【易错精编讲义】人教版数学四年级下册-第13讲 三角形的内角和 知识梳理讲义+易错练习

第13讲 三角形的内角和（讲义）

（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1、三角形的内角和。

三角形的内角和是180°。

2、 三角形内角和的应用。

在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”求第三个角的度数。

3、四边形的内角和。

四边形的内角和是360°。

4、多边形的内角和公式。

多边形的内角和=（边数-2）×180°。

1、任意一个三角形的内角和都是180°。

2、不管把四边形分成几个三角形，四边形的内角和总是360°。

【易错一】能组成三角形的三个角的是（       ）。

A．80°、20°、70° B．100°、20°、80° C．25°、65°、90°

【分析】

根据“三角形的内角和是180°”，分别求出各个选项中三个角的和，再找出判断选择即可。

【详解】

A．80°＋20＋70°＝170°，80°、20°、70°，不能组成一个三角形；

B．100°＋20°＋80°＝200°，100°、65°、90°，不能组成一个三角形；

C．25°＋65°＋90°＝180°，25°、65°、90°，能组成一个三角形。

故答案为：C

【点睛】熟记：三角形的内角和是180°，是解答此题的关键。

【易错二】如下图，一块三角形纸片被撕去了一个角，原来这块纸片的形状是(        )三角形。

【分析】

根据三角形内角和为180°，和图中的两个内角度数，即可求出撕去角的度数，再根据三角形的分类即可作出判断。

【详解】

因为三角形内角和为180°

所以撕去的角的度数＝180°－46°－67°

＝134°－67°

＝67°

又因为这三个角都是锐角，且有两个角相等，所以原来这块纸片的形状是锐角三角形，也是等腰三角形。

【点睛】

此题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°；同时考查了三角形的按角分类，关键明确：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②三个角都为锐角的三角形是锐角三角形；③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

【易错三】

已知三角形的内角和是180°。求四边形ABCD的内角和多少度？

思考过程：连接AD，AD将四边形ABCD分成两个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。

已知一个三角形的内角和是180°。求：五边形的内角和是多少度？（请仿照方法，画图并将你的思考过程写下来。）

思考过程：

【分析】根据求四边形内角的度数，关键是从一个顶点出发将四边形分成多个三角形，三角形的内角和是180°，有几个三角形就有几个180°。

【详解】

思考过程：

连接AC，AD，将五边形分成三个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是180°×3＝540°。

答：五边形的内角和是540度。

【点睛】本题考查的是多边形内角和的探究，关键是将多边形转化为三角形来进行计算。

【易错四】爸爸为小红制作一个等腰三角形的风筝。这个风筝的一个顶角是40°，它的底角是多少度？

【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形内角度数和是180度，然后用180度减去底角，再除以2就是底角的度数，据此解答。

