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中考数学专题05 二次根式（学案含解析）
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中考数学一轮复习学案
05 二次根式
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
1
乘方与开方
了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．了解乘方与开方互为逆运算．
会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
常以选择、填空题为主．
2
二次根式的概念和性质
了解二次根式、最简二次根式的概念．
考查二次根式的概念和基本性质．能掌握形如：，的化简与运算（分母有理化）．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．
3
二次根式的运算
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．
考查二次根式的运算．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．
思维导图
知识点1：数的乘方与开方
知识点梳理
1. 数的乘方：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
2. 数的开方：（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若，则b叫做a的立方根．
典型例题
【例1】（2022•宜宾）4的平方根是（ ）
A．2 B．－2 C．16 D．±2
【考点】平方根
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵(±2)2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
【例2】（2022•凉山州）化简：（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．
【解答】解：＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
【例3】（3分）（2021•上海9/25）已知，则x= ．
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为进行解答即可．
【解答】解：∵，
∴x+4=9
∴x=5．
故答案为：5．
【例4】（2022•淮安）实数27的立方根是 ．
【考点】立方根
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故答案为3．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
【例5】（3分）（2021•包头15/26）一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+ b的立方根为 ．
【考点】平方根；立方根
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；将a、b的值代入计算得出a+ b的值，再求其立方根即可．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，
∴2b-1+b+4=0，
∴b=-1．
∴b +4=-1+4=3，
∴a=9．
∴a+b=9+(-1)=8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．
【例6】若a满足，则a的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或1或–1
【分析】∵，∴a为0或1．故选C．
【答案】C．
知识点2：二次根式的概念和性质
知识点梳理
1. 二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．
3. 最简二次根式：必须同时满足以下两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
如：，是最简二次根式，而，，都不是最简二次根式．
4. 同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
5. 二次根式的性质：
（1）()2= a (a≥0) ．
（2）=|a|=
（3） (a ≥ 0，b ≥ 0) ．
（4） (a ≥ 0，b > 0) ．
典型例题
【例7】（2022•贵阳）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式的定义得出x－3≥0，进而求出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x－3≥0，
解得：x≥3，
∴x的取值范围是：x≥3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x－3的取值范围是解题关键．
【例8】（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴x－2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．
【例9】（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠－1 B．x＞－1 C．x＜－1 D．x≤－1
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义时，x＋1＞0，
解得：x＞－1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
【例10】（3分）（2020•上海1/25）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A、与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B、，与不是同类二次根式；
C、，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【例11】（3分）（2021•上海1/25）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】实数；二次根式的性质与化简
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、，不是有理数，不合题意；
B、，不是有理数，不合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、，不是有理数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
知识点3：非负性
知识点梳理
1. 概念：正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)．
2. 性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．
典型例题
【例12】（2022•贺州）若实数m，n 满足，则3m＋n＝ ．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组
【分析】根据非负数的性质求出m和n的值，再代入3m＋n计算可得．
【解答】解：∵，
∴m－n－5＝0，2m＋n－4＝0，
∴m＝3，n＝－2，
∴3m＋n＝9－2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
【例13】（2022•黔东南州）若，则x－y的值是 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根
【分析】根据非负数的性质可得，应用整体思想①－②即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
由①－②得，
x－y＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
【例14】（3分）（2021•青海3/25）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】首先根据+（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
知识点4：二次根式的化简与运算
知识点梳理
1. 加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2. 乘除运算：
(a≥0，b≥0)；
(a≥0，b > 0) ．
3. 混合运算：与实数的运算顺序相同．运算结果必须为最简二次根式．
4. 把分母中的根号化去（分母有理化）的方法：
（1）；
（2）．
典型例题
【例15】（2022•六盘水）计算： ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：．
故答案为0．
【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
【例16】（2022•哈尔滨）计算的结果是 ．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简
【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
【例17】（2022•山西）计算：的结果为 ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则．
【例18】（2022•青岛）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
【解答】解：
＝3－2
＝1，
故选：B．
【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【例19】（2022•天津）计算的结果等于 ．
【考点】平方差公式；二次根式的混合运算
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝19－1＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
【例20】（2022•济宁）已知，，求代数式a2b＋ab2的值．
【考点】二次根式的混合运算；代数式求值
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴a2b＋ab2
＝ab(a＋b)
＝(4－5)×4
＝－1×4
