【重难点讲义】浙教版数学七年级上册-第09讲 《实数》单元分类总复习

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第9讲 《实数》单元分类总复习
考点一．平方根与算术平方根
【知识点睛】
v 平方根与算术平方根知识总结

平方根
算术平方根

定义
如果，那么叫做的平方根，的平方根的符号表达为
的平方根中正的平方根叫做算术平方根


性质
；

算术平方根的“双重非负性”
①被开方数是非负数，即.
②算术平方根本身是非负数，即
联系
被开方数都是非负数；平方根包含算术平方根；0的平方根和算术平方根均为0．
区别
一个正数的平方根都有两个，且它们互为相反数
一个数的算术平方根只有一个
v 易错点拨
(1) 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
(2) 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
(3) 特别需要注意以下几点区别：

v 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
【类题训练】
1．2的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：±的平方是2，
所以2的平方根是，
故选：D．
2．计算：±＝（　　）
A． B．﹣ C．± D．±
【分析】因为，根据二次根式的性质直接化简即可．
【解答】解：∵，
∴±．
故选：C．
3．若a2＝9，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．9
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：a2＝9，
a＝±3，
故选：C．
4．下列判断：
①0.25的平方根是0.5； ②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±； ④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：①0.25的平方根是±0.5，原说法错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，原说法错误；
③（）2的平方根是±，原说法正确；
④﹣7不是﹣49的平方根，负数没有平方根，原说法错误．
所以正确的有1个；
故选：A．
5．数0.0016的平方根是（　　）
A．±0.04 B．0.04 C．0.008 D．±0.008
【分析】根据平方根的定义解决此题．
【解答】解：∵（±0.04）2＝0.0016，
∴0.0016的平方根是±0.04．
故选：A．
6．下列各式中，不正确的是（　　）
A．＝﹣2 B．＝2 C．﹣＝﹣2 D．±＝±2
【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项符合题意；
B.＝2，故此选项不合题意；
C．﹣＝﹣2，故此选项不合题意；
D．±＝±2，故此选项不合题意；
故选：A．
7．（﹣0.36）2的平方根是（　　）
A．﹣0.6 B．±0.6 C．±0.36 D．0.36
【分析】根据平方根的计算方法计算即可．
【解答】解：（﹣0.36）2的平方根是±0.36，
故选：C．
8．化简的结果是（　　）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2
【分析】原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝|﹣4|＝4．
故选：B．
9．已知，则x＝（　　）
A．16 B．8 C．2 D．±2
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：∵，
∴x＝16．
故选：A．
10．若+|b﹣|＝0，则a+b2＝（　　）
A．11 B．1 C．﹣1 D．﹣11
【分析】绝对值和算术平方根都具有非负性，非负数之和等于0时，各项都等于0，列出方程，求出a和b，再计算出a+b的值．
【解答】解：∵+|b﹣|＝0，而，，
∴a+6＝0，b﹣＝0，
解得a＝﹣6，b＝，
∴a+b2＝﹣6+＝﹣6+5＝﹣1．
故选：C．
11．若一正数a的两个平方根分别为2m﹣3和5﹣m，则a的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．49 D．25
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程求出m的值，由此即可得．
【解答】解：∵一正数a的两个平方根分别为2m﹣3和5﹣m，
∴2m﹣3+5﹣m＝0，
解得：m＝﹣2，
则5﹣m＝5﹣（﹣2）＝7，
∴a＝72＝49，
故选：C．
12．若是整数，则满足条件的自然数m共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先把不大于8的自然数代入计算，根据计算结果得结论．
【解答】解：当m＝0、1、2、3、5、6时，
＝、、、、、都不是整数；
当m＝4、7、8时，
＝2、1、0是整数．
故满足条件的自然数有三个．
故选：B．
13．关于代数式3﹣的说法正确的是（　　）
A．x＝0时最大 B．x＝0时最小 C．x＝4时最大 D．x＝4时最小
【分析】根据算术平方根的非负性解答即可．
【解答】解：∵≥0，
∴当x＝4时，3﹣的值最大为3．
故选：C．
14．若a＝﹣+6，则ab的算术平方根是（　　）
A．2 B． C．± D．4
【分析】先根据二次根式的性质求出b的值，再求出a的值，最后根据算术平方根即可解答．
【解答】解：∵a＝﹣+6，
∴
∴1﹣3b＝0，
∴b＝，
∴a＝6，
∴ab＝6×＝2，
2的算术平方根是，
故选：B．
15．的算术平方根为 　 　．
【分析】可知，再根据算术平方根的定义求得的算术平方根．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
16．已知＝2.493，＝7.882，则﹣＝　 　，6.213×104的平方根是 　 　．
【分析】根据平方根的计算得出结论即可．
【解答】解：∵＝2.493，＝7.882，
∴﹣＝﹣78.82，6.213×104的平方根是±249.3，
故答案为：﹣78.82，±249.3．
考点二．实数
【知识点睛】
v 无理数：无限不循环小数叫无理数
无理数常见的四种形式：
①含类.如：
②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
④带三次根号的数，但根号下的数字开立方开不尽，如
v 实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
实数 实数
v 实数与数轴
1. 对应关系：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应
2. 网格题目中，常见无理数的确定办法：