【详解】

答：它的底角是70度。

【点睛】熟练掌握等腰三角形的特征并灵活运用是解答本题的关键。

【易错五】小明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120°，是最小角的4倍。

（1）这块三角形菜地其它角的度数是多少？

（2）如果从小明家到菜地，有如图三条路线，你会选择哪一条？为什么？

【分析】（1）先根据“菜地的最大角是120°，是最小角的4倍”，求出最小角的度数，再根据三角形内角和是180°，即可求出第三个角的度数。

（2）观察图形可知，第②条路线最短，因为两点间线段最短。

【详解】（1）120°÷4＝30°

180°－120°－30°＝30°

答：这块三角形菜地其它角的度数都是30°。

（2）根据分析可知，

如果从小明家到菜地，有如图三条路线，我会选择路线②，因为两点间线段最短，所以第②路线最短。

【点睛】正确理解三角形内角和是180°、两点间线段最短，是解答此题的关键。

一、选择题

1．把两个完全一样的三角形拼成一个四边形，这个四边形内角和是（    ）。

A．360° B．180° C．90°

2．如图，一张三角形纸被撕掉了一个角，原来的三角形是（    ）。

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形

3．下面说法错误的是（    ）。

A．梯形四个内角的和是360°

B．平行线延长也不能相交

C．长方形相邻的两条边互相平行

4．下图是一个四边形，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于（    ）。

A．180° B．540° C．360° D．720°

5．下面描述的这些三角形，是钝角三角形的是（    ）。

A．三条边都一样长。 B．其中两个角的度数之和是75°。

C．三个角中最小的是50°。 D．其中两个角的度数之和等于第三个角的度数。

6．一个三角形中至少有几个角是锐角（    ）。

A．1个 B．2个 C．3个

7．等腰三角形中有一个角是50度，另外两个内角是（    ）。

A．都是65度 B．50度和80度 C． 50度和80度或都是65度

8．一个等腰三角形的一个底角是65度，其顶角是（    ）度。

A．70 B．115 C．50

二、填空题

9．△ABC中∠ACB是最大的角，沿其所对的边上的高对折后得到两个大小不同的三角形。这两个三角形中较小的两个角的和等于第三个角。那么△ABC是(        )三角形。

10．一个等腰三角形，它的一个底角是70°，它的顶角是(        )°，这个三角形还是个(        )三角形。

11．一个等腰三角形的顶角是50°，它的另一个底角是(        )°。

12．在一个三角形中，∠1＝41°，∠2＝29°，∠3＝(      )。这是一个(      )三角形。

13．一个直角三角形，它的一个底角是45度，它的顶角是(        )度，按边分类，这个三角形还是一个(        )三角形。

14．一个等腰三角形的一个底角是70度，它的顶角是(        )度，一个直角三角形的一个锐角是30度，另一个锐角是(        )度。

15．如下图，一张三角形纸片被撕去了一个角。这个角是(          )°，按角分，原来这张纸片的形状是(          )三角形。

16．如图，把两张长方形纸随意交叉摆放，重叠部分的图形是(        )，这个图形中的4个角的和是(        )。

三、判断题

17．锐角三角形的内角和小于钝角三角形的内角和。(        )

18．一个三角形中，有一个角是65°另外的两个角可能是95°和20°。(        )

19．任意一个三角形中，最大的一个内角一定比60°大。(        )

20．如果一个三角形有两个内角是锐角，那么它一定是锐角三角形。(          )

四、作图题

21．画出下面三角形ABC的一条高，并在图上标出∠B的度数。

五、解答题

22．等腰三角形的一个底角是75度，它的顶角是多少度？

23．李叔叔给小芳买了一个等腰三角形的风筝。它的一个底角是72度，这个风筝的顶角是多少度？

24．你能不能根据三角形的内角和推算五边形、六边形的内角和，画一画，并写一写你的思路吧！

25．一个等腰三角形，它的一个底角是70度。它的顶角是多少度？

26．一个多边形的内角和是900°，你知道它是几边形吗？请简要写出你的思路。

27．胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔，塔的其中一个侧面是一个等腰三角形，顶角约76°。这个侧面的一个底角约是多少度？

28．小棒AC长14厘米，小明第一次将小棒从B点剪开，得到两根小棒AB、BC，量得AB长6厘米。接着小明把其中一根小棒剪成两根，现在一共是3根小棒，可围成一个等腰三角形。

