【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第07讲 幂的逆用专题训练

第7讲 幂的逆用专题训练

【知识点睛】

幂的运算法则逆运用公式

【类题训练】

1．若xm＝2，xm+n＝6，则xn＝（　　）

A．2 B．3 C．6 D．12

【分析】根据同底数幂除法的计算法则进行求解即可．

【解答】解：∵xm＝2，xm+n＝6，

∴xn＝xm+n÷xm＝6÷2＝3，

故选：B．

2．a9可以表示为（　　）

A．6a B．a2•a3 C．（a3）2 D．a12÷a3

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．

【解答】解：A、6a表示6×a，此选项不符合题意；

B、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；

C、（a3）2＝a6，此选项符合题意；

D、a12÷a3＝a9，此选项不符合题意；

故选：D．

3．已知2m+3n＝6，则4m•8n＝（　　）

A．16 B．25 C．32 D．64

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方，即可解答．

【解答】解：4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝26＝64，

故选：D．

4．已知a＝98，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a

【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．

【解答】解：∵a＝98＝316，b＝314，c＝275＝315，

∴a＞c＞b．

故选：B．

5．已知4x＝18，8y＝3，则52x﹣6y的值为（　　）

A．5 B．10 C．25 D．50

【分析】利用幂的乘方的法则对已知的条件进行整理，再代入到所求的式子中进行运算即可．

【解答】解：∵4x＝18，8y＝3，

∴22x＝18，23y＝3，

∴（23y）2＝32，

即26y＝9，

∴22x﹣6y＝，

∴2x﹣6y＝1，

∴52x﹣6y＝51＝5．

故选：A．

6．已知32m＝5，32n＝10，则9m﹣n+1的值是（　　）

A． B． C．﹣2 D．4

【分析】由于已知的底数是3，而要求的代数式的底数是9，所以把要求代数式的底数变为3，利用积的乘方法则、逆用同底数幂的乘除法法则，变形结果后代入求值．

【解答】解：原式＝[（3）2]m﹣n+1

＝32m﹣2n+2

＝32m÷32n×32

∵32m＝5，32n＝10，

∴原式＝5÷10×9

＝．

故选：A．

7．若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（　　）

A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3

【分析】根据幂的乘方法则可得y＝4m﹣3＝22m﹣3，由x＝2m+1可得2m＝x﹣1，再根据幂的乘方计算即可．

【解答】解：∵x＝2m+1，

∴2m＝x﹣1，

∴y＝＝4m﹣3＝22m﹣3＝（x﹣1）2﹣3，

故选：D．

8．已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝26•3，得到a+2c＝6，b＝1，再根据a，b，c为自然数，求出a，c的值，进而求出答案．

【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝26•3，

∴a+2c＝6，b＝1，

∵a，b，c为自然数，

∴当c＝0时，a＝6；

当c＝1时，a＝4；

当c＝2时，a＝2；

当c＝3时，a＝0，

∴a+b+c不可能为8．

故选：D．

9．计算：＝　　．

【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案

【解答】解：原式＝（﹣）2×

＝（﹣）2×[（﹣）×]2021

＝（﹣）2×1

＝．

故答案为：．

10．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则2a+b＝　18　；a+c﹣2b＝　0　．

【分析】根据同底数幂的乘法法则计算2a+b；先计算22b，再逆运用同底数幂的乘除法法则，代入求值即可．

【解答】解：2a+b＝2a•2b＝3×6＝18；

∵2b＝6，

∴（2b）2＝62．即22b＝36．

∵2a+c﹣2b

＝2a×2c÷22b

＝3×12÷36

＝1，

∴a+c﹣2b＝0．

故答案为：18，0．

11．已知32×9m×27＝321，求m＝　   　．

【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．

【解答】解：32×9m×27＝321，

即32×32m×33＝321，

∴32+2m+3＝321，

∴2+2m+3＝21，

解得m＝8．

故答案为：8

12．如果等式（2a﹣1）a+2＝1成立，则a的值为　      　．

【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得a+2＝0，且2a﹣1≠0，1的任何次方都是1可得2a﹣1＝1，再解即可．