＝－4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
知识点5：二次根式的估值
知识点梳理
一般步骤：
1. 一般先对根式进行平方，如；
2. 找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；
3. 对以上两个整数开方，如，；
4. 这个根式的值在这两个相邻整数之间，如．
典型例题
【例21】（3分）（2021•天津6/25）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】本题需先根据的整数部分是多少，即可求出它的范围．
【解答】解：∵，
∴的值在4和5之间．
故选：C．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题．
【例22】（2022•安顺）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
【例23】（2022•荆州）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ．
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【分析】根据的范围，求出的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵若的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．
【例24】（2分）（2021•北京7/28）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先写出2021所在的范围，再写的范围，即可得到n的值．
【解答】解：∵1936＜2021＜2025，
∴44＜＜45，
∴n＝44，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
巩固训练
1．（2022•攀枝花）2的平方根是
A．2 B． C． D．
2．（2022•兰州）计算：
A． B．2 C． D．
3．（2022•烟台）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为
A． B． C． D．
4．（2022•泸州）
A． B． C． D．2
5.（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2022•常州）若二次根式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7.（2022•绥化）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
8．（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2022•徐州）若有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2022•内蒙古）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是
A．1 B．2 C． D．
11．（2022•桂林）化简的结果是
A． B．3 C． D．2
12．（2022•永州）下列各式正确的是
A． B． C． D．
13．（2022•河南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
14．（2022•河北）下列正确的是
A． B． C． D．
15．（2022•苏州）下列运算正确的是
A． B． C． D．
16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
17．（2022•宁夏）下列运算正确的是
A． B． C． D．
18．（2022•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
20．（2022•广州）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
21．（2022•广安）下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
22．（2022•梧州）下列计算错误的是
A． B． C． D．
23．（2022•雅安）下列计算正确的是
A． B． C． D．
24．（2022•云南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
25．（2022•雅安） ．
26．（2022•鄂州）计算： ．
27．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．
28．（2022•常州）化简： ．
29．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
30．（2022•日照）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
31．（2022•青海）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
32．（2022•河池）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
33．（2022•郴州）二次根式中，的取值范围是 ．
34．（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
35．（2022•包头）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
36．（2022•新疆）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
37．（2022•云南）若有意义，则实数的取值范围为 ．
38．（2022•广西）化简： ．
39．（2022•武汉）计算的结果是 ．
40．（2022•遂宁）实数、在数轴上的位置如图所示，化简 ．
41．（2022•杭州）计算： ； ．
42．（2022•随州）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 ，最大值为 ．
43．（2022•柳州）计算： ．
44．（2022•衡阳）计算： ．
45．（2022•衢州）计算 ．
46．（2022•德州） ．
47．（2022•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
48．（2022•湖北）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
49．（2022•朝阳）计算： ．
50．（2022•泰安）计算： ．
51．（2022•内蒙古）已知，是实数，且满足，则的值是 ．
52．（2022•襄阳）先化简，再求值：，其中，．
53．（2022•河池）计算：．
54．（2022•泰州）（1）计算：；
（2）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．第五步
小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解” ，计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．
55．（2022•甘肃）计算：．
巩固训练解析
1．（2022•攀枝花）2的平方根是
A．2 B． C． D．
【考点】平方根
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：因为，
所以2的平方根是，
故选：．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（2022•兰州）计算：
A． B．2 C． D．
【考点】算术平方根
【分析】利用算术平方根的性质求解．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．
3．（2022•烟台）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为
A． B． C． D．
【考点】算术平方根；规律型：图形的变化类
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的．第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为；第3个正方形的边长为，其对角线长为；；第个正方形的边长为所以，第6个正方形的边长．
【解答】解：由题知，第1个正方形的边长，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长．
故选．
【点评】本题利用勾股定理找到相邻两个正方形的边长之间的根号2倍关系，由此依次推出第2个、第3个、、第6个正方形的边长．
4．（2022•泸州）
A． B． C． D．2
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的定义判断即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．
5.（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
6．（2022•常州）若二次根式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
7.（2022•绥化）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【考点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可得出答案．
【解答】解：，，
且，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
8．（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出的取值范围．
【解答】解：由题意得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．
9．（2022•徐州）若有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意，得
，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．（2022•内蒙古）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是
A．1 B．2 C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴
