中考数学专题04 分式（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
04 分式

中考命题说明


考点
课标要求
考查角度
1
分式的
概念
①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确定使分式有意义的字母的取值范围；
②会求分式值为零时x的值．
考查分式的意义和分式值为零的情况．
常以选择、填空题为主．
2
分式的
运算
①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题．
考查分式的基本性质和分式的运算．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．

思维导图



知识点1：分式的相关概念


知识点梳理


1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．
特别说明：也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合的形式．
判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
2．有意义的条件：
分母B的值不为 零 (B≠0) .
3. 分式的值为零的条件：
当分子为 零 ，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
典型例题

【例1】（2022•怀化）代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】分式的定义
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．
【解答】解：分式有：，，，
整式有：，，，
分式有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．
【例2】（2022•凉山州）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3＋x≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3＋x≠0，
∴x≠－3，
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【例3】（2022•广西）当x＝ 时，分式的值为零．
【考点】分式的值为零的条件
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x＋2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x＝0且x＋2≠0，
∴x＝0且x≠－2，
∴当x＝0时，分式的值为零，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
知识点2：分式的基本性质


知识点梳理


1．分式的基本性质：， （M为不等于零的整式）．
2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
3．最简分式：分子与分母没有 公因式 的分式叫做最简分式．
4．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的同分母的分式，叫做分式的通分． 
5. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．
6. 变号法则： ．
典型例题

【例4】（3分）（2020•河北7/26）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的基本性质
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵a≠b，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【例5】若把分式（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则原分式的值是（　　）
A．扩大3倍 B．缩小至原来的
C．不变 D．缩小至原来的
【分析】若把分式（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3，故原分式的值扩大了3倍．故选A．
【答案】A．
【例6】下列分式变形中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】A、无法约分，此项不符合题意；
B、无法约分，此项不符合题意；
C、当m=0是，此时不成立，此项不符合题意；
D、，此项符合题意.
故答案为：D.
【答案】D.
【例7】约分： =（　　）
A． B． C． D．
【分析】==.故答案为B.
【答案】B.
【例8】已知两个分式：，，其中x≠±2，则A与B的关系是(　　)
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B
【分析】，
，
故A＝-B.
【答案】C．
知识点3：分式的运算


知识点梳理


1．分式的乘除法：
（1）乘法法则：
（2）除法法则：÷＝·＝.(bcd≠0) 
2．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减： (c≠0) 
（2）异分母分式相加减：±＝.(bd≠0)
3. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0) 
4. 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
典型例题

【例9】（2022•济南）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【考点】分式的乘除法
【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m－n的值代入计算即可．
【解答】解：原式
＝2(m－n)．
当m－n＝2时．原式＝2×2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【例10】（2022•山西）化简的结果是（ ）
A． B．a－3 C．a＋3 D．
【考点】分式的加减法
【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：



，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
【例11】（3分）（2021•包头14/26）化简： ．
【考点】分式的混合运算
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：原式．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【例12】（5分）（2021•重庆B卷19（2）/26）计算：．
【考点】分式的混合运算
【分析】先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
【解答】解：原式


．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．
【例13】（6分）（2020•安徽17/23）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：．
第5个等式：．

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）第6个等式：；
（2）猜想的第n个等式：．
证明：∵左边右边，
∴等式成立．
故答案为：；．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
知识点4：分式的化简求值


知识点梳理


1. 分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
2. 分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
典型例题

【例14】（2022•内蒙古）先化简，再求值：，其中x＝3．
【考点】分式的化简求值
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．
【解答】解：原式

，
当x＝3时，
原式 ＝－5．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．
【例15】（2022•菏泽）若a2－2a－15＝0，则代数式的值是 ．
【考点】分式的化简求值
【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．
【解答】解：


，
∵a2－2a－15＝0，
∴a2－2a＝15，
∴原式＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【例16】（2022•黄石）先化简，再求值：，从－3，－1，2中选择合适的a的值代入求值．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式

，
由分式有意义的条件可知：a不能取－1，－3，
故a＝2，
原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
【例17】（3分）（2019·河北省13/26）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
【考点】分式的加减法，化简求值．
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【解答】解：∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤＜1
故表示﹣的值的点落在②
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
巩固训练

1．（2022•德阳）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
2．（2022•天津）计算的结果是　　
A．1 B． C． D．
3．（2022•眉山）化简的结果是　　
A．1 B． C． D．
4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像到镜头的距离．已知，，则　　
A． B． C． D．
5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子★被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为　　
A． B． C． D．
7．（2022•玉林）若是非负整数，则表示的值的对应点落在如图数轴上的范围是　　