3. 用数轴上的一个点来表示

4. 两个实数比较大小
法则一：负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；
法则二：从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。
☆：比较大小的常用方法：①数轴法；②中间值比较法；③作差法；④作商法；⑤近似值法；⑥平方法。
5. 估算无理数的方法：
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在整数范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
【类题训练】
1．在（﹣）0，，0，9，0.010010001…，，﹣0.333…，，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：（﹣）0＝1，＝2，
在（﹣）0，，0，9，0.010010001…，，﹣0.333…，，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有，，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），共3个．
故选：C．
2．下列说法错误的是（　　）
A．无限不循环小数是无理数 B．面积为5cm2的正方形的边长是一个无理数
C．是一个分数，所以也是有理数 D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数
【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断．
【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，故不符合题意；
B、面积为5cm2的正方形的边长是，是一个无理数，故不符合题意；
C、是无理数，故符合题意；
D、任何有限小数或无限循环小数都不是无理数，故D不符合题意；
故选：C．
3．下列式子中正确的是（　　）
A．是分数 B．＝﹣ C．＝3﹣π D．实数a的倒数是
【分析】根据无理数的定义判断A选项；根据立方根的性质判断B选项；根据绝对值的性质判断C选项；根据0没有倒数判断D选项．
【解答】解：A选项，是无理数，不是分数，故该选项不符合题意；
B选项，＝﹣，故该选项符合题意；
C选项，原式＝π﹣3，故该选项不符合题意；
D选项，0没有倒数，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．下列语句中，正确的是（　　）
A．实数与数轴上的点是一一对应的 B．无限小数都是无理数
C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是有理数
【分析】根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：实数与数轴上的点是一一对应的，A选项正确；
无限小数中，无限循环小数就是有理，所以B选项说法错误；
无理数分为正无理数、负无理数，0是有理数；C选项说法错误；
无理数的平方一定是有理数说法错误．比如π是无理数，π的平方不是有理数，D选项错误．
故选：A．
5．如图，数轴上表示实数的点可能是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】先估算出的值，即可判断．
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜＜4，
∴1＜﹣2＜2，
∴数轴上表示实数的点可能是：点M，
故选：A．
6．下列关于的叙述错误的是（　　）
A．是无理数 B．数轴上不存在表示的点
C． D．边长为的正方形面积是5
【分析】根据实数与数轴，实数的意义逐一判断即可．
【解答】解：A．是无理数，故A不符合题意；
B．数轴上存在表示的点，故B符合题意；
C．2＜＜3，故C不符合题意；
D．边长为的正方形面积是5，故D不符合题意；
故选：B．
7．如图所示，数轴上A，B两点分别表示实数1，，已知点C到点A的距离等于点A到点B的距离，则点C所表示的实数为（　　）

A．﹣2 B．2﹣ C．﹣3 D．3﹣
【分析】设点C所表示的数为x，由AB＝AC列出方程，解方程即可．
【解答】解：设点C所表示的数为x，
∵AB＝AC，
∴﹣1＝1﹣x，
解得x＝2﹣，
故选：B．
8．无理数﹣+1在（　　）
A．﹣3和﹣2之间 B．﹣4和﹣3之间 C．﹣5和﹣4之间 D．﹣6和﹣5之间
【分析】估算无理数的大小，进而得出﹣+1的大小即可．
【解答】解：∵＜＜，即3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴﹣4+1＜﹣+1＜﹣3+1，
即﹣3＜﹣+1＜﹣2，
故选：A．
9．若|a﹣2|＝2﹣a，则a＝　 　（请写出一个符合条件的无理数）．
【分析】先根据绝对值的性质判断出a的范围，再根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：因为|a﹣2|＝2﹣a，
所以a≤2，
所以（答案不唯一）．
10．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示﹣1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B两点，则点A，B表示的数分别为 　 　．

【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．
【解答】解：∵正方形的面积为5，
∴圆的半径为，
∴点A表示的数为﹣1+，点B表示的数为﹣1﹣．
故答案为：﹣1+，﹣1﹣．
11．比较大小：π　 　3.14，﹣　 　﹣，2 　 　．
【分析】π是3.14159265……的无理数，可得π＞3.14；根据负数大小比较的方法，比较﹣＜﹣；利用算术平方根比较大小即可．
【解答】解：π是无理数，π是3.14159265……，
∴π＞3.14，
∵＞，
∴﹣＜﹣，
∵2＝＜，
∴2＜，
故答案为：＞，＜，＜．
12．设6﹣的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+）b的值是 　 　．
【分析】估算无理数的大小，进而得出﹣的大小，再根据等式的性质可得6﹣的大小，进而确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴2＜6﹣＜3，
∴6﹣的整数部分a＝2，小数部分b＝6﹣﹣2＝4﹣，
∴（2a+）b＝（4+）（4﹣）
＝16﹣10
＝6，
故答案为：6．
13．把下列各数序号填入相应的类别中．
①﹣3.14，②﹣，③|﹣4|，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+2，⑩．
自然数 　 　，正分数 　 　，负整数 　 　，负有理数 　 　．
【分析】根据实数的分类，即可解答．
【解答】解：自然数③⑥⑨⑩，正分数④⑤⑧，负整数⑦，负有理数①②⑦，
故答案为：③⑥⑨⑩；④⑤⑧；⑦；①②⑦．
14．如图为一个数值转换器．