【分析】根据数轴得：，得到，，根据和绝对值的性质化简即可．
【解答】解：根据数轴得：，
，，
原式
．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．
11．（2022•桂林）化简的结果是
A． B．3 C． D．2
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
12．（2022•永州）下列各式正确的是
A． B． C． D．
【考点】有理数的减法；合并同类项；零指数幂；二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质与化简判断选项；根据零指数幂判断选项；根据合并同类项判断选项；根据有理数的减法判断选项．
【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，零指数幂，合并同类项，有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
13．（2022•河南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简
【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2022•河北）下列正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据判断选项；根据判断选项；根据判断选项；根据算术平方根的定义判断选项．
【解答】解：、原式，故该选项不符合题意；
、原式，故该选项符合题意；
、原式，故该选项不符合题意；
、，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
15．（2022•苏州）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】有理数的除法；合并同类项；单项式乘单项式；二次根式的性质与化简
【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．
【解答】解：，故此选项不合题意；
，故此选项，符合题意；
，无法合并，故此选项不合题意；
，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；分式的混合运算；二次根式的乘除法；完全平方公式
【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（2022•宁夏）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法
【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（2022•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法；负整数指数幂
【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．
【解答】解：不能合并，因为不是同类项，选项错误；
，选项也错误；
，选项也错误；
，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了整式的运算和实数的运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次根式的化简混合运算．
20．（2022•广州）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】分式的加减法；二次根式的加减法；同底数幂的乘法；立方根
【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．（2022•广安）下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
【考点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方
【分析】．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；
．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：．因为，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；
．因为与不是同类二次根式，不能进行合并计算，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项运算正确，故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．
22．（2022•梧州）下列计算错误的是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的加减法
【分析】．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；
．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：．因为，所以选项计算正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项计算正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项计算正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项计算不正确，故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
23．（2022•雅安）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可．
【解答】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本运算法则是解答本题的关键．
24．（2022•云南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的加减法；零指数幂；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据二次根式的加减法判断选项；根据零指数幂判断选项；根据积的乘方判断选项；根据同底数幂的除法判断选项．
【解答】解：选项，和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握是解题的关键．
25．（2022•雅安） 2 ．
【考点】算术平方根
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：，
的算术平方根是2，即．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
26．（2022•鄂州）计算： 2 ．
【考点】算术平方根
【分析】如果一个正数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：，
．
故答案为：2
【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．
27．（2022•恩施州）9的算术平方根是 3 ．
【考点】算术平方根
【分析】9的平方根为，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：，
的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
28．（2022•常州）化简： 2 ．
【考点】立方根
【分析】直接利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：
．
故填2．
【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数的立方等于，那么是的立方根．
29．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
30．（2022•日照）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
31．（2022•青海）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
32．（2022•河池）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据负数没有平方根确定出的范围即可．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
33．（2022•郴州）二次根式中，的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】由二次根式有意义的条件得，解得．
【解答】解：由得
．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
34．（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【解答】解：在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
35．（2022•包头）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 且 ．
【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
【解答】解：根据题意，得，
解得且，
故答案为：且．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．
36．（2022•新疆）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
37．（2022•云南）若有意义，则实数的取值范围为 ．
【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
38．（2022•广西）化简： ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
39．（2022•武汉）计算的结果是 2 ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】利用二次根式的性质计算即可．
【解答】解：法一、
；
法二、
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“”是解决本题的关键．
40．（2022•遂宁）实数、在数轴上的位置如图所示，化简 2 ．
【考点】实数与数轴；二次根式的性质与化简
【分析】根据数轴可得：，，然后即可得到，，，从而可以将所求式子化简．
