初中北师大版3 相似多边形精品练习题

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第12讲 相似多边形与三角形相似的条件
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课程标准
1.了解相似多边形和相似比的定义。
2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。
3.掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。
4.了解相似三角形的概念。
5.熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。
6.能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。
7.了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。
知识精讲

知识点01 相似多边形的定义
1．相似多边形的定义
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
2．记法
相似符号：“∽”，读作“相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
注意：
（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质。
知识点02 相似多边形的性质及判定
1．相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等、对应边成比例。
2．相似多边形的判定
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
知识点03 相似三角形的概念
1．概念
三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2．符号语言

如图所示，在和中，，，，，∽。
3．相似三角形的“三性”
（1）对应性：两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。找对应元素的方法同全等三角形。
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：∽，它们的相似比为；如果写成∽，那么它们的相似比是，且
（3）传递性：若∽，∽，则∽
知识点04 相似三角形的判定定理
（一）相似三角形的判定定理1
1．定理
两角分别相等的两个三角形相似。
2．符号语言
已知和，若，，则∽。
3．归纳：有关三角形相似的基本图形

（二）相似三角形的判定定理2
1．定理
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2．符号语言
已知和，若，，则∽。
（三）相似三角形的判定定理3
1．定理
三边成比例的两个三角形相似.
2．符号语言
已知和，若，则∽。
注意：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的。
知识点05 黄金分割的有关概念
1．定义
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
2．作一条线段的黄金分割点

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB。
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB。
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点。
注意：
（1）≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值)。
（2）一条线段的黄金分割点有两个。
能力拓展

考法01 相似多边形性质的应用
【典例1】如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（       ）

A．4：1 B． C． D．2：1
【答案】B
【解析】根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，
∴，
∵E为AD中点
∴
∴，
∴，
∴，
∴原矩形纸片长与宽的比为
故选B
【即学即练】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（       ）

A． B．6 C． D．9
【答案】A
【解析】解：设CE=x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴，
∵AB=3，BE=2，EF=AB，
∴，
解得：x=4.5，
故选：A．
【典例2】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
【答案】B
【解析】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ＝1：2．
故选：B．
【即学即练】把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（　　）
A．:1 B．4:1 C．3:1 D．2:1
【答案】A
【解析】

设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴，
∴大矩形与小矩形的相似比是：1；
故选A．
考法02 相似多边形的判定
【典例3】下列说法正确的是（        ）
A．所有等边三角形都相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似
【答案】A
【解析】解：A、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
B、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
C、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
D、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．
故选：A．
【即学即练】下列说法中，不正确的是（       ）
A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】A
【解析】解：A、所有的菱形都相似，错误；
B、所有的正方形都相似，正确；
C、所有的等边三角形都相似，正确；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，正确；
故选：A.
【典例4】在如图所示的各组图形中，相似的是(　　)

A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【解析】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故选C．
【即学即练】如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．

考法03 相似三角形的概念
【典例5】下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
【答案】C
【解析】解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B=∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，21，18，则三边之比为2：7：6，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB=EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
【即学即练】下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（       ）
A．∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE
B．∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80°
C．∠A＝∠D＝50°，AB＝3 ，AC＝5 ，DE＝6 ，DF＝10
D．∠B＝∠E＝70°，AB：DE＝AC：DF
【答案】D
考法04 相似三角形的三个判定定理
【典例6】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（   ）

A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
【答案】C
【解析】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A不符合题意；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B不符合题意；
∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，
故C符合题意；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
故D不符合题意；
故选C．
【即学即练】如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意得：∠A=∠A，
A、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：C
【典例7】如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A．，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
B．竖向确定三角形△ACD与△ABC，夹角与∠B不一定相等，横向确定三角形△ABC与△CBD，夹角∠A与∠DCB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意，
C．由变形得，，由∠BAC=∠CAD，则，
可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定，符合题意；
D．竖向确定三角形△ADC与△BCD，夹角与∠DCB不一定相等，横向确定三角形△ADC与△ACB，夹角∠ADC与∠ACB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
故选择：．
【即学即练】如图所示，若，则需满足（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是公共角，要使
只需，即
故选：B．
考法05 黄金分割
【典例8】生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（       ）．

