数学人教版第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程精品同步训练题

2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）

第21章《一元二次方程》

21.2 解一元二次方程

知识点1：一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义                    称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　                 

　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有                   实数根；
　　　 　若，则x=O；表示为，有                      实数根；
　　　 　若，则方程                        ．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程                                    ，可直接开平方求解，两根是　　　　                        .
知识要点

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是           ，应用时应把方程化成                   完全平方式，右边是              的形式，就可以                  求这个方程的根.
知识点2：一元二次方程的解法---配方法
1．配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 将一元二次方程配成                         的形式，再利用               求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：                    .
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为                           的形式；
　　　②将常数项移到                 ；方程两边                  ，将              化为1；
　　　③方程两边                           ；
　　　④再把方程左边配成一个             右边                   
　　　⑤若方程右边是      则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是        ，则判定此方程无实数解.
知识要点

（1）配方法解一元二次方程的口诀：                        ；

（2）配方法关键的一步是         ，即在方程两边都                        

（3）配方法的理论依据是完全平方公式                         ．

知识点3：配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过           最后拆项或添项、配成             ，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将                 ，左边                   后，再运用        求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成                    后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

知识要点

    “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是                                 的重要手段，是                     的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
知识点4：公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为               　　　 ②确定           的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
知识要点

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.

    ①当时，右端是正数．因此，方程有           的实根：.

② 当时，右端是零．因此，方程有              的实根：.

③ 当时，右端是负数．因此，方程             

知识点5：因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为                      ；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到                       ；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是                          .
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

知识要点

   （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次           

因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

知识点6：一元二次方程根的判别式

1.一元次方程根的判别式 

一元二次方程中，                    叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即                      

（1）当△>0时，一元二次方程有                 的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有                   的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程                 实数根.

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为               ；②

确定                 的值；③计算            的值；④根据            的符号判定方程根的情况.

2. 一元二次方程根的判别式的逆用    

在方程中，

（1）方程有                的实数根﹥0；

（2）方程有               的实数根=0；

（3）方程                  ﹤0.

知识要点

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则                      ≥0.

知识点7：一元二次方程的根与系数的关系   

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么                       ，                       .

注意它的使用条件为                          

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于                       ；两根之积等于                       

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

    (1)验根．不解方程，利用                       可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

    (2)已知方程的一个根，求方程的                   ；

    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0且时，两根同号．

当△≥0且，时，两根             ；

当△≥0且，时，两根                    ．

②当△＞0且时，两根异号．

     当△＞0且，时，两根                       ；

当△＞0且，时，两根                       ．

知识要点

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．