【解答】解：由数轴可得，
，，
，，，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
41．（2022•杭州）计算： 2 ； ．
【考点】有理数的乘方；最简二次根式
【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：，，
故答案为：2，4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．
42．（2022•随州）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 3 ，最大值为 ．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【分析】先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．
【解答】解：，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，
，
，
故答案为：3；75．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
43．（2022•柳州）计算： ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：；
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键，是一道基础题．
44．（2022•衡阳）计算： 4 ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
【解答】解：原式．
故答案为：4
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
45．（2022•衢州）计算 2 ．
【考点】75：二次根式的乘除法
【分析】直接计算即可．
【解答】解：原式．
故答案是2．
【点评】本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
46．（2022•德州） ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和法则．
47．（2022•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】立方根；二次根式的混合运算；算术平方根；二次根式的加减法
【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
48．（2022•湖北）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
49．（2022•朝阳）计算： ．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
50．（2022•泰安）计算： ．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．
51．（2022•内蒙古）已知，是实数，且满足，则的值是 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【分析】根据负数没有平方根求出的值，进而求出的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：，
，，
，，
则原式，
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
52．（2022•襄阳）先化简，再求值：，其中，．
【考点】整式的混合运算—化简求值；二次根式的混合运算
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
，，
原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
53．（2022•河池）计算：．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；零指数幂
【分析】先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
54．（2022•泰州）（1）计算：；
（2）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．第五步
小王计算的第一步是 因式分解 （填“整式乘法”或“因式分解” ，计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．
【考点】因式分解运用公式法；分式的加减法；二次根式的混合运算
【分析】（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；
（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
，
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是．
故答案为：因式分解，三，．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，因式分解运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
55．（2022•甘肃）计算：．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握是解题的关键
中考数学一轮复习学案
05 二次根式
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
1
乘方与开方
了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．了解乘方与开方互为逆运算．
会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
常以选择、填空题为主．
2
二次根式的概念和性质
了解二次根式、最简二次根式的概念．
考查二次根式的概念和基本性质．能掌握形如：，的化简与运算（分母有理化）．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．
3
二次根式的运算
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．
考查二次根式的运算．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．
思维导图
知识点1：数的乘方与开方
知识点梳理
1. 数的乘方：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
2. 数的开方：（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若，则b叫做a的立方根．
典型例题
【例1】（2022•宜宾）4的平方根是（ ）
A．2 B．－2 C．16 D．±2
【考点】平方根
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵(±2)2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
【例2】（2022•凉山州）化简：（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．
【解答】解：＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
【例3】（3分）（2021•上海9/25）已知，则x= ．
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为进行解答即可．
【解答】解：∵，
∴x+4=9
∴x=5．
故答案为：5．
【例4】（2022•淮安）实数27的立方根是 ．
【考点】立方根
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故答案为3．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
【例5】（3分）（2021•包头15/26）一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+ b的立方根为 ．
【考点】平方根；立方根
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；将a、b的值代入计算得出a+ b的值，再求其立方根即可．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，
∴2b-1+b+4=0，
∴b=-1．
∴b +4=-1+4=3，
∴a=9．
∴a+b=9+(-1)=8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．
【例6】若a满足，则a的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或1或–1
【分析】∵，∴a为0或1．故选C．
【答案】C．
知识点2：二次根式的概念和性质
知识点梳理
1. 二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．
3. 最简二次根式：必须同时满足以下两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
如：，是最简二次根式，而，，都不是最简二次根式．
4. 同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
5. 二次根式的性质：
（1）()2= a (a≥0) ．
（2）=|a|=
（3） (a ≥ 0，b ≥ 0) ．
（4） (a ≥ 0，b > 0) ．
典型例题
【例7】（2022•贵阳）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式的定义得出x－3≥0，进而求出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x－3≥0，
解得：x≥3，
∴x的取值范围是：x≥3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x－3的取值范围是解题关键．
【例8】（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴x－2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．
【例9】（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠－1 B．x＞－1 C．x＜－1 D．x≤－1
