初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法精品课时练习

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2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第14章《整式的乘法与因式分解》
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考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
1．（2分）（2020•雨花区模拟）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3 D．（a+b）2＝a2+b2
解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
2．（2分）（2018秋•天心区校级期中）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣1＝x（x﹣）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是多项式乘法，故此选项错误；
B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
C、x2﹣4+3x＝（x+4）（x﹣1），故此选项错误；
D、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），正确．
故选：D．
3．（2分）（2021秋•长沙期末）下列四个整式：①x2﹣4x+4； ②6x2+3x+1； ③4x2+4x+1； ④x2+4xy+2y2．其中是完全平方式的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．③④
解：①x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，符合题意；
②6x2+3x+1，不符合题意；
③4x2+4x+1＝（2x+1）2，符合题意；
④x2+4xy+2y2，不符合题意，
故选：A．
4．（2分）（2020秋•岳麓区校级月考）下列因式分解结果正确的是（　　）
A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）
C．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） D．a2﹣2a+1＝（a+1）2
解：A、原式＝（x+1）（x+2），故本选项错误；
B、原式＝（2x+3）（2x﹣3），故本选项错误；
C、原式＝（x﹣2）（x﹣3），故本选项正确；
D、原式＝（a﹣1）2，故本选项错误；
故选：C．
5．（2分）（2017秋•天心区校级月考）如果a，b，c满足a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9＝0，则abc等于（　　）
A．9 B．27 C．54 D．81
解：a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9，
＝（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣6c+9），
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣3）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣3）2＝0，
∴a＝b，b＝c，c＝3，即a＝b＝c＝3．
∴abc＝27．
故选：B．
6．（2分）（2021秋•雨花区校级月考）若代数式x2+8x+k是个完全平方式，则k的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
解：∵代数式x2+8x+k＝x2+2•x•4+k是个完全平方式，
∴k＝42＝16．
故选：C．
7．（2分）（2022•长沙）下列计算正确的是（　　）
A．a7÷a5＝a2 B．5a﹣4a＝1
C．3a2•2a3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
解：∵a7÷a5＝a7﹣5＝a2，
∴A的计算正确；
∵5a﹣4a＝a，
∴B的计算不正确；
∵3a2•2a3＝6a5，
∴C选项的计算不正确；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D选项的计算不正确，
综上，计算正确的是A，
故选：A．
8．（2分）（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
解：∵2021
＝2021×1
＝（1011+1010）（1011﹣1010）
＝10112﹣10102，
∴2021是智慧数，
∴选项A不符合题意；
∵2022不能写成两个正整数的平方差，
∴2022不是智慧数，
∴选项B符合题意；
∵2023
＝2023×1
＝（1012+1011）（1012﹣1011）
＝10122﹣10112，
∴2023是智慧数，
∴选项C不符合题意；
∵2024
＝1012×2
＝（507+505）（507﹣505）
＝5072﹣5052，
∴2024是智慧数，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
9．（2分）（2021秋•开福区校级月考）已知a＝240，b＝332，c＝424，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
解：∵a＝240＝（25）8＝328，
b＝332＝（34）8＝818，
c＝424＝（43）8＝648，
又∵32＜64＜81，
∴a＜c＜b．
故选：B．
10．（2分）（2019秋•望城区期末）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：＝（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．2
解：原式＝2×（1﹣）
＝2×（1﹣）+
＝2﹣+
＝2，
故选：D．
二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
11．（2分）（2021秋•长沙期中）若（x+a）（2x﹣4）的结果中不含x的一次项，则a的值为 　2　．
解：原式＝2x2﹣4x+2ax﹣4a
＝2x2+（2a﹣4）x﹣4a
令2a﹣4＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
12．（2分）（2022春•栾城区期末）已知3m＝2，3n＝5，则32m+n的值是　20　．
解：∵3m＝2，3n＝5，
∴32m＝（3m）2＝22＝4，
∴32m+n＝32m•3n＝4×5＝20．
故答案为：20．
13．（2分）（2021秋•长沙期末）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 　5　．
解：∵（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，
∴a2﹣2ab+b2＝6①，a2+2ab+b2＝4②，
①+②，得2a2+2b2＝10，
∴a2+b2＝5．
故答案为：5．
14．（2分）（2020秋•雨花区校级月考）如图．现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（3a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片的张数是　11　．

解：∵（a+3b）（3a+2b）＝3a2+11ab+6b2，
∵一张C类卡片的面积为ab，
∴需要C类卡片11张．
故答案为：11．
15．（2分）（2019秋•长沙县期末）如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解＝　（a+b）（a+4b）　．