（1）若输入的x值为3，则输出的y值为 　 　；若输入的x值为9，则输出的y值为 　 　．
（2）若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值．
（3）尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是 　 　．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【解答】解：（1）当x＝3时，则y＝是无理数；
当x＝9时，＝3，是无理数，则y＝；
故答案为：，；
（2）当y＝时，（）2＝6，62＝36，则x＝36；
（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，
∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
∴他输入的x值是0或1．
考点三．立方根
【知识点睛】
v 立方根知识总结

立方根（）
定义
如果，那么叫做的立方根；
特征
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
性质
；；
v 易错技巧点拨：
1. 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
2. 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
【类题训练】
1．等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．
【分析】利用﹣1的立方根为﹣1进行判断．
【解答】解：∵﹣1的立方根为﹣1，
∴＝﹣1．
故选：A．
2．下列说法正确的是（　　）
A．25的平方根是5 B．3是9的一个平方根
C．负数没有立方根 D．立方根等于它本身的数是0，1
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.25的平方根为±5，因此选项A不符合题意；
B．由于9的平方根是±3，因此3是9的一个平方根，因此选项B符合题意；
C．任意一个实数都有立方根，因此选项C不符合题意；
D．立方根等于它本身的数是0，1，﹣1，因此选项D不符合题意；
故选：B．
3．体积为5的正方体棱长为（　　）
A． B． C．± D．
【分析】根据正方体体积公式，利用立方根定义表示出棱长即可．
【解答】解：体积为5的立方体棱长为．
故选：B．
4．立方根与它本身相同的数是（　　）
A．0或±1 B．0或1 C．0或﹣1 D．0
【分析】根据立方根的意义，进行计算即可解答．
【解答】解：立方根与它本身相同的数是0或±1，
故选：A．
5．如果一个数的平方为64，则这个数的立方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
【分析】结合题意，设这个数为x，即有x2＝64，即得x＝±8，所以±8的立方根为±2．
【解答】解：设这个数为x，故有x2＝64，
即x＝±8，
所以±8的立方根为±2；
故选：D．
6．若0＜x＜1，则x2、x、、这四个数中（　　）
A．最大，x2最小 B．x最大，最小
C．x2最大，最小 D．x最大，x2最小
【分析】利用实数的大小比较来计算即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴x2＜x＜＜，
故选：A．
7．下列运算正确的是（　　）
A．2﹣＝1 B．﹣＝﹣6 C．＝±2 D．＝﹣3
【分析】根据二次根式的加减运算、二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝，故A不符合题意．
B、原式＝，故B不符合题意．
C、原式＝2，故C不符合题意．
D、原式＝﹣3，故D符合题意．
故选：D．
8．已知＝x﹣1，则x2﹣x的值为（　　）
A．0或1 B．0或2 C．0或﹣1 D．0或±1
【分析】根据一个数的立方根等于它本身，可求出x的值，再代入计算求值即可
【解答】解：由＝x﹣1，可得x﹣1＝0或x﹣1＝±1，
解得x＝1或x＝2或x＝0，
所以x2﹣x的值为0，2，
故选：B．
9．已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（　　）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【分析】根据立方根和已知得出x﹣3＝2x+1，求出x，再求出x2+x﹣3＝9，再根据平方根的定义求出即可．
【解答】解：∵x为实数，且＝0，
∴x﹣3＝2x+1，
解得：x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴＝±3，
故选：C．
10．若，则a与b的关系是（　　）
A．a＝b＝0 B．a＝b C．a+b＝0 D．
【分析】根据立方根的和为0，可得被开数互为相反数，可得答案．
【解答】解：若，则a与b的关系是a+b＝0，
故选：C．
11．若，则＝　 　．
【分析】利用立方根特征求解．
【解答】解：因为根指数是3，所以被开方数需要三位三位地移动，立方根是一位一位地移动，
故答案为：63.29．
12．有下列说法：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0．其中错误的说法是 　 　（填序号）．
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：①负数有立方根，故①错误；
②一个实数的立方根不是正数就是负数，或者是0，故②错误；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号，0的立方根是0；故③正确；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0或﹣1，故④错误；
故答案为：①②④．