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义时，x＋1＞0，
解得：x＞－1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
【例10】（3分）（2020•上海1/25）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A、与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B、，与不是同类二次根式；
C、，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【例11】（3分）（2021•上海1/25）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】实数；二次根式的性质与化简
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、，不是有理数，不合题意；
B、，不是有理数，不合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、，不是有理数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
知识点3：非负性
知识点梳理
1. 概念：正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)．
2. 性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．
典型例题
【例12】（2022•贺州）若实数m，n 满足，则3m＋n＝ ．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组
【分析】根据非负数的性质求出m和n的值，再代入3m＋n计算可得．
【解答】解：∵，
∴m－n－5＝0，2m＋n－4＝0，
∴m＝3，n＝－2，
∴3m＋n＝9－2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
【例13】（2022•黔东南州）若，则x－y的值是 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根
【分析】根据非负数的性质可得，应用整体思想①－②即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
由①－②得，
x－y＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
【例14】（3分）（2021•青海3/25）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】首先根据+（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
知识点4：二次根式的化简与运算
知识点梳理
1. 加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2. 乘除运算：
(a≥0，b≥0)；
(a≥0，b > 0) ．
3. 混合运算：与实数的运算顺序相同．运算结果必须为最简二次根式．
4. 把分母中的根号化去（分母有理化）的方法：
（1）；
（2）．
典型例题
【例15】（2022•六盘水）计算： ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：．
故答案为0．
【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
【例16】（2022•哈尔滨）计算的结果是 ．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简
【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
【例17】（2022•山西）计算：的结果为 ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则．
【例18】（2022•青岛）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
【解答】解：
＝3－2
＝1，
故选：B．
【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【例19】（2022•天津）计算的结果等于 ．
【考点】平方差公式；二次根式的混合运算
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝19－1＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
【例20】（2022•济宁）已知，，求代数式a2b＋ab2的值．
【考点】二次根式的混合运算；代数式求值
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴a2b＋ab2
＝ab(a＋b)
＝(4－5)×4
＝－1×4
＝－4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
知识点5：二次根式的估值
知识点梳理
一般步骤：
1. 一般先对根式进行平方，如；
2. 找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；
3. 对以上两个整数开方，如，；
4. 这个根式的值在这两个相邻整数之间，如．
典型例题
【例21】（3分）（2021•天津6/25）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】本题需先根据的整数部分是多少，即可求出它的范围．
【解答】解：∵，
∴的值在4和5之间．
故选：C．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题．
【例22】（2022•安顺）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
【例23】（2022•荆州）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ．
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【分析】根据的范围，求出的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵若的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．
【例24】（2分）（2021•北京7/28）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先写出2021所在的范围，再写的范围，即可得到n的值．
【解答】解：∵1936＜2021＜2025，
∴44＜＜45，
∴n＝44，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
巩固训练
1．（2022•攀枝花）2的平方根是
A．2 B． C． D．
2．（2022•兰州）计算：
A． B．2 C． D．
3．（2022•烟台）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为
A． B． C． D．
4．（2022•泸州）
A． B． C． D．2
5.（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2022•常州）若二次根式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7.（2022•绥化）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
8．（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2022•徐州）若有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2022•内蒙古）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是
A．1 B．2 C． D．
11．（2022•桂林）化简的结果是
A． B．3 C． D．2
12．（2022•永州）下列各式正确的是
A． B． C． D．
13．（2022•河南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
14．（2022•河北）下列正确的是
A． B． C． D．
15．（2022•苏州）下列运算正确的是
A． B． C． D．
16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
17．（2022•宁夏）下列运算正确的是
A． B． C． D．
18．（2022•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
20．（2022•广州）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
21．（2022•广安）下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
22．（2022•梧州）下列计算错误的是
A． B． C． D．
23．（2022•雅安）下列计算正确的是
A． B． C． D．
24．（2022•云南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
25．（2022•雅安） ．
26．（2022•鄂州）计算： ．
27．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．
28．（2022•常州）化简： ．
29．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
30．（2022•日照）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
31．（2022•青海）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
32．（2022•河池）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
33．（2022•郴州）二次根式中，的取值范围是 ．
34．（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