解：由图可知，
a2+5ab+4b2＝（a+b）（a+4b），
故答案为：（a+b）（a+4b）．
16．（2分）（2019秋•芙蓉区校级月考）若多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为　7或﹣3　．
解：∵多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，
∴2（m﹣2）＝±10，
解得：m＝7或﹣3，
故答案为：7或﹣3
17．（2分）（2019秋•岳麓区校级期中）已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝　2　．
解：当ab＝a+b+1时，
原式＝ab﹣a﹣b+1
＝a+b+1﹣a﹣b+1
＝2，
故答案为：2．
18．（2分）（2018秋•雨花区校级月考）试比较255、344、433的大小：　255　＜　433　＜　344　．
解：255＝3211，
344＝8111，
433＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故答案为：255，433，344．
19．（2分）（2021秋•开福区校级期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝　4　．
解：2x3﹣3x2﹣11x+1
＝2x×x2﹣3x2﹣11x+1
＝2x×（3x+1）﹣3（3x+1）﹣11x+1
＝6x2+2x﹣9x﹣3﹣11x+1
＝6x2﹣18x﹣2
＝6×（3x+1）﹣18x﹣2
＝18x+6﹣18x﹣2
＝4．
故答案为4．
20．（2分）（2020秋•雨花区期中）已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝　9　．
解：9a÷27b
＝（32）a÷（33）b
＝（3）2a﹣3b，
∵ka＝4，kb＝6，kc＝9，
∴ka•kc＝kb•kb，
∴ka+c＝k2b，
∴a+c＝2b①；
∵2b+c•3b+c＝6a﹣2，
∴（2×3）b+c＝6a﹣2，
∴b+c＝a﹣2②；
联立①②得：，
∴，
∴2b﹣a＝a﹣2﹣b，
∴2a﹣3b＝2，
∴9a÷27b
＝（3）2a﹣3b
＝32
＝9．
故答案为：9．
三、解答题(共9题；共60分)
21．（6分）（2021秋•长沙县期末）因式分解：
（1）x（a﹣1）+（1﹣a）；
（2）3m2+6mn+3n2．
解：（1）x（a﹣1）+（1﹣a）＝（a﹣1）（x﹣1）；
（2）3m2+6mn+3n2．
＝3（m2+2mn+n2）
＝3（m+n）2．
22．（6分）（2021秋•望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．
解：（1）①ab﹣2a﹣2b+4
＝a（b﹣2）﹣2（b﹣2）
＝（b﹣2）（a﹣2）；
②∵ab﹣2a﹣2b﹣4
＝ab﹣2a﹣2b+4﹣8
＝0，
由①可知：（b﹣2）（a﹣2）＝8，
∵a，b（a＞b）都是正整数，
∴a﹣2＞b﹣2，且a﹣2、b﹣2都为整数，
可得，或或或
解得，或，或（不合题意，舍去），或（不合题意，舍去），
∴当a＝10，b＝3时，
2a+b＝2×10+3＝20+3＝23，
当a＝6，b＝4时，
2a+b＝2×6+4＝12+4＝16，
∴2a+b的值为23或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得，
ab＝a+b+1，
∴M＝a2+3（a+b+1）+b2﹣9a﹣7b
＝a2+3a+3b+3+b2﹣9a﹣7b
＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）﹣9﹣4+3
＝（a﹣3）2+（b﹣2）2﹣10，
∴整式M的最小值是﹣10．
23．（7分）（2021秋•开福区校级月考）对实数x、y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b为常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b，F（2，﹣3）＝2a﹣3b．已知F（1，1）＝2，F（1，﹣1）＝0．
（1）则a＝　1　，b＝　1　；
（2）若方程组的解中，x是非正数，y是负数：
①求m的取值范围；
②若2x•4y＝2n，求n的最小值；
（3）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，求c的取值范围．
解：（1）∵F（x，y）＝ax+by，
∴F（1，1）＝a+b＝2，F（1，﹣1）＝a﹣b＝0，
即，解得，
故答案为：1，1；
（2）①∵，
∴，解得，
∵x是非正数，y是负数，
∴，解得：；
②由2x•4y＝2n得2x•22y＝2n，
∴x+2y＝n，即m﹣2+2（1﹣3m）＝n，
化简得：n＝﹣5m，
∴当m取最大值2时，此时n的值最小，
最小值为：n＝﹣5×2＝﹣10；
（3）由不等式组得：，
解得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴，
解得：．
24．（8分）（2021秋•芙蓉区校级月考）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，将其沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长等于 　a﹣b　．
（2）图2中阴影部分的面积可以表示为 　（a﹣b）2　，也可以表示为 　（a+b）2﹣4ab　．
（3）根据（2）中的等量关系解决下面问题，若a+b＝5，ab＝6，求a﹣b的值．

解：（1）根据拼图可知，阴影正方形的边长为（a﹣b），
故答案为：a﹣b；
（2）阴影正方形的边长为（a﹣b），因此S阴影正方形的面积＝（a﹣b）2，
S阴影正方形的面积＝S大正方形的面积﹣S图1的面积＝（a+b）2﹣4ab，
故有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
当a+b＝5，ab＝6时，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×6＝25﹣24＝1．
即a﹣b的值为1．
25．（8分）（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
解：（1）x2﹣46x+520
＝x2﹣46x+232﹣9
＝（x﹣23）2﹣9
＝（x﹣26）（x﹣20）；
（2）y＝﹣x2+2x+1313
＝﹣x2+2x﹣1+1314
＝﹣（x2﹣2x+1）+1314
＝﹣（x﹣1）2+1314，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，
∴y的最大值1314；
（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030
＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020
＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，
当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时代数式有最小值，
解得m＝4，n＝3，最小值为2020．
26．（8分）（2021秋•长沙期中）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？

解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2
＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2
＝22a2+16ab+2b2（平方米），
答：铺设地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，
原式＝22×22+16×2×3+2×32
＝202（平方米），
答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米．
27．（8分）（2021秋•长沙期中）阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．

解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则：
a+b＝﹣2，a2+b2＝10．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴10+2ab＝（﹣2）2．
∴ab＝﹣3．
∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，
∴AE﹣AG＝1．
∵长方形AEFG的面积是，
∴AE•AG＝．
∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，
∴AE2+AG2＝1+＝．
∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，
∴（AE+AG）2＝，
∴AE+AG＝．
∴S阴影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK
＝AE2﹣AG2
＝（AE+AG）（AE﹣AG）
＝×1
＝．
28．（9分）（2016秋•天心区校级月考）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24＝　2　，log216＝　4　，log264＝　6　．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN＝　loga（MN）　；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．
解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；

（2）4×16＝64，log24+log216＝log264；

（3）logaM+logaN＝loga（MN）；

（4）证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，
则＝M，＝N，
∴MN＝，
∴b1+b2＝loga（MN）即logaM+logaN＝loga（MN）