苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀同步练习题

第07讲 指数与对数

【知识梳理】

知识点一：指数

1．n次实数方根

如果一个实数x满足xn＝a，那么称x为a的n次实数方根，其中n＞1且n∈N*.

2．n次实数方根的性质

(1)当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，用符号表示．

(2)当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负n次实数方根用符号－表示．它们可合并写成±

(a＞0)．

(3)0的n次实数方根等于0，记作 ＝0.

3．根式的定义

式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

4．两个等式

(1)n∈N*，n≥2，()n＝a.

(2)n为奇数时，＝a，n为偶数时，＝|a|.

5．分数指数幂的意义

一般地，我们规定＝(a>0，m，n均为正整数)；＝ (a>0，m，n均为正整数).

0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．

6．有理数指数幂的运算性质

(1)as·at＝as＋t，(2)(as)t＝ast，(3)(ab)t＝atbt.

其中a，b，s，t的取值范围是a＞0，b＞0，s，t∈Q.

知识点二：对数

1．对数的概念

一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log10N简记为lg_N.

在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N.

3．对数与指数的关系

若a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.

对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．

4．对数的性质

(1)零和负数无对数，即真数N＞0.

(2)底的对数为1,1的对数为0，即logaa＝1，loga1＝0(a＞0且a≠1)．

知识点三：对数运算

1．对数的运算性质：如果a＞0且a≠1，M＞0，N>0，n∈R，那么

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM.

2．换底公式：若a＞0且a≠1，N＞0，c＞0且c≠1，则logaN＝.

【典型例题】

考点一：根式的运算

1. 的值是（       ）

A． B． C． D．

2. 化简(其中，)的结果是（       ）

A． B． C． D．

3. 有下列四个式子：

① ；

② ；

③ ；

④

其中正确的个数是（       ）

A． B． C． D．

4. 若，则________.
5. 若有意义，则a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

6. 若有意义，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7. 化简下列各式（，，，）：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）.

8. 已知实数满足，则（       ）

A． B． C． D．

考点二：条件求值问题

9. 已知（），则的值等于（       ）

A． B．

C． D．

10. 已知是方程的两个实数根，且，则____．

11. 若，，则的值为（       ）

A． B．2 C． D．

考点三：对数的概念

12. 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)

A．b<2或b>5   B．2<b<5

C．4<b<5   D．2<b<5且b≠4

考点四：对数基本性质的应用

13. ①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是（       ）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

14. 若，则x的值等于（       ）

A．10 B．13 C．100 D．

15. 若，则x=___________.

考点五：对数式与指数式的互化

16. 已知，则（       ）

A．2 B．3 C． D．

考点六：对数运算性质的应用

17. 计算___________
18. 已知.

（1）求lg45的值；

（2）求的值．

19. 不用计算器，求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）.

考点七：换底公式的应用

20. 若3x＝4y＝36，则＝________.

21. 已知，则的值为（       ）

A．1 B．0 C． D．2

22. 若实数a，b，c满足，则下列式子正确的是（       ）

A． B． C． D．

23. 设a，b，c都是正数，且，那么（       ）

A． B． C． D．

24. 已知，，则（       ）

A． B． C． D．

25. 已知，，，则______

考点八：文化素养

26. 农业农村部于年月日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（       ）天能达到最初的倍．（参考数据：，，，．）

A． B． C． D．

27. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

28. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

A．1033 B．1053

C．1073 D．1093

29. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（       ）（附：）

A．20% B．23% C．28% D．50%