人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀达标测试

5.7    三角函数的应用

思维导图

新课标要求

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型

知识梳理

一、三角函数的应用

1．三角函数模型的作用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．

2．用函数模型解决实际问题的一般步骤

收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．

二、函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义

名师导学

知识点1    三角函数在物理中的应用

【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）若电流ⅠA．随着时间t（s）变化的函数的图象如图所示，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【变式训练1-1】（多选）（2022·安徽·高一阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（    ）

A． B．

C． D．

知识点2    三角函数在生活中的应用

【例2-1】（2022·湖南·长郡中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；

(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？

(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.

【变式训练2-1】（2022·全国·高一）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：

经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．

(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；

(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？

名师导练

A组-[应知应会]

1．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（    ）

A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2

2．（2022·全国·高一课时练习）某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（的单位：千元，，，，为月份，且）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

3．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

4．（2022·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

5．（2022·全国·高一单元测试）经科学研究证实，自出生之日起，人的情绪节律、体力节律、智力节律分别以28天、23天、33天进行周期变化，变化曲线为．每种节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三种节律周期的半数为临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置）．若小凌在生日前一天想通过三种节律对第322天时的身体状态进行预测，现得到的四个判断中错误的是（    ）

A．智力节律处于低潮期

B．情绪与体力节律均处于临界日

C．记情绪、体力曲线分别为，，则

D．人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义

6．（2022·全国·高一单元测试）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（    ）

A．-2 B．2 C． D．

7．（2022·山东山东·高一期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（    ）

A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm

8．（2022·全国·高一）小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计），已知入口高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为（     ）

A． B． C． D．

9．（多选）（2022·全国·高一课时练习）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：

体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示：

如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（    ）

A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷

10．（多选）（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（    ）

A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升

B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg

C．当天陈华没有高血压

D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg

11．（多选）（2022·全国·高一课时练习）气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标.某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，如图，则（    ）

A．

B．函数的最小正周期为

C．

D．若是偶函数，则的最小值为2

12．（2022·湖南·长沙市明德中学高一期末）已知某地一天的温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足，则该地这一天的最大温差为______．

13．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.

14．（2022·全国·高一课时练习）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）．

用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数________．

15．（2022·北京师大附中高一期中）从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：，其中，，则这个函数的频率为___________（写出表达式即可）（注：频率是周期的倒数）一般说的，，，，，，又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调与频率之间的关系为.已知标准音（也是纯音）的音调为，那么标准音对应的函数中___________.已知标准音和标准音的频率比为，那么标准音的音调为___________.（取，，结果精确到小数点后两位）.

16．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.

(1)求，，，；

(2)求这一天时的最大温差近似值.

参考数据：，.

17．（2022·全国·高一课时练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．

(1)求的表达式；

(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．

18．（2022·全国·高一课时练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用求刻画.

(1)求此弹簧振子运动的周期；

(2)求时弹簧振子所处的位置距离初始位置（）的距离是多少？

B组-[素养提升]

1．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·广东广州·高一期末）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（    ）

A．0 B．1 C．3 D．4

3．（多选）（2022·全国·高一单元测试）汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图），证明了被称为几何学的基石——勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度得到如图所示的一个“数学风车”，现以弦图的中心为坐标原点O，线段OA在如图所示的x轴上（其中有两“股”线延长交x，y轴分别为A，B），此“数学风车”绕点O逆时针匀速旋转一周的时间为2秒，，分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，那么以下选项正确的有（    ）

A．函数与的图象经过平移后可以重合

B．函数的最大值为2

C．函数图象的一个对称中心为

D．函数在上单调递减

4．（2022·河南洛阳·高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，___________.

5．（2022·全国·高一课时练习）汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记， 标记到该轮轴中心的距离为.若该小汽车启动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度（单位：）与小汽车行驶时间（单位：）的函数关系式是，其中，，，则_______________________.

6．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上､点在上､点和在上､点在上，记.

(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？

(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.

7．（2022·广东佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印发了《城市“畅通工程”两年行动方案》（以下简称《方案》），聚焦人民群众反映强烈的城市交通拥堵问题，通过微改造、微调整，为市民出行创造更加畅通有序的交通环境．现某医院附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），改造前，路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．

(1)求d关于的函数表达式；

(2)若，求该路段改造后的停车位比改造前增加的个数．