【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第20讲 一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究

第20讲  一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究

类型一  一次函数与等腰直角三角形

【知识点睛】

        当一个直角（或者一个等腰直角三角形）放在一条直线上或平面直角坐标系中时，常通过构造“K型图”全等来转化等量线段。

【类题训练】

1．已知A点坐标为A（）点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（　　）

A．（0，0） B．（，﹣） C．（1，﹣1） D．（﹣，）

2．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　）

A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）

3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（　　）

A．（7，0） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）

4．如图，平面直角坐标系中，点A在直线y＝x+上，点C在直线y＝﹣x+4上，点A，C都在第一象限内，点B，D在x轴上，若△AOB是等边三角形，△BCD是以BD为底边的等腰直角三角形，则点D的坐标为 　     　．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．

（1）求直线l2的函数解析式；

（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；

（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

类型二  一次函数与最值

        最值常结合模型——将军饮马；

        “两定一动型”将军饮马解决步骤：①对称；②连接；

        “两定两动型”将军饮马解决步骤：①平移；②对称；③连接；

1．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：

①方程组的解为；

②△BCD为直角三角形；

③S△ABD＝6；

④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．

其中正确的说法是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

2．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为　         　．

3．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是　      　．

类型三  一次函数与等腰三角形存在性

        点在图象上，则点的坐标符合直线的解析式

        “两定一动型”等腰三角形——即已知两个定点，求第三个点的坐标，使形成等腰三角形；

        解决办法：“两圆一线”

“两圆”：以两个顶点为圆心，两定点组成线段长为半径作圆，圆与目标直线的交点即为所求的动点；

“一线”：两定点组成线段的中垂线与目标直线的交点即为所求的动点；（求解常需要结合勾股定理）

1．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于　    　．

2．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为　         　．

3．如图，直线AB：y＝x+与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标．

类型四  一次函数与全等三角形

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为　   　，点D的坐标为　   　．

2．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为　   　．

3．如图，直线y＝kx+6交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且OA＝3OB，P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为（6，0），直线PC交y轴点于D，O是原点．

（1）求k的值；

（2）直线AB上是否存在一点P，使得△OCD与△AOB是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P在射线BA上运动时，连接OP，是否存在点P，使得△OPC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

综合练习

1．已知：如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）

A． B．6 C． D．

2．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上．OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0）．过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．

（1）点G的坐标为 　   　；

（2）求折痕OE所在直线的表达式；

（3）若直线l：y＝mx+n平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．

3．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．

（1）求B点的坐标和k，b的值；

（2）证明直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；

（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

4．直线AB：y＝x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1．

（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；

（2）在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　     

　               ；

（3）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，请你直接写出点D的坐标．