35．（2022•包头）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
36．（2022•新疆）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
37．（2022•云南）若有意义，则实数的取值范围为 ．
38．（2022•广西）化简： ．
39．（2022•武汉）计算的结果是 ．
40．（2022•遂宁）实数、在数轴上的位置如图所示，化简 ．
41．（2022•杭州）计算： ； ．
42．（2022•随州）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 ，最大值为 ．
43．（2022•柳州）计算： ．
44．（2022•衡阳）计算： ．
45．（2022•衢州）计算 ．
46．（2022•德州） ．
47．（2022•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
48．（2022•湖北）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
49．（2022•朝阳）计算： ．
50．（2022•泰安）计算： ．
51．（2022•内蒙古）已知，是实数，且满足，则的值是 ．
52．（2022•襄阳）先化简，再求值：，其中，．
53．（2022•河池）计算：．
54．（2022•泰州）（1）计算：；
（2）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．第五步
小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解” ，计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．
55．（2022•甘肃）计算：．
巩固训练解析
1．（2022•攀枝花）2的平方根是
A．2 B． C． D．
【考点】平方根
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：因为，
所以2的平方根是，
故选：．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（2022•兰州）计算：
A． B．2 C． D．
【考点】算术平方根
【分析】利用算术平方根的性质求解．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．
3．（2022•烟台）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为
A． B． C． D．
【考点】算术平方根；规律型：图形的变化类
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的．第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为；第3个正方形的边长为，其对角线长为；；第个正方形的边长为所以，第6个正方形的边长．
【解答】解：由题知，第1个正方形的边长，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长．
故选．
【点评】本题利用勾股定理找到相邻两个正方形的边长之间的根号2倍关系，由此依次推出第2个、第3个、、第6个正方形的边长．
4．（2022•泸州）
A． B． C． D．2
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的定义判断即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．
5.（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
6．（2022•常州）若二次根式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
7.（2022•绥化）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【考点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可得出答案．
【解答】解：，，
且，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
8．（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出的取值范围．
【解答】解：由题意得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．
9．（2022•徐州）若有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意，得
，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．（2022•内蒙古）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是
A．1 B．2 C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴
【分析】根据数轴得：，得到，，根据和绝对值的性质化简即可．
【解答】解：根据数轴得：，
，，
原式
．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．
11．（2022•桂林）化简的结果是
A． B．3 C． D．2
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
12．（2022•永州）下列各式正确的是
A． B． C． D．
【考点】有理数的减法；合并同类项；零指数幂；二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质与化简判断选项；根据零指数幂判断选项；根据合并同类项判断选项；根据有理数的减法判断选项．
【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，零指数幂，合并同类项，有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
13．（2022•河南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简
【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2022•河北）下列正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据判断选项；根据判断选项；根据判断选项；根据算术平方根的定义判断选项．
【解答】解：、原式，故该选项不符合题意；
、原式，故该选项符合题意；
、原式，故该选项不符合题意；
、，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
15．（2022•苏州）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】有理数的除法；合并同类项；单项式乘单项式；二次根式的性质与化简
【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．
【解答】解：，故此选项不合题意；
，故此选项，符合题意；
，无法合并，故此选项不合题意；
，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；分式的混合运算；二次根式的乘除法；完全平方公式
【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（2022•宁夏）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法
【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（2022•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法；负整数指数幂
【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．
【解答】解：不能合并，因为不是同类项，选项错误；
，选项也错误；
，选项也错误；
，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了整式的运算和实数的运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次根式的化简混合运算．
20．（2022•广州）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】分式的加减法；二次根式的加减法；同底数幂的乘法；立方根
【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．（2022•广安）下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
【考点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方
【分析】．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；
．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：．因为，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；
．因为与不是同类二次根式，不能进行合并计算，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项运算正确，故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．
22．（2022•梧州）下列计算错误的是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的加减法
【分析】．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；
．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：．因为，所以选项计算正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项计算正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项计算正确，故选项不符合题意；
．因为，所以选项计算不正确，故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
