数学九年级上册21.1 一元二次方程精品综合训练题

2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第21章《一元二次方程》

21.1 一元二次方程

知识点1：一元二次方程的定义

【典例分析01】（2022春•包河区期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣2＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝x2+1

解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

∴A选项符合题意；

B选项未知数最高次数是2，不符合题意；

C选项不是整式方程，不符合题意；

D化简，得x﹣1＝0，不含有2次项，

∴D选项不符合题意．

故选：A．

【变式训练1-1】（2021秋•桐柏县期末）关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　﹣2　．

解：∵（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，

∴|m|＝2，m﹣2≠0，

解得：m＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【变式训练1-2】（2021秋•密山市校级期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　）

A．ax2+bx+c＝0 B．（x+1）2＝x+1 C．x2＝x2+1 D．x+2＝0

解：A．当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；

B．（x+1）2＝x+1是一元二次方程，故B符合题意；

C．由原方程得到0＝1，不成立，不是一元二次方程，故C不符合题意；

D．x+2＝0未知数最高次数是1，不是一元二次方程，故D不符合题意；

故选：B．

【变式训练1-3】（2022春•碑林区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣1　．

解：根据题意得，|m﹣1|＝2且m﹣3≠0，

解得：m＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【变式训练1-4】（2021秋•兰考县期末）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣3　．

解：∵（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，

∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，

解得：m＝﹣3，

故答案为：﹣3．

【变式训练1-5】．（2021秋•西峡县期中）已知关于x的一元二次方程．

（1）求a的值；

（2）解这个一元二次方程．

解：（1）∵方程是一元二次方程，

∴|a|﹣1＝2且a+3≠0，

解得：a＝3；

（2）方程为6x2+x﹣＝0，

12x2+2x﹣1＝0，

∵b2﹣4ac＝22﹣4×12×（﹣1）＝52＞0，

∴x＝，

解得：x1＝，x2＝．

【变式训练1-6】（2020秋•南江县校级期中）关于x的方程（k2﹣4k+3）xk﹣1﹣5x+13＝0能否为一元二次方程？若能，求出k的值；若不能，请说明理由．

解：若关于x的方程（k2﹣4k+3）xk﹣1﹣5x+13＝0是一元二次方程，

则，

∴k无解，

∴关于x的方程（k2﹣4k+3）xk﹣1﹣5x+13＝0不能为一元二次方程．

知识点2：一元二次方程的一般形式

【典例分析02】（2022春•台江区校级期末）将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式为 　3x2﹣7x+1＝0　．

解：（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3，

3x2+3x﹣2x﹣2＝8x﹣3，

3x2+x﹣2﹣8x+3＝0，

3x2﹣7x+1＝0，

故答案为：3x2﹣7x+1＝0．

【变式训练2-1】（2022春•包河区期末）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0化为一般形式后，常数项为（　　）

A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1

解：方程整理得：x2+x﹣6＝0，则常数项为﹣6．

故选：B．

【变式训练2-2】（2021秋•甘井子区期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）

A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，1 D．5，﹣4，﹣1

解：5x2+1＝4x可化为5x2﹣4x+1＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，﹣4，1，

故选：C．

【变式训练2-3】（2021秋•密山市校级期末）以﹣2为一根且二次项系数是1的一元二次方程可写为 　x2+4x+4＝0（答案不唯一）　（写一个即可）．

解：∵一元二次方程的二次项系数为1，且一个根为﹣2

∴方程为（x+2）（x+m）＝0，

令m＝2，则方程为（x+2）（x+2）＝0，即x2+4x+4＝0．

故答案为：x2+4x+4＝0（答案不唯一）．

【变式训练2-4】（2021秋•密山市校级期末）方程x2﹣x＝0的一次项系数是　﹣1　，常数项是　0　．

解：方程x2﹣x＝0的一次项系数是﹣1，常数项是0．

【变式训练2-5】（2021秋•余干县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．

解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，

∴m2﹣3m+2＝0且m﹣2≠0，

解得：m＝1．

【变式训练2-6】（2020秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．

（1）求m的值；

（2）求此时一元二次方程的解．

解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0

解之，得m＝2或m＝1①，

由m﹣1≠0，得：m≠1②，

由①，②得：m＝2；

（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，

得x2+5x＝0，

x（x+5）＝0

解得：x1＝0，x2＝﹣5．

【变式训练2-7】（2019秋•南丹县期中）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．

解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，

它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．

知识点3：一元二次方程的解

【典例分析03】（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．

（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；

（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．

（1）解：解关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0得x＝m+2，

把x＝m+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，

整理得m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1；

（2）证明：解关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0得x＝n+2，

把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（n+2﹣1）（n+2﹣2）＝m+1，

整理得m＝n2+n﹣1，

所以m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2，

因为（n+1）2≥0，

所以m+n的最小值为﹣2．

【变式训练3-1】（2022春•瑶海区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣2＝0的一个解是x＝1，则b的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．2

解：把x＝1代入方程x2﹣bx﹣2＝0得1﹣b﹣2＝0，

解得b＝﹣1．

故选：B．

【变式训练3-2】（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

解：把x＝﹣1代入原方程，得

1﹣2m+m＝0，

解得m＝1．

故选：C．

【变式训练3-3】（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（　　）

A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12

解：∵a为方程x2+2x﹣4＝0的解，

∴a2+2a﹣4＝0，

∴a2+2a＝4，

∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，

故选：C．

【变式训练3-4】（2022春•鄞州区校级期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为 　0　．

解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，

∴m2+3m﹣2022＝0，

∴m2＝﹣3m+2022，

∴m3＝m（﹣3m+2022）＝﹣3m2+2022m＝﹣3（﹣3m+2022）+2022m＝2031m﹣6066，

∴m3+2m2﹣2025m+2022＝2031m﹣6066+2（﹣3m+2022）﹣2025m+2022＝0．

故答案为：0．

【变式训练3-5】（2022•馆陶县三模）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．

（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 　4　；

（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为 　48　．

解：（1）∵42﹣3＝13＞0，

∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值是4；

故答案为：4；

（2）根据题意得m＝3，解得m＝6，

方程化为x2﹣6x+n＝0，

把x＝2代入得4﹣12+n＝0，

解得n＝8，

∴mn＝6×8＝48．

故答案为：48．

【变式训练3-6】（2022•淮阴区模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根为1，则m＝　3　．

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根为1，

∴12﹣m+2＝0，

解得m＝3，

故答案为：3．

【变式训练3-7】（2021秋•金牛区校级期中）先化简，再求值：÷，其中x是方程x2+4x+1＝0的根．

解：原式＝•＝，

∵x是方程x2+4x+1＝0的根，

∴x2+4x＝﹣1，

∴原式＝＝