A．① B．② C．③ D．①或②
8．（2022•河北）若和互为倒数，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022•南充）已知，且，则的值是　　
A． B． C． D．
10．（2022•南通）分式有意义，则应满足的条件是 ．
11．（2022•湖北）若分式有意义，则的取值范围是 ．
12．（2022•湖州）当时，分式的值是 ．
13．（2022•襄阳）化简分式： ．
14．（2022•益阳）计算： ．
15．（2022•张家界）有一组数据：，，，，．记，则 ．
16．（2022•包头）计算： ．
17．（2022•苏州）化简的结果是 ．
18．（2022•衡阳）计算： ．
19．（2022•怀化）计算 ．
20．（2022•温州）计算： ．
21．（2022•黔西南州）计算： ．
22．（2022•武汉）计算的结果是 ．
23．（2022•淄博）计算： ．
24．（2022•湘西州）计算： ．
25．（2022•沈阳）化简： ．
26．（2022•自贡）化简： ．
27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是 ．
先化简，再求值：
，其中★．
解：原式①


28．（2022•衢州）（1）因式分解：．
（2）化简：．
29．（2022•临沂）计算：
（1）；
（2）．
30．（2022•舟山）观察下面的等式：，，，
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
31．（2022•连云港）化简．
32．（2022•重庆）计算：
（1）；
（2）．
33．（2022•德州）（1）化简：；
（2）解方程组：．
34．（2022•淮安）（1）计算：；
（2）化简：．
35．（2022•徐州）计算：
（1）；
（2）．
36．（2022•镇江）（1）计算：；
（2）化简：．
37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 　一　步是通分，通分的依据是 　　．
②第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　　．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
38．（2022•南通）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
39．（2022•西藏）计算：．
40．（2022•兰州）计算：．
41．（2022•大连）计算：．
42．（2022•十堰）计算：．
43．（2022•常德）化简：．
44．（2022•陕西）化简：．
45．（2022•泰安）（1）化简：；
（2）解不等式：．
46．（2022•江西）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③

解：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
47．（2022•甘肃）化简：．
48．（2022•泸州）化简：．
49．（2022•重庆）计算：
（1）；
（2）．
50．（2022•阜新）先化简，再求值：，其中．
51．（2022•辽宁）先化简，再求值：，其中．
52．（2022•福建）先化简，再求值：，其中．
巩固训练解析

1．（2022•德阳）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】算术平方根；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法
【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．
【解答】解：．，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
．，故选项错误，不符合题意；
．，故选项错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算．
2．（2022•天津）计算的结果是　　
A．1 B． C． D．
【考点】分式的加减法
【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：原式

．
故选：．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
3．（2022•眉山）化简的结果是　　
A．1 B． C． D．
【考点】分式的加减法
【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：

．
故选：．
【点评】本题考查了分式的加减法，把看成分母是1的分数进行通分是解题的关键．
4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像到镜头的距离．已知，，则　　
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】合并同类项；分式的混合运算
【分析】根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可．
【解答】解：，故错误，不符合题意；
，故错误，不符合题意；
，故正确，符合题意；
，故错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分式相关运算的法则．
6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子★被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为　　
A． B． C． D．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行计算即可；
【解答】解：★，
被墨汁遮住部分的代数式是


；
故选：．
【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
7．（2022•玉林）若是非负整数，则表示的值的对应点落在如图数轴上的范围是　　

A．① B．② C．③ D．①或②
【考点】数轴；分式的化简求值
【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式




，
则表示的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．
故选：．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2022•河北）若和互为倒数，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】分式的化简求值
【分析】根据和互为倒数可得，再将进行化简，将代入即可求值．
【解答】解：和互为倒数，
，




．
故选：．
【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．
9．（2022•南充）已知，且，则的值是　　
A． B． C． D．
【考点】分式的化简求值
【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由，得出，，由，得出，，代入计算，即可得出答案．
【解答】解：


，
，
，，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键．
10．（2022•南通）分式有意义，则应满足的条件是 　　．
【考点】分式有意义的条件
【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．
【解答】解：分母不等于0，分式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．
11．（2022•湖北）若分式有意义，则的取值范围是 　　．
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12．（2022•湖州）当时，分式的值是 　2　．
【考点】分式的值
【分析】把代入分式计算即可求出值．
【解答】解：当时，
原式．
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2022•襄阳）化简分式：　　．
【考点】分式的加减法
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式

，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．
14．（2022•益阳）计算：　2　．
【考点】分式的加减法
【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．
【解答】解：原式

．
故答案为：2
【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．
15．（2022•张家界）有一组数据：，，，，．记，则　　．
【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【解答】解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
16．（2022•包头）计算：　　．
【考点】分式的加减法
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分．
【解答】解：原式

，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．
17．（2022•苏州）化简的结果是 　　．
【考点】分式的加减法
【分析】依据同分母分式的加减法法则，计算得结论．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的减法，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
18．（2022•衡阳）计算：　2　．
【考点】分式的加减法
【分析】根据同分母分式的加法计算即可．
【解答】解：


，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．
19．（2022•怀化）计算　1　．
【考点】分式的加减法
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式