23．（2022•雅安）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可．
【解答】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本运算法则是解答本题的关键．
24．（2022•云南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的加减法；零指数幂；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据二次根式的加减法判断选项；根据零指数幂判断选项；根据积的乘方判断选项；根据同底数幂的除法判断选项．
【解答】解：选项，和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握是解题的关键．
25．（2022•雅安） 2 ．
【考点】算术平方根
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：，
的算术平方根是2，即．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
26．（2022•鄂州）计算： 2 ．
【考点】算术平方根
【分析】如果一个正数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：，
．
故答案为：2
【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．
27．（2022•恩施州）9的算术平方根是 3 ．
【考点】算术平方根
【分析】9的平方根为，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：，
的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
28．（2022•常州）化简： 2 ．
【考点】立方根
【分析】直接利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：
．
故填2．
【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数的立方等于，那么是的立方根．
29．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
30．（2022•日照）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
31．（2022•青海）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
32．（2022•河池）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据负数没有平方根确定出的范围即可．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
33．（2022•郴州）二次根式中，的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】由二次根式有意义的条件得，解得．
【解答】解：由得
．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
34．（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【解答】解：在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
35．（2022•包头）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 且 ．
【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
【解答】解：根据题意，得，
解得且，
故答案为：且．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．
36．（2022•新疆）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
37．（2022•云南）若有意义，则实数的取值范围为 ．
【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
38．（2022•广西）化简： ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
39．（2022•武汉）计算的结果是 2 ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】利用二次根式的性质计算即可．
【解答】解：法一、
；
法二、
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“”是解决本题的关键．
40．（2022•遂宁）实数、在数轴上的位置如图所示，化简 2 ．
【考点】实数与数轴；二次根式的性质与化简
【分析】根据数轴可得：，，然后即可得到，，，从而可以将所求式子化简．
【解答】解：由数轴可得，
，，
，，，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
41．（2022•杭州）计算： 2 ； ．
【考点】有理数的乘方；最简二次根式
【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：，，
故答案为：2，4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．
42．（2022•随州）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 3 ，最大值为 ．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【分析】先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．
【解答】解：，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，
，
，
故答案为：3；75．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
43．（2022•柳州）计算： ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：；
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键，是一道基础题．
44．（2022•衡阳）计算： 4 ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
【解答】解：原式．
故答案为：4
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
45．（2022•衢州）计算 2 ．
【考点】75：二次根式的乘除法
【分析】直接计算即可．
【解答】解：原式．
故答案是2．
【点评】本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
46．（2022•德州） ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和法则．
47．（2022•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】立方根；二次根式的混合运算；算术平方根；二次根式的加减法
【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
48．（2022•湖北）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
49．（2022•朝阳）计算： ．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
50．（2022•泰安）计算： ．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．
51．（2022•内蒙古）已知，是实数，且满足，则的值是 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【分析】根据负数没有平方根求出的值，进而求出的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：，
，，
，，
则原式，
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
52．（2022•襄阳）先化简，再求值：，其中，．
【考点】整式的混合运算—化简求值；二次根式的混合运算
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
，，
原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
53．（2022•河池）计算：．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；零指数幂
【分析】先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
54．（2022•泰州）（1）计算：；
（2）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．第五步
小王计算的第一步是 因式分解 （填“整式乘法”或“因式分解” ，计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．
【考点】因式分解运用公式法；分式的加减法；二次根式的混合运算
【分析】（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；
（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
，
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是．
故答案为：因式分解，三，．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，因式分解运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
55．（2022•甘肃）计算：．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握是解题的关键
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