初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明精品当堂达标检测题

第13讲  相似三角形判定定理的证明

知识点01  相似三角形判定定理的证明

（一）相似三角形的判定定理1的证明过程

已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,

则∠ADE=∠B，∠AED=∠C,

过点D作AC的平行线，交BC与点F,则

      ∴

∵DE∥BC,DF∥AC,

∴四边形DFCE是平行四边形.

∴DE=CF.

∴AE:AC=DE:CB

∴.

而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,

∴△ADE∽△ABC.

∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,

∴△ADE∽△A′B′C′.

∴△ABC∽△A′B′C′.

（二）相似三角形的判定定理2的证明过程

已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,

则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,

∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).

∴.

∵ ,AD=A′B′,

∴

∴

∴AE=A′C′

而∠A=∠A′

∴△ADE≌△A′B′C′.

∴△ABC∽△A′B′C′.

（三）相似三角形的判定定理3的证明过程

已知：在△ABC和△A′B′C′中， .求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE.

∵，AD=A′B′,AE=A′C′,

∴

而∠BAC=∠DAE,

∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∴

又，AD= A′B′,

∴

∴

∴DE=B′C′,

∴△ADE≌△A′B′C′，

∴△ABC∽△A′B′C′.

知识点02  证明相似三角形的一般思路

（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。

（2）有一对等角——找“另一对等角”（用判定定理1）或“夹这对等角的两组边对应成比例”（用判定定理2）。

（3）有两组边对应成比例——找“夹角相等”（用判定定理2）或“第三边也对应成比例”（用判定定理3）。

（4）直角三角形——找“一对锐角相等”（用判定定理1）或“两直角边对应成比例”（用判定定理2）。

考法01   相似三角形判定定理的证明

【典例1】如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【即学即练】如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（       ）

A．①② B．①②③

C．①②③④ D．①②③④⑤

【典例2】在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题

（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；

（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；

（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；

（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．

其中真命题的个数为（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【即学即练】△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　)

A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=,DF=

B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1

C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6

D．AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3

【典例3】如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ）

A．若，则与相似 B．若，则与相似

C．若，则与相似 D．若，则与相似

【即学即练】如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）

A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC

C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE

题组A  基础过关练

1．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（        ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么

A． B． C． D．

4．D为△ABC边AB上一点，下列说法中错误的是     (        )

A．若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC B．若∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC

C．若AC2=AD·AB，则△ACD∽△ABC D．若AC：CD=AB：BC， 则△ACD∽△ABC

5．给出下列结论：

①任意两个等边三角形相似

②顶角对应相等的两个等腰三角形相似

③两条边对应成比例的两个直角三角形相似

其中正确的是(   )

A．②③ B．①③ C．①② D．①②③

6．在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（             ）组．

①； ②； ③；④．

A． B． C． D．

7．如图，在中，，分别与边，相交于点D，E，，若，则______.

8．如图，在中，D是边上的点，如果________或________，则.

9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

10．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．

（1）求证：△AED∽△ABC；

（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．

题组B  能力提升练

1．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（　　）

A． B． C． D．

3．如图在△ABC中，DE∥BC，且AD：BD=1：2，则S△ADE：S四边形DBCE=（　　）

A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8

4．下列能判定的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

5．下列各组条件中，不能判定与相似的是（       ）

A．， B．，，

C．， D．，

6．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，，゜，，．当________，________时，．

8．如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则________．

9．如图，在中，交AC于E点，DE交AB于D点，若求BC的长．

10．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．

（1）求证：△ACP∽△PDB；

（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．

题组C  培优拔尖练

1．如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（     ）

A．2处 B．3处 C．4处 D．5处

2．如图，在中，点在的延长线上，分别交、于点、，则图中相似三角形共有（     ）

A．4对 B．5对 C．6对 D．7对

3．如图，点是的边延长线上一点，分别交、的延长线于点、，则图中相似三角形共有（        ）对．

A． B． C． D．

4．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（   ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ）

A． B．2 C． D．4

6．和符合下列条件，其中使与不相似的是（     ）

A．

B．

C．

D．

7．在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在直线AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长为________

8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有_____（只填序号）

9．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°．

（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；

（2）求证：△ABF∽△CEB；

（3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由．

10．如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F．

如图，求证：；

如图，作于G，试探究：当AB与AD满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

如图，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰，交对角线BD于N，连接AM，若，请直接写出的值．