（1）请你在图中用“点D”标出小明第二次剪的位置。

（2）小明用3根小棒围成等腰三角形后，量得等腰三角形的顶角是98°，求这个三角形中一个底角的度数。

参考答案

1．A

【分析】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，据此解答。

【详解】这个四边形内角和是360°。

故答案为：A

【点睛】本题考查四边形的内角和，任何一个四边形，无论形状和大小，内角和都是360°。

2．A

【分析】根据三角形的内角和是，先求出第三个角，再判断三角形的形状即可。

【详解】

＝

＝

这个三角形三个角都是锐角，所以这是一个锐角三角形。

故答案为：A

【点睛】熟练掌握三角形的内角和是解答本题的关键。

3．C

【分析】先对每个选项中的说法进行分析并判断，然后选择错误的一项即可。

A．多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算。

B．同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，依此判断。

C．长方形对边相等，有4个直角；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，依此判断。

【详解】A．梯形有4条边，（4－2）×180°＝2×180°＝360°，即梯形四个内角的和是360°，即题干说法正确。

B．平行线延长也不能相交，即题干说法正确。

C．长方形相邻的两条边互相垂直，即题干说法错误。

故答案为：C

【点睛】此题考查了多边形的内角和，平行与垂直的特点，以及长方形的特点，应逐项进行判断。

4．C

【分析】把该四边形作出对角线，可将四边形分成2个三角形，所以该四边形的内角和等于三角形内角和的2倍，而三角形内角和为180°，据此解答。

【详解】根据分析，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°×2＝360°

故答案为：C

【点睛】本题考查多边形的内角和，可把多边形分为若干个三角形，结合三角形内角和为180°进行计算。

5．B

【分析】A．三条边都相等，三个角都相等的三角形是等边三角形，三角形的内角和为180°；

B．三角形的内角和为180°，因此用180°减去另外两个角的度数之和，即可得到第三个角的度数，然后再根据角的分类标准判断即可。

C．有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三角形的内角和为180°，因此用180°减50°，从而计算出另外两个角的度数之和，然后再判断。

D．三角形的内角和为180°，因此可将第三个角的度数看成1份，则另外两个角的度数之和也为1份，依此计算出第三个角的度数再判断。

【详解】A．三条边都一样长的三角形，是等边三角形，180°÷3＝60°，等边三角形也是锐角三角形。

B．180°－75°＝105°，即其中两个角的度数之和是75°的三角形一定是钝角三角形。

C．180°－50°＝130°，130°－50°＝80°；80°＜90°，所以最大角是80°

即三个角中最小的是50°的三角形，是锐角三角形。

D．180°÷（1＋1）＝180°÷2＝90°，即其中两个角的度数之和等于第三个角的度数的三角形，是直角三角形。

故答案为：B

【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。

6．B

【分析】由三角形内角和为180度可知，若一个三角形中只有一个锐角，另外两个角的和一定大于或等于180度，就不符合三角形内角和定理，从而可以判断出一个三角形中至少有2个锐角；据此解答。

【详解】假设一个三角形中至少有1个锐角，

则另外两个内角的度数和就会等于或大于180度，

那么三角形的内角和就大于180度，

这与三角形的内角和是180度是相违背的，故假设不成立，

所以一个三角形中至少有2个角是锐角。

故答案为：B

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。

7．C

【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°，依此计算并选择即可。

【详解】当50°为顶角时，则底角为：

180°－50°＝130°

130°÷2＝65°，此时两个底角都是65°。

当50°为底角时，则另一个底角也是50°，此时顶角为：

50°＋50°＝100°

180°－100°＝80°，即顶角为80°。

因此等腰三角形中有一个角是50度，另外两个内角是50度和80度或都是65度。

故答案为：C

【点睛】此题考查的是等腰三角形的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。

8．C

【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，由此可以求出另一个角的度数，从而做出正确选择。

【详解】180°－65°－65°

＝115°－65°

＝50°

即顶角是50°。

故答案为：C

【点睛】熟练掌握三角形的内角和知识和等腰三角形的特点，是解答此题的关键。

9．钝角或直角

【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形；三角形的内角和为180°，沿其所对的边上的高对折后得到两个大小不同的三角形，则两个小三角形中都有一个角是直角，依此画图并解答即可。

【详解】如图：

180°－90°＝90°；90°＝90°；

由直角三角形的特征可知，在直角三角形中，两个锐角的度数和等于直角，说明这两个三角形都是直角三角形，所以△ABC是钝角三角形或直角三角形。

【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。

10．     40     锐角

【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去2个70°，即可计算出顶角的度数，然后再根据三角形的分类标准分类即可。