A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米
【答案】D
【解析】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，
∴，
∵b为2米，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；
故选：D．
【即学即练】某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且，已知，那么该正五边形的周长为（       ）

A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
【答案】C
【解析】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，
∴，
∵AB=AC=10cm，
∴AD=6.18（cm），
∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，
∴BC=CD=AD=6.18（cm），
∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm），
故选：C．
分层提分

题组A 基础过关练
1．观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（       ）
             
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【解析】解：第一组形状不同，不符合相似形的定义；
第二组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
第三组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
第四组形状不同，不符合相似形的定义，；
是相似图形的有2组．
故选：B．
2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A、三角形各角的度数都是60°，
B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：D．
3．下列命题中正确的个数是（       ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（3）两个等边三角形一定相似
（4）任意两个矩形一定相似
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故（1）正确；
（2）斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故（2）正确；
（3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故（3）正确；
（4）任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故（4）错误；
故正确命题有（1）（2）（3）一共3个，
故选：C．
4．如图，要使，需要具备的条件是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：，
∴ ．
故选：C．
5．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（        ）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
【答案】D
【解析】解：因为这两个六边形相似，
所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，
故选：D．
6．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（       ）

A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
【答案】B
【解析】解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，
∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，
∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为：27cm2．
故选：B．
7．如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．

【答案】AC2＝AB•AD（答案不唯一）
【解析】解： 添加：AC2＝AB•AD
∵AC2＝AB•AD
∴
∵∠A＝∠A
∴ΔACD∽ΔABC．
故答案为：AC2＝AB•AD（答案不唯一）．
8．图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长，桌面离地面，灯泡离地面，则地面上阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】
解：根据题意由图可知，
，
由于面积比等于相似比的平方，
故地面上阴影部分的面积为，
故答案为：．
9．如图，E是平行四边形ABCD的边DA延长线上一点，连结EC交AD于P．

(1)写出图中的三对相似三角形（不添加辅助线）；
(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由．
【答案】(1)△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC
(2)△EAP∽△CBP，理由见解析（答案不唯一）
【解析】(1)△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC．
(2)选△EAP∽△CBP，
理由如下：在▱ABCD中AD//BC，
∴∠EAP＝∠B．
又∵∠APE＝∠BPC，
∴△EAP∽△CBP．
同理，利用“两角法”证得△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC．
10．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC；
(2)∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝6.
∵四边形ABCD与CEFD相似，
∴＝，即＝.
解得,BC＝3±3．
∵BC＞0，
∴BC＝
题组B 能力提升练
1．若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

如图，设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm，
由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似
∴，解得：x
∵（舍去）
∴
故选：D
2．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（       ）

A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】D
【解析】解：∵6：2=3：1，
∴三个矩形的长宽比为3：1，
甲方案：如图1所示，

3a+3b=6，
∴a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
乙方案：如图2所示，

a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
如图3所示，

矩形①的长为2，则宽为2÷3=；
则矩形②的长为6-=，宽为÷3=；
∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=；
∵16，
∴周长和的最大值为；
故选：D．
3．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，
∴ ，
∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴，
∴ ，
故选：B．
4．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（　　）

A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（       ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】解：①∵，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠1=∠2，故①成立；
②∵，
∴BC=DE，故②成立，
③∵，
∴AB=AD，AC=AE，
∴，又∠1=∠2，
∴，故③成立，
综上，一定成立的有①②③共3个，
故选：D．
6．如图，在中，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（   ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】∵∠EAC=∠CAF，∠AEC=∠ACF，
∴△ACE∽△AFC；

∵∠EAC+∠AFC=90°，∠ECF+∠AFC=90°，
∴∠EAC=∠ECF，
∵∠AEC=∠CEF，
∴△ACE∽△CFE；
∵是边的中点，
∴DC=DB，
∴∠ECF=∠EAC=∠B，
∵∠AEC=∠BCA，
∴△ACE∽△BAC；
共有3个，
故选B.
7．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝_____．
【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2，
故答案为：2．
8．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．

【答案】或
【解析】解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
9．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
【答案】（1）见解析；（2）GD＝．
【解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．
10．如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．

(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)证明：∵垂直平分，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴．

