高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀巩固练习

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4.5 函数的应用（二）
思维导图

知识梳理
一、函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
二、函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点
方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
三、函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
四、二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
五、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.


六、几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
七、应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．

名师导学
知识点1 求函数的零点
探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【例1-1】(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．








【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数不存在零点的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．
4．（2022·湖北十堰·高一期末）已知函数，则________，函数的零点为________．
5．（2022·湖南·高一课时练习）讨论下列函数的零点个数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．












知识点2 判断函数的零点所在的区间
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【例2-1】（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（    ）．
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（    ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（2022·江苏扬州·高一期中）函数的零点所在的区间为（    ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．

知识点3 函数零点个数有关问题（重难点）
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
【例3-1】（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）已知函数，则函数的零点个数是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例3-2】（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（    ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（2022·全国·高一学业考试）已知，则函数的零点个数为（    ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（多选）（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（2022·全国·高一单元测试）设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．

知识点4 一元二次函数根的分布问题（重难点）
【例4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2022·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【例4-3】（2022·江苏省海州高级中学高一阶段练习）
(1)若二次函数有两个大于0的零点，求实数a的取值范围.
(2)若二次函数在上有两个零点，求实数m的取值范围.

【变式训练4-1】（2022·山西山西·高一阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.
【变式训练4-2】（2022·辽宁·凤城市第一中学高一阶段练习）关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为______．
【变式训练4-3】（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围为___________.
【变式训练4-4】（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知关于x的方程，当实数a为何值时，
(1)方程在内有根；
(2)方程的根都小于1.

















知识点5 二分法及其应用
利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
【例5-1】（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1




0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（    ）
A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066
【例5-2】（2021·全国·高一课前预习）借助计算器或计算机用二分法求方程的一个近似解．（精确到0.01）















【变式训练5-1】（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（　　）
A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算
【变式训练5-3】（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125

－1
0.875
－0.2969
0.2246
－0.05151

则方程的一个近似根（误差不超过0.05）为（    ）
A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25
【变式训练5-4】（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（    ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【变式训练5-5】（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.

知识点6 函数模型及其应用（重难点）
1.在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2.对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
3.建立拟合函数与预测的基本步骤

【例6-1】（2022·福建·莆田第五中学高一阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．

(1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
(2)现在公司准备投入亿元资金同时生产两种芯片，求分别对两种芯片投入多少资金时，该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．（净利润芯片的毛收入芯片的毛收入研发耗费资金）








【例6-2】（2022·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）







【例6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.

(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）











【变式训练6-1】（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃ （结果保留整数，参考数据：）（    ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【变式训练6-2】（2022·浙江·杭十四中高一期末）为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间（单位：）的变化如图所示，在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），则（    ）

A．当时，
B．当时，
C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下
D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下
【变式训练6-3】（2022·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.
(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）
(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.



名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（    ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
2．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东茂名·高一期中）函数的零点的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（        ）
A． B． C． D．
5．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（    ）内
A． B．
C． D．不能确定
6．（2022·四川泸州·高一期末）在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.指数增长率与、近似满足，其中为病毒基本再生数，为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（    ）（参考数据：）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
7．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（    ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
8．（2021·湖南·益阳平高学校高一期中）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
9．（多选）（2022·海南鑫源高级中学高一期末）下列函数中，在区间上有零点是（    ）
A． B．
C． D．
10．（多选）（2022·全国·高一课时练习）狄利克雷函数的解析式为则（    ）
A． B．
C．有1个零点 D．有2个零点
11．（多选）（2022·全国·高一单元测试）函数有两个零点，且，下列说法错误的有（    ）
A．且 B．且 C．且 D．
12．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）函数的零点为_______________．
13．（2022·全国·高一课时练习）三个变量，，，随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11

5
135
625
1715
3645
6633

5
29
245
2189
19685
177149

5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
其中符合对数函数模型的变量是______，符合指数函数模型的变量是______，符合幂函数模型的变量是______．
14．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点个数为________．
15．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）若方程有四个不同的根，则的取值范围是 _______．
16．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．
17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数为上的连续函数，判断在上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．









18．（2021·广东·深圳市高级中学高一期中）已知二次函数，
(1)若不等式的解集为，求a、b的值.
(2)当时，方程有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.









19．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式
(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，










20．（2022·重庆一中高一阶段练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的“囧点”．
(1)当m＝2，a＝－3，b＝2时，求函数的“囧点”；
(2)当m＝0时，对任意实数b，函数恒有“囧点”，求a的取值范围．






B组-[素养提升]
1．（2021·天津·高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（    ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
3．（2022·河南驻马店·高一期末）已知函数，，则函数的零点个数不可能是（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____．
5．（2022·全国·高一课时练习）给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定.
已知二次函数满足，且______.
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.