【详解】70°＋70°＝140°

180°－140°＝40°，即它的顶角是40°。

90°＞70°＞40°，即这个三角形还是个锐角三角形。

【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，等腰三角形的特点，以及熟记三角形的内角和度数。

11．65

【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2，即可得到它的另一个底角的度数，依此计算。

【详解】180°－50°＝130°

130°÷2＝65°

即它的另一个底角是65°。

【点睛】熟记三角形的内角和度数以及等腰三角形的特点，是解答此题的关键。

12．     110°##110度     钝角

【分析】三角形的内角和是180°，则∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＝180°－∠1－∠2。再判断这个三角形属于什么三角形。

【详解】∠3＝180°－41°－29°＝110°

∠3是钝角，∠1和∠2是锐角，则这是一个钝角三角形。

【点睛】解决本题的关键是明确三角形的内角和为180°。有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

13．     90     等腰

【分析】直角三角形中有一个角是90°，三角形的内角和是180°，因此用180°减去另外两个角的度数之和，然后再根据三角形的分类标准分类即可。

【详解】90°＋45°＝135°

180°－135°＝45°

45°＝45°

即它的顶角是90度，按边分类，这个三角形还是一个等腰三角形。

【点睛】此题考查的是等腰三角形、直角三角形的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。

14．     40     60

【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去两个底角的度数之和，即可得到顶角的度数；

直角三角形中有一个角是90°，因此用180°减去90°后，再减去30°即可，依此计算。

【详解】70°＋70°＝140°

180°－140°＝40°

180°－90°＝90°

90°－30°＝60°

即一个等腰三角形的一个底角是70度，它的顶角是40度，一个直角三角形的一个锐角是30度，另一个锐角是60度。

【点睛】此题考查的是等腰三角形和直角三角形的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。

15．     76     锐角

【分析】三角形的内角和为180°，因此用180°减去另外两个角的度数之和，然后再根据三角形的分类标准分类即可。

有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，依此填空。

【详解】52°＋52°＝104°

180°－104°＝76°

90°＞76°＞52°

因此这个角是76°，按角分，原来这张纸片的形状是锐角三角形。

【点睛】熟记三角形的内角和度数与三角形分类的标准是解答此题的关键。

16．     平行四边形     360°##360度

【分析】长方形的两组对边分别互相平行，两组对边分别相等，四个角都是直角；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；依此填空。

多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算。

【详解】重叠部分的图形是平行四边形。

（4－2）×180°

＝2×180°

＝360°

即这个图形中的4个角的和是360°。

【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握长方形和平行四边形的特点，以及四边形的内角和的计算。

17．×

【详解】锐角三角形的内角和等于钝角三角形的内角和，且都是180°。

故答案为：×

18．√

【分析】三角形的内角和是180°，据此把这三个角的度数相加，即可判断。

【详解】65°＋95°＋20°

＝160°＋20°

＝180°

所以，一个三角形中，有一个角是65°另外的两个角可能是95°和20°，原题说法正确。

故答案为：√

【点睛】熟记：三角形的内角和是180°，是解答此题的关键。

19．×

【分析】举个等边三角形的反例即可证明。

【详解】在等边三角形中，三个内角都是60°，即最大的内角是60°，所以任意一个三角形中，最大的一个内角一定大于或等于60°，故原题干说法错误。

故答案为：×

【点睛】此题主要考查了三角形的内角和是180°的灵活运用，记住三角形中最大的一个角一定不小于60°，即等于或大于60°。

20．×

【分析】因为三角形的内角和是180°，三角形有两个内角是锐角，则另外一个内角可能为钝角、直角，也可能是锐角，所以可能为钝角三角形、直角三角形，也有可能是锐角三角形；进而判断即可。

【详解】假设这两个锐角分别是65°和25°，那么第三个内角为：180°－65°－25°＝90°，此时是一个直角三角形；

假设这两个锐角分别是75°和65°，那么第三个内角为：180°－75°－65°＝40°，此时是一个锐角三角形；

假设这两个锐角分别是30°和20°，那么第三个内角为：180°－30°－20°＝130°，此时是一个钝角三角形；

因此原题的说法错误，因为另一个内角可能是钝角、直角，也可能是锐角，所以这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形，也可能是锐角三角形。