(2)解：如图，延长至，使，连接，．

则垂直平分，
，
是边上的中线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（       ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；
②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；
③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；
④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；
故选：C．
2．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线BD的异侧，连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知，则只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（       ）

A．矩形的面积 B．的度数
C．四边形的周长 D．的长度
【答案】A
【解析】解：如图，连接BC1，DA1，过点B1作B1E⊥AB于点E，过点C1作C1F⊥AB于点F，过点B1作B1G⊥AD于点G，过点D1作D1H⊥BC于点H，
∵B1C1⊥BC，
∴四边形AEB1G、四边形EFC1B1是矩形，
设小矩形的长和宽分别为a和b，大矩形的长和宽分别为ak和bk，BF=m，AG=n，则S矩形A1B1C1D1＝ab，S矩形ABCD=abk2，AE=bk-m-a，CH=ak-n-b，
∴S△BC1B1＝B1C1•AG＝an，S△BC1D1＝C1D1•BF＝bm，S△DA1B1＝A1B1•AE=b（bk-m-a），S△DA1D1＝A1D1•CH=a（ak-n-b），
∴S四边形BB1DD1＝S△BC1B1+S△BC1D1+S△DA1B1+S△DA1D1+S矩形A1B1C1D1
=an+bm+b(bk−m−a)+ a(ak−n−b)+ab
=k（a2+b2）=k[（a+b）2-2ab]
=k（a+b）2-kab，
∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1的周长已知，
∴2（a+b）和2（ak+bk）为定值，
∴k为定值，
∴k（a+b）2为定值，
∵kab=，
∴当S矩形ABCD已知时，四边形B1BD1D的面积即为定值，

故选：A．
3．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（     ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】四边形ABCD是矩形，
，
，即，
四边形ABFE是矩形，
是的平分线，且，
，
四边形ABFE是正方形，
，
又四边形ABCD是黄金矩形，且，
，
设，则，
，
，
，
则，，
即，选项A正确；
，，
即，选项B正确；
，，
即，选项C错误；
，则选项D正确；
故选：C．
4．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】由题意得：，，，，，
∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴∠B=60°
∵
∴是等边三角形
∴
∴，∠，
∴∥BC
∵∠ACB=90°
∴
∴与相似的三角形有、△ABC、、
所以有4个
故选：C
5．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，
∴S△BEF=×24=，
故④正确．
综上可知正确的结论是3个．
故选C．

6．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　)

A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3
【答案】B
【解析】延长FE，CD交于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE，
∴ =，即 ，
∴HD＝3AF.
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CHG，
∴.
故选B.
7．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是____．
【答案】1.6．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．

【答案】3
【解析】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
9．已知正方形，为射线上的一点，以为边作正方形，使点在线段的延长线上，连接
(1)如图，若点在线段的延长线上，求证：；
(2)如图，若点在线段的中点，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)如图，若点在边上，连接，当平分时，设，求度数.
              
【答案】(1)证明见解析；(2)△ACE是直角三角形；(3)
【解析】解：(1)∵四边形和四边形是正方形，
，

∵
，

(2)是直角三角形
∵为的中点

又∵


又∵
，即是直角三角形
(3)如图，设交于点，

∵平分,
，


作

又∵

又∵

∵


10．正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF＝BE，AE与BF交于G点．
（1）如图1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF．
（2）连接CG并延长交AB于点H，
①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；
②若点E在BC的边上滑动（不与B、C重合），当CG取得最小值时，求BE的长．

【答案】（1）①见解析;②见解析;（2）①BH＝；②2﹣2．
【解析】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中， ，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF；
②由①得：△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：①如图2所示：
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝BC＝2，
∴BF ，
由（1）得：AE⊥BF，
∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴ ，
设GE＝x，则BG＝2x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝22，
解得：x＝ ，
∴BG＝2× ，
∵AB∥CD，
∴ ，即 ，
解得：BH＝；
②由（1）得：∠AGB＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M，
由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∴GM＝AB＝BM＝2，
∵AB∥CD，
∴ ＝1，
∴CF＝CG，
∵CF＝BE，
∴CF＝CG＝BE，
设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42＝（a+2）2，
解得：a＝2﹣2，即
当CG取得最小值时，BE的长为2﹣2．