高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）优秀练习题

3.4   函数的应用（一）

思维导图

新课标要求

1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

2.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。

知识梳理

一、一次函数模型

形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.

二、二次函数模型

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．[来源:学科网]

三、幂函数模型

1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．

2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

四、分段函数模型

这个模型实际上是以上两种或多种模型的综合,其解析式形如f(x)=

名师导学

知识点1    一次函数模型

【例1-1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．

(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．

【变式训练1-1】（2021秋•周口期末）2021年“平安夜”前后，某水果超市从12月15日至1月5日（共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天），某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日卖出了这种苹果　 　千克．

知识点2    二次函数模型（重点）

【例2-1】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

【变式训练2-1】（2021秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表：

根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（　　）

A．16.5 B．19.5 C．21.5 D．22

知识点3    幂函数与分段函数模型（重点）

【例3-1】某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)之间的关系式为y=xα(α为常数),其中x不大于5.已知去年的广告投入为3万元,药品利润为27万元,若今年的广告投入为5万元,则预计今年的药品利润为　　　　万元. 

【例3-2】（2021秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x（ 百个），需另投人成本C（x）（万元），且，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．

（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）

（2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．

【变式训练3-1】 [2021·浙江温州高一期中] 在某疾病的治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品,生产此药品的年固定成本为250万元,每生产x(x>0)千件需另投入成本C(x)万元.当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450.每件药品的售价为0.05万元,假设该公司生产的此药品能全部售完.

(1)写出生产此药品获得的年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.

(2)该公司决定将生产此药品所获利润的1%用来捐赠,那么当年产量为多少千件时,生产此药品获得的年利润最大?此时可捐赠多少万元?

名师导练

A组-[应知应会]

1．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的有(　　)

①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．

A．1项  B．2项  C．3项  D．4项

2．[2021·浙江宁波高一期中] 已知从甲地到乙地通话m min的电话费(单位:元)由f(m)=0.26×(0.5×[m]+1)确定,其中m>0,[m]表示大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4).若从甲地到乙地某次通话时间为5.5 min,则电话费为              (　　)

A.1.76元   B.0.98元        C.1.04元   D.0.97元

3．（2020春•雨花区校级月考）某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R（x），则总利润最大时，年产量是（　　）

A．100 B．150 C．200 D．300

4．（2021秋•自贡期末）某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如表所示的关系．

销售单价为x元时，才能获得最大日销售利润p，则x、p分别为（　　）

A．35，225 B．40，300 C．45，350 D．45，400

5.[2021·长沙长郡中学高一期中] 设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t(t为正常数)万元.公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去从事新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是              (　　)

A.15   B.16   C.17   D.18

6.[2021·北京房山区高一期中] 运动员推出铅球后,铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,铅球在空中飞行的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足函数关系式y=ax2+bx+c(a≠0).下表记录了铅球飞行中的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该铅球飞行到最高点时,水平距离为              (　　)

1. m  B.3 m  C. m  D.5 m

7．（2021秋•潍坊期末）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（　　）

A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤

8.(多选题)某停车场的收费标准如下:临时停车半小时内(含半小时)免费,临时停车1小时收费5元,超过1小时部分每多停车1小时收费3元,不足1小时按1小时计算,24小时内最高收费40元.现有甲、乙两车临时停放在该停车场,则下列说法正确的是              (　　)

A.若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时,则停车费用之和可能为8元

B.若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为10元

C.若甲车与乙车的停车时长之和为10小时,则停车费用之和可能为34元

D.若甲车与乙车的停车时长之和为25小时,则停车费用之和可能为45元

9.(多选题)[2021·广州高一期末] 某公司计划租地建造仓库储存货物,经市场调查了解到下列信息:每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,下列结论中正确的是              (　　)

A.y1=     B.y2=0.4x

C.y1+y2有最小值4  D.y1-y2无最小值

10．（2020春•房山区期末）某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x满足的关系式为　      　．

11.[2021·山东实验中学高一期中] 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电价表如下:

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式,该家庭本月应付的电费为　　　　元.(用数字作答) 

12.[2021·北京工业大学附中高一期中] 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:

①下潜时,平均速度为v米/单位时间,每个单位时间内的用氧量为v2;

②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间内的用氧量为0.4;

③返回水面时,平均速度为米/单位时间,每个单位时间内的用氧量为0.2.

记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y,则将y表示为v的函数为　　　　　　　　　;当下潜平均速度为　　　　米/单位时间时,总用氧量最少. 

13．（2020•咸阳二模）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y（mg/m3）与时间t（h）的函数关系为y，（如图所示）实验表明，当药物释放量y＜0.75（mg/m3）对人体无害．

（1）k＝　 　；

（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过　 　分钟人方可进入房间．

14．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：

(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

15．（2021秋•泰安期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本c（x）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c（x）＝10x2+100x；当年产量不小于30百件时，c（x）＝501x4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．

（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；

（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

B组-[素养提升]

1.[2021·江苏南通高一期中] 如图所示,正方形ABCD的边长为2厘米,动点E从A开始沿A→B→C的方向以2厘米/秒的速度运动(到C点停止),同时动点F从C开始沿CD以1厘米/秒的速度运动(到D点停止),则△AEF的面积y(平方厘米)与运动时间x(秒)之间的函数图像大致是              (　　)

A               B                C                 D

2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：

①0点到3点只进水不出水；

②3点到4点不进水只出水；

③4点到6点不进水不出水．

则一定正确的是(　　)

A．①  B．①②  C．①③  D．①②③

3．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　)

A．12  B．15  C．25  D．50

4．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？