故答案为：×

【点睛】解答此题用到的知识点：（1）三角形的内角和是180°；（2）三角形的分类。

21．见详解

【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；这条对边叫做三角形的底，依此画图；根据题意可知，125°＋∠ACB＝180°，因此∠ACB＝180°－125°；∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，因此∠B＝180°－∠ACB－∠A，依此计算。

【详解】∠ACB＝180°－125°＝55°

∠B＝180°－55°－70°＝125°－70°＝55°

因此画图下图所示：

【点睛】此题考查的是三角形的高的画法，平角的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。

22．30度

【分析】根据等腰三角形的特征，两个底角相等，用75°×2即可计算出两个底角的度数，用180°减去两个底角的度数即可，据此解决。

【详解】180°－75°×2

＝180°－150°

＝30°

答：它的顶角是30度。

【点睛】解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的特征。

23．36度

【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形；等腰三角形的两个底角相等。据此可知，用180度减去2个72度，即可求出这个风筝的顶角是多少度。

【详解】180－72×2

＝180－144

＝36（度）

答：这个风筝的顶角是36度。

【点睛】熟练掌握等腰三角形的特征及三角形内角和是180度，是解答此题的关键。

24．画图见详解；五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°；（思路见详解）

【分析】先分别将五边形、六边形分成几个三角形（从多边形的一个顶点连接另一个顶点，使之构成1个三角形），1个三角形的内角和是180°，这个多边形能被分成几个三角形，则这个多边形的内角和就等于几个三角形的内角和，依此解答。

【详解】画图如下：

思路：我将五边形分成了3个三角形，1个三角形的内角和是180°，则五边形的内角和等于3个180°，180°×3＝540°，即五边形的内角和是540°。

将六边形分成了4个三角形，则六边形的内角和等于4个180°，180°×4＝720°，即六边形的内角和是720°。

【点睛】此题考查的是多边形的内角和，熟记三角形的内角和度数是解答此题的关键。

25．40度

【分析】在等腰三角形中，两个底角是相等的，根据三角形内角和是180度，用180度减去2个70度就是等腰三角形的顶角的度数。

【详解】180－70×2

＝180－140

＝40（度）

答：它的顶角是40度。

【点睛】本题考查了三角形的内角和是180度和等腰三角形两个底角是相等的，运用内角和求角。

26．七边形；思路见详解

【分析】计算多边形的内角和度数时，可将多边形分成几个三角形，由于一个三角形的内角和是180°，则这个多边形能被分成几个三角形，它的内角和就是几个180°，一个多边形可被分成（它的边数－2）个三角形，即多边形的内角和度数＝（多边形的边数－2）×180°，因此边数＝内角和度数÷180＋2，依此解答。

【详解】思路：先计算出900°里面含180°的个数，900°÷180°＝5（个），然后用三角形的个数加2就是这个多边形的边数，即5＋2＝7，因此它是一个七边形。

答：它是一个七边形。

【点睛】熟练掌握多边形内角和度数的计算方法是解答此题的关键。

27．52°

【分析】等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。

【详解】（180°－76°）÷2

＝104°÷2

＝52°

答：这个侧面的一个底角约是52°。

【点睛】本题考查等腰三角形的特征和三角形的内角和定理。等腰三角形中，顶角＋2×底角＝180°。

28．（1）见详解；

（2）41°

【分析】（1）根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等腰三角形是两个腰长相等，两个底角相等。由此解答即可。

（2）因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，所以底角的度数＝（180°－顶角度数）÷2；代数计算即可。

【详解】（1）如图：

因为AB长6cm，可以把BC分成6厘米和2厘米或4厘米和4厘米。

（2）（180°－98°）÷2

＝82°÷2

＝41°

答：底角是41°。

【点睛】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征及等腰三角形的特征解决问题。