP＝2PG＝3；
综上，EP的长是3或3；
（3）分两种情况：
①当∠AEQ＝90°时，如图3，过点P作PH⊥AE于H，

由对称得：∠AEP＝∠A'EP＝45°，
∴△EPH是等腰直角三角形，
设EH＝x，则PH＝x，EP＝x，AH＝PH＝x，
∵AE＝3，
∴x+x＝3，
∴x＝，
∴EP＝；
②当∠AQE＝90°时，如图5，

∵∠EAQ＝30°，
∴∠AEQ＝60°，
∵作点A关于直线EP的对称点A'．
∴∠AEP＝∠PEQ＝30°，
∵AE＝3，
∴EQ＝AE＝，
Rt△PEQ中，PQ＝，
∴PE＝2PQ＝3；
当∠AQE＝90°时，如图6，连接A'P，

由对称得：∠A'＝∠EAP＝30°，∠APE＝∠A'PE，
∵∠A'QP＝90°，
∴∠APA'＝60°，
∴∠APE＝30°＝∠EAP，
∴EP＝AE＝3；
综上，EP的长是或3或3．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，运用分类讨论的思想，并构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．（2022春•金东区期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函数图象刚好过点B．
（1）分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
（2）动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意分别求出A点，B点和C点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据函数解析式设出P点和D点的坐标，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线BA上，且PD＝DB＝BQ，据此等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）解：（1）由题意知，A（5，0），B（5，3），C（0，3），
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
代入B点坐标得，3＝，
解得k＝15，
∴过点B的反比例函数的解析式为y＝，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
代入A点和C点坐标得，，
解得，
∴过A，C两点的一次函数的表达式为y＝﹣x+3；
（2）存在，
设P（m，﹣m+3），则D（m，），
①若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线BA上，且PD＝DB＝BQ，
∴﹣（﹣m+3）＝，
整理得，
解得m＝或，
当m＝时，
PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，
∴此时Q（5，3﹣），
即Q（5，﹣）；
当m＝时，
PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，
∴Q此时（5，3﹣），
即Q（5，﹣）；
②若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线BC上，且PD与BQ互相垂直平分，
则Q点的纵坐标为3，且＝3，
解得m＝，
∵m＞0，
∴m＝，
∴Q（5﹣10，3），
综上所述，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则Q点的坐标为（5，﹣）或（5，﹣）或（5﹣10，3）．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，菱形的性质等知识是解题的关键．
6．（2022春•安吉县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点．
（1）如图1，求反比例函数y＝（k≠0）的解析式；
（2）如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y＝（k≠0）图象上，顶点H，G在x轴上，且EF＝4．
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．

【分析】（1）首先求出点A与B的坐标，再根据点B是AC的中点，可得C（2，4），从而得出k的值；
（2）①设E（m，m+2），则F（m+4，m+2），将F（m+4，m+2）代入反比例函数y＝得，解方程可得m的值，从而得出答案；
②分当点N落在直线AB上或点P落在直线AB上，分别构造k型全等表示点的坐标，进而解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∵点B是AC的中点，
∴C（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴y＝；
（2）①设E（m，m+2），
∵EF＝4，
∴F（m+4，m+2），
将F（m+4，m+2）代入反比例函数y＝得，
（m+4）（m+2）＝8，
∴m1＝0，m2＝﹣6（舍去），
∴F（4，2）；
②由题意得：F（4，2），
∴G（4，0），
当点N落在直线AB上时，如图，过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点N作NE⊥DM，交DM延长线于点E；

∵四边形GMNP是正方形，则MG＝MN，∠NMG＝90°，
∵∠E＝∠D＝90°，
∴∠EMN+∠GMD＝∠GMD+∠DGM＝90°，
∴∠EMN＝∠DGM，
∴△EMN≌△DGM（AAS），
∴EN＝DM，EM＝DG；
∵点M在y＝的图象上，点N在直线y＝x+2上，且点M在点F的左侧，
设点M为（m，）（0＜m＜4），N（n，n+2），
∵G（4，0），
∴EN＝＝，
∴，
∴m＝，
∴点M的横坐标为；
当点P落在直线AB上时，如图，过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点P作PE⊥FG，交FG延长线于点E；

与①同理，可证△DMG≌△EGP，
∴EG＝DM，EP＝DG，
设M（m，）（0＜m＜4），P（p，p+2），
∵G（4，0），
∴EG＝﹣（p+2），DM＝4﹣m，EP＝4﹣p，DG＝，
∴，
解得m＝5，
∵0＜m＜4，
∴点M的横坐标为5﹣，
综上所述，点M的横坐标为：或5﹣．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法取函数解析式，函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
7．（2022春•浙江期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（m＞0），根据S△PCO＝S矩形OABC，构建方程即可解决问题；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．由（1）知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小；
（3）分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，
∴点B的坐标为（4，3），
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上
∴k＝12，
∴y＝，
设点P的横坐标为m（m＞0），
∵S△PCO＝S矩形OABC．
∴•OC•m＝OA•OC，
∴m＝3，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为y＝＝4，
∴点P的坐标为（3，4）；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．

由（1）知，点P的横坐标为3，
∴点P在直线l上，
作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，
连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，
则PO+PC的最小值＝PO′+PC＝O′C＝．
（3）分两种情况：
①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝4，P1（3，3﹣），P2（3，3+），
∴Q1（7，3﹣），Q2（7，3+）；
．
②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，P3（3，3﹣），P4（3，3+），
∴Q3（﹣1，3﹣），Q4（﹣1，3+）．
综上所述，点Q的坐标为Q1（7，3﹣），Q2（7，3+），Q3（﹣1，3﹣），Q4（﹣1，3+）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
8．（2022春•浙江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b与y2＝﹣x交于点B，与x轴交于点A，且有如下信息：
①当y1＞y2时，x＞﹣2；当y1＜y2时，x＜﹣2；②当y1＞0时，x＜4．
（1）求y1＝kx+b的函数表达式；
（2）点C在y2＝﹣x的图象上，当△AOC是以OA为底的等腰三角形时，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，点M在x轴上，点N在直线y1＝kx+b的图象上，当以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

【分析】（1）可推出点A（4，0），点B（﹣2，3），将A，B两点坐标代入，从而求得结果；
（2）根据等腰三角形性质可得C点的横坐标，进而求得点C坐标，进一步求得结果；
（3）分成三种情形：▱ACMN，▱ACNM和▱AMCN，当▱ACMN时，此时点N和点B重合，当▱ACNM和▱AMCN时，点N的纵坐标和点C点纵坐标相同，从而求得结果．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣＝3，
∴B（﹣2，3），
又A（4，0），
∴，
∴，
∴y1＝﹣+2；
（2）∵AC＝OC，OA＝4，
∴点C的横坐标为：2，
当x＝2时，y＝﹣＝﹣3，
∴S△ABC＝（yB﹣yC）＝＝12；
（3）当▱ACMN时，
∴AM与CN互相平分，
∵OB＝OC，
∴点N与B点重合，OM＝OA，
∴N（﹣2，3），
当▱ACNM时，CN∥AM，
∴当N点的纵坐标为﹣3，
∴﹣x+2＝﹣3，
∴x＝10，
∴N（10，﹣3），M（12，0），
当▱AMCN时，N（10，﹣3），M（﹣6，0），
综上所述：点N（﹣2，3）或（10，﹣3）．
【点评】本题考查了一次函数及其图象性质，平行四边形性质和分类，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是正确分类，注意特殊性．