．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2022•温州）计算：　2　．
【考点】分式的加减法
【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．
【解答】解：原式，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．
21．（2022•黔西南州）计算：　1　．
【考点】分式的加减法
【分析】利用分式的减法法则，化简得结论．
【解答】解：原式

．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的减法，题目比较简单，掌握分式的减法法则是解决本题的关键．
22．（2022•武汉）计算的结果是 　　．
【考点】分式的加减法
【分析】先通分，再加减．
【解答】解：原式


．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．
23．（2022•淄博）计算：　　．
【考点】分式的加减法
【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．
【解答】解：原式


，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．
24．（2022•湘西州）计算：　1　．
【考点】分式的加减法
【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
25．（2022•沈阳）化简：　　．
【考点】分式的混合运算
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．
【解答】解：


，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
26．（2022•自贡）化简：　　．
【考点】分式的混合运算
【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．
【解答】解：


，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．
27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是 　5　．
先化简，再求值：
，其中★．
解：原式①


【考点】合并同类项；分式的化简求值
【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为，求出相应的的值即可．
【解答】解：

，
当时，可得，
检验：当时，，
图中被污染的的值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
28．（2022•衢州）（1）因式分解：．
（2）化简：．
【考点】分式的加减法；因式分解运用公式法
【分析】（1）应用因式分解运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；
（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．
【解答】解 （1）；
（2）．
【点评】本题主要考查了分式的加减法及因式分解运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．
29．（2022•临沂）计算：
（1）；
（2）．
【考点】有理数的混合运算；分式的加减法
【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；
（2）利用异分母分式的减法法则运算即可．
【解答】解：（1）原式

；
（2）原式

．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．
30．（2022•舟山）观察下面的等式：，，，
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法
【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含的等式表达即可；
（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．
【解答】解：（1）观察规律可得：；
（2）


，
．
【点评】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．
31．（2022•连云港）化简．
【考点】分式的加减法
【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可．
【解答】解：原式


．
【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的通分是解题关键．
32．（2022•重庆）计算：
（1）；
（2）．
【考点】单项式乘多项式；平方差公式；分式的加减法
【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）

；
（2）原式

．
【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
33．（2022•德州）（1）化简：；
（2）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组；分式的混合运算
【分析】（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1）


；
（2），
②得：③，
①③得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．
34．（2022•淮安）（1）计算：；
（2）化简：．
【考点】零指数幂；分式的混合运算；实数的运算；特殊角的三角函数值
【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；
（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．
【解答】解：（1）原式

；
（2）原式

．
【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．
35．（2022•徐州）计算：
（1）；
（2）．
【考点】负整数指数幂；实数的运算；分式的混合运算
【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）

；
（2）

．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
36．（2022•镇江）（1）计算：；
（2）化简：．
【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；
（2）利用分式的混合运算来做即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式


．
【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．
37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第 　一　步是通分，通分的依据是 　　．
②第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　　．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【考点】分式的混合运算；通分
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；
②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：①一，分式的性质．
②二，去括号没有变号．
任务二：




．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
38．（2022•南通）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【分析】（1）利用分式的混合运算法则运算即可；
（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论．
【解答】解：（1）原式


；
（2）不等式的解集为：，
不等式的解集为：，
它们的解集在数轴上表示为：

不等式组的解集为：．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
39．（2022•西藏）计算：．
【考点】分式的混合运算
【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算和计算顺序是解题的关键．
40．（2022•兰州）计算：．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则是解题的关键．
41．（2022•大连）计算：．
【考点】分式的混合运算
【分析】先算除法，后算减法，即可解答．
【解答】解：


．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
42．（2022•十堰）计算：．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式的运算法则计算即可．
【解答】解：



．
【点评】本题考查分式的混合运算，明确分式混合运算的步骤是解决问题的关键．
43．（2022•常德）化简：．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：


．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
44．（2022•陕西）化简：．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：


．
【点评】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
45．（2022•泰安）（1）化简：；
（2）解不等式：．
【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；
（2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式．
【解答】解：（1）原式



；
（2），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
【点评】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
46．（2022•江西）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③

解：
（1）上面的运算过程中第 　③　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
47．（2022•甘肃）化简：．
【考点】分式的混合运算
【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
【解答】解：原式


．
【点评】本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．
48．（2022•泸州）化简：．
【考点】分式的混合运算
【分析】先把括号部分通分并计算加法，再根据分式的乘除法法则化简即可．
【解答】解：原式


．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的通分以及相关乘法公式是解答本题的关键．
49．（2022•重庆）计算：
（1）；
（2）．
【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算
【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式

．
【点评】本题主要考查分式的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则及分式的混合运算顺序和运算法则．
50．（2022•阜新）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式


，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
51．（2022•辽宁）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】利用分式的相应的运算法则对分式进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：


，
当时，
原式
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
52．（2022•福建）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简；平方差公式；因式分解运用公式法
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式

，
当时，原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，平方差公式，因式分解运用公式法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键