【解答】解：由题意得：

①2a﹣1＝1，

解得：a＝1，

②a+2＝0，且2a﹣1≠0，

解得：a＝﹣2，

③当a＝0时，原式＝1．

故答案为：0或1或﹣2．

13．计算：

（1）﹣12021﹣0.5﹣1﹣（﹣）﹣2+（π+2）0；

（2）（﹣）2017×（2）2018．

（3）0.44×0.24×12.54﹣．

【分析】（1）根据有理数的乘方的定义，负整数指数幂的定义以及零指数幂的定义计算即可；

（2）积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．

（3）逆用积的乘方的运算法则对式子进行运算，再用负整数指数幂的运算法则运算，最后进行减法运算即可．

【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2﹣9+1

＝﹣11；

（2）原式＝

＝

＝

＝

＝．

（3）

＝（0.4×0.2×12.5）4﹣（﹣2﹣1）﹣3

＝14﹣（﹣23）

＝1+8

＝9．

14．计算：

（1）（0.5×3）199×（﹣2×）200

（2）0.259×220×259×643．

（3）（×××…××1）10•（10×9×8×…×3×2×1）10

【分析】（1）根据积的乘方的运算法则求解；

（2）根据幂的乘方和积的乘方运算法则求解．

（3）根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算可得

【解答】解：（1）原式＝（0.5×3）199×（﹣2×）199×（﹣2×）

＝（0.5×﹣2）199×（3×）199×（﹣2×）

＝；

（2）原式＝0.518×220×518×218

＝0.518×218×518×218×22

＝（0.5×2×5×2）18×4

＝4×1018．

（3）原式＝（×××…××1×10×9×8×…×3×2×1）10

＝110

＝1．

15．若32×9m×27＝321，求m的值．

【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对等式的左边进行整理，从而可求解．

【解答】解：32×9m×27＝321，

32×32m×33＝321，

32+2m+3＝321，

则2+2m+3＝21，

解得：m＝8．

16．已知3m＝4，3n＝5，分别求3m+n与32m﹣n的值．

【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入运算即可．

【解答】解：当3m＝4，3n＝5时，

3m+n

＝3m×3n

＝4×5

＝20；

32m﹣n

＝32m÷3n

＝（3m）2÷3n

＝42÷5

＝16÷5

＝．

17．若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．

【分析】由（9m+1）2＝92m+2＝32（2m+2）＝316，可得方程：2（2m+2）＝16，解此方程即可求得答案．

【解答】解：∵（9m+1）2＝92m+2＝32（2m+2）＝316，

∴2（2m+2）＝16，

解得：m＝3．

18．已知n为正整数，且x2n＝4

（1）求xn﹣3•x3（n+1）的值；

（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．

【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可；

（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．

【解答】解：（1）∵x2n＝4，

∴xn﹣3•x3（n+1）＝xn﹣3•x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝42＝16；

（2）∵x2n＝4，

∴9（x3n）2﹣13（x2）2n＝9x6n﹣13x4n＝9（x2n）3﹣13（x2n）2＝9×43﹣13×42＝576﹣208＝368．

19．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．

（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．

（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：

小贤的作业

计算：89×（﹣0.125）9．

解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．

①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：　an•bn＝（ab）n　．

②计算：52023×（﹣0.2）2022．

【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；

（2）①根据解答过程进行分析即可；

②利用所给的方式进行求解即可．

【解答】解：（1）∵am＝2，

∴a2m+n＝24，

∴a2m×an＝24，

（am）2×an＝24，

22×an＝24，

∴4an＝24，

∴an＝6；

（2）①逆用积的乘方，其公式为：an•bn＝（ab）n，

故答案为：an•bn＝（ab）n；

②52023×（﹣0.2）2022

＝5×52022×（﹣0.2）2022

＝5×（﹣0.2×5）2022

＝5×（﹣1）2022

＝5×1

＝5．

20．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．

（1）计算：①82022×（﹣0.125）2022；

②（）11×（）13×（）12；

（2）若3×9n×81n＝325，请求出n的值．

【分析】（1）①逆用积的乘方法则得结论；

②先逆运用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方法则和乘方法则得结论；

（2）先运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则得方程，求解即可．

【解答】解：（1）①82022×（﹣0.125）2022

＝82022×0.1252022

＝（8×0.125）2022

＝12022

＝1；

②（）11×（）13×（）12

＝（）11×（）11×（）2×（）11×

＝（××）11××

＝111×

＝1×

＝；

（2）∵3×9n×81n＝325，

∴3×（32）n×（34）n＝325．

∴3×32n×34n＝325．

∴31+2n+4n＝325．

∴1+2n+4n＝25．

∴n＝4．

21．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：

（1）如果2x•23＝32，求x的值；

（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；

（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．

【解答】解：（1）∵2x•23＝32，

∴2x+3＝25，

∴x+3＝5，

∴x＝2；

（2）∵2÷8x•16x＝25，

∴2÷23x•24x＝25，

∴21﹣3x+4x＝25，

∴1+x＝5，

∴x＝4；

（3）∵x＝5m﹣2，

∴5m＝x+2，

∵y＝3﹣25m，

∴y＝3﹣（5m）2，

∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．

22．规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　  　；（5，1）＝　  　；（2，）＝　  　；

（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．

（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．

【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；

（2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解；

（3）设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，从而可得3x÷3y＝5，得3x﹣y＝5，即有（3，5）＝x﹣y，从而得证．

【解答】解：（1）∵53＝125，

∴（5，125）＝3；

∵50＝1，

∴（5，1）＝0；

∵，

∴（2，）＝﹣2．

故答案为：3，0，﹣2；

（2）（16，10000）﹣（64，1000000）

＝（24，104）﹣（26，106）

＝（2，10）﹣（2，10）

＝0；

（3）证明：设（3，20）＝x，（3，4）＝y，

则3x＝20，3y＝4，

∴3x÷3y，

＝20÷4，

＝5，

∴3x﹣y＝5，

∴（3，5）＝x﹣y，

又∵（3，20）﹣（3，4）＝x﹣y，

∴（3，20）﹣（3，4）

＝（3，5）

23．阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．

又∵m+n＝logaM+logaN，

∴loga（M•N）＝logaM+logaN．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①log232＝　5　，②log71＝　0　；

（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．

【分析】（1）直接根据定义计算即可；

（2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；

（3）根据公式：loga（M•N）＝logaM+logaN和loga＝logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log5（125×6÷30），计算可得结论．

【解答】解：（1由定义可知：

log232＝log225＝5，

log71＝log770＝0；

故答案为：5，0；

（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，

则：M＝am，N＝an，

∴＝＝am﹣n，

由对数的定义得：m﹣n＝loga，

又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，

∴loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）原式＝log5（125×6÷30）

